In 2009, two researchers ran a simple experiment. They took everything we know about our solar system and calculated where every planet would be up to 5 billion years in the future. To do so they ran over 2,000 numerical simulations with the same exact initial conditions except for one difference: the distance between Mercury and the Sun, modified by less than a millimeter from one simulation to the next. Shockingly, in about 1 percent of their simulations, Mercury’s orbit changed so drastically that it could plunge into the Sun or collide with Venus. Worse yet, in one simulation it destabilized the entire inner solar system. This was no error; the astonishing variety in results reveals the truth that our solar system may be much less stable than it seems.
Em 2009, dois investigadores realizaram uma experiência simples. Agarraram em tudo o que sabemos sobre o nosso sistema solar e calcularam onde estará cada planeta, daqui a 5000 milhões de anos. Para isso, realizaram mais de 2000 simulações numéricas com as mesmas condições iniciais, exceto quanto a uma diferença: a distância entre Mercúrio e o Sol, modificada em menos de um milímetro, de uma simulação para a seguinte. Espantosamente, em cerca de 1% dessas simulações a órbita de Mercúrio mudou tão profundamente que podia mergulhar no Sol ou colidir com Vénus. Pior ainda, numa simulação, desestabilizou todo o sistema solar interior. Não se tratou de nenhum erro; a espantosa variedade nos resultados revela que o nosso sistema solar
Astrophysicists refer to this astonishing property of gravitational systems
pode ser muito menos estável do que parece.
as the n-body problem. While we have equations that can completely predict the motions of two gravitating masses, our analytical tools fall short when faced with more populated systems. It’s actually impossible to write down all the terms of a general formula that can exactly describe the motion of three or more gravitating objects.
Os astrofísicos chamam a esta propriedade espantosa dos sistemas gravitacionais o problema dos n-corpos. Embora tenhamos equações que podem prever totalmente os movimentos de duas massas gravitacionais as nossas ferramentas analíticas não chegam quando confrontadas com sistemas mais populosos. É impossível escrever todos os termos duma fórmula geral que possa descrever com exatidão o movimento de três ou mais objetos gravitacionais.
Why? The issue lies in how many unknown variables an n-body system contains. Thanks to Isaac Newton, we can write a set of equations to describe the gravitational force acting between bodies. However, when trying to find a general solution for the unknown variables in these equations, we’re faced with a mathematical constraint: for each unknown, there must be at least one equation that independently describes it.
Porquê? O problema reside em quantas variáveis desconhecidas estão contidas num sistema de n-corpos. Graças a Isaac Newton, podemos escrever uma série de equações para descrever a força gravitacional que atua entre corpos. Contudo, quanto tentamos encontrar uma solução geral para as variáveis desconhecidas, nestas equações, somos confrontados com um constrangimento matemático: para cada incógnita, tem de haver pelo menos uma equação que a descreva de forma independente.
Initially, a two-body system appears to have more unknown variables for position and velocity than equations of motion. However, there’s a trick: consider the relative position and velocity of the two bodies with respect to the center of gravity of the system. This reduces the number of unknowns and leaves us with a solvable system.
Inicialmente, um sistema de dois-corpos parece ter mais variáveis desconhecidas para a posição e a velocidade do que as equações de movimento. Porém, há um truque: considerar a posição relativa e a velocidade dos dois corpos no que se refere ao centro de gravidade do sistema. Isso reduz o número de incógnitas e deixa-nos com um sistema resolúvel.
With three or more orbiting objects in the picture, everything gets messier. Even with the same mathematical trick of considering relative motions, we’re left with more unknowns than equations describing them. There are simply too many variables for this system of equations to be untangled into a general solution.
Com três ou mais objetos em órbita no quadro, tudo se torna mais complicado. Mesmo com o mesmo truque matemático de considerar os movimentos relativos, ficamos com mais incógnitas do que com equações que as descrevem. Há demasiadas variáveis para este sistema de equações para serem desembaraçadas numa solução geral.
But what does it actually look like for objects in our universe to move according to analytically unsolvable equations of motion? A system of three stars— like Alpha Centauri— could come crashing into one another or, more likely, some might get flung out of orbit after a long time of apparent stability. Other than a few highly improbable stable configurations, almost every possible case is unpredictable on long timescales. Each has an astronomically large range of potential outcomes, dependent on the tiniest of differences in position and velocity. This behaviour is known as chaotic by physicists, and is an important characteristic of n-body systems. Such a system is still deterministic— meaning there’s nothing random about it. If multiple systems start from the exact same conditions, they’ll always reach the same result. But give one a little shove at the start, and all bets are off. That’s clearly relevant for human space missions, when complicated orbits need to be calculated with great precision.
Mas como será realmente os objetos no nosso universo moverem-se de acordo com equações de movimento analiticamente irresolúveis? Um sistema de três estrelas — como o Alfa Centauri — podem colidir umas com as outras ou, mais provavelmente, umas podem fugir à órbita depois de muito tempo de aparente estabilidade. Para além de algumas configurações de estabilidade muito pouco provável, quase todos os possíveis casos são imprevisíveis a longa distância. Cada um deles tem uma gama astronómica de resultados possíveis, dependendo de minúsculas diferenças na posição e na velocidade. Este comportamento é conhecido dos físicos por caótico e é uma característica importante dos sistemas de n-corpos. Mas um sistema assim continua determinista — ou seja, não há nada de aleatório nele. Se múltiplos sistemas começarem exatamente nas mesmas condições, chegarão sempre ao mesmo resultado. Mas, se dermos a um deles um pequeno empurrão, no início, tudo pode acontecer. É obviamente relevante para missões humanas no espaço quando for preciso calcular órbitas complicadas, com grande precisão.
Thankfully, continuous advancements in computer simulations offer a number of ways to avoid catastrophe. By approximating the solutions with increasingly powerful processors, we can more confidently predict the motion of n-body systems on long time-scales. And if one body in a group of three is so light it exerts no significant force on the other two, the system behaves, with very good approximation, as a two-body system. This approach is known as the “restricted three-body problem.” It proves extremely useful in describing, for example, an asteroid in the Earth-Sun gravitational field, or a small planet in the field of a black hole and a star.
Felizmente, os avanços contínuos nas simulações em computador, oferecem uma série de formas para evitar catástrofes. Aproximando as soluções com processadores cada vez mais poderosos podemos prever com mais confiança o movimento de sistemas de n-corpos em escalas a longo prazo. E se um corpo num grupo de três for tão leve que exerça uma força pouco significativa sobre os outros dois, o sistema comporta-se, com uma aproximação muito boa, como um sistema de dois-corpos. Esta abordagem é conhecida por "problema restrito dos três corpos". Prova ser extremamente útil na descrição, por exemplo, de um asteroide no campo gravitacional Terra-Sol ou de um pequeno planeta no campo dum buraco negro e duma estrela.
As for our solar system, you’ll be happy to hear that we can have reasonable confidence in its stability for at least the next several hundred million years. Though if another star, launched from across the galaxy, is on its way to us, all bets are off.
Quanto ao nosso sistema solar, gostarão de ouvir dizer que podemos ter razões para confiar na sua estabilidade pelo menos, para as próximas centenas de milhões de anos. A não ser que outra estrela, lançada do outro lado da galáxia venha na nossa direção tudo é possível.