In 2009, two researchers ran a simple experiment. They took everything we know about our solar system and calculated where every planet would be up to 5 billion years in the future. To do so they ran over 2,000 numerical simulations with the same exact initial conditions except for one difference: the distance between Mercury and the Sun, modified by less than a millimeter from one simulation to the next. Shockingly, in about 1 percent of their simulations, Mercury’s orbit changed so drastically that it could plunge into the Sun or collide with Venus. Worse yet, in one simulation it destabilized the entire inner solar system. This was no error; the astonishing variety in results reveals the truth that our solar system may be much less stable than it seems.
2009年に2人の研究者が 簡単な実験をしました 太陽系に関する全ての知識を使って 50億年先までの 全惑星の位置を計算したのです そのために2千を超える 数値シミュレーションを行いました 全く同一の初期条件を設定したのですが 1つだけ条件を変えました 水星と太陽との距離を シミュレーションごとに 1ミリ未満で変えたのです 驚いたことに シミュレーションの約1%で 水星の軌道が非常に大きく変わり 太陽または金星と衝突する可能性がありました さらに悪いことに あるシミュレーションでは 内太陽系全体を不安定にしました これは間違いではなく 結果にこれ程のばらつきがあったのは 私どもの太陽系が思っていたよりも ずっと不安定だという真実を明かしています
Astrophysicists refer to this astonishing property of gravitational systems as the n-body problem. While we have equations that can completely predict the motions of two gravitating masses, our analytical tools fall short when faced with more populated systems. It’s actually impossible to write down all the terms of a general formula that can exactly describe the motion of three or more gravitating objects.
天体物理学者たちは この驚くべき重力系の特性を 「N体問題」と称します 互いに引力で引き合う2体の動きを 完全に予測する数式はありますが もっと天体数が多い問題に直面すると 解析できる術がありません 実際に 一般的な数式の項を 全て書き出すことは不可能になり 3体以上の互いに引き合う天体の動きを 正確に記述できません
Why? The issue lies in how many unknown variables an n-body system contains. Thanks to Isaac Newton, we can write a set of equations to describe the gravitational force acting between bodies. However, when trying to find a general solution for the unknown variables in these equations, we’re faced with a mathematical constraint: for each unknown, there must be at least one equation that independently describes it.
なぜでしょうか?N体系に含まれる 未知の変数の数に問題があるのです アイザック・ニュートンのおかげで いくつかの方程式によって 天体間に働く引力を表すことができます しかし これらの方程式の未知変数の 一般解を 見つけようとすると 数学的な制約に行き当たってしまいます 未知変数1つにつき 少なくとも1つは方程式が必要で しかも各方程式は 独立してないといけません
Initially, a two-body system appears to have more unknown variables for position and velocity than equations of motion. However, there’s a trick: consider the relative position and velocity of the two bodies with respect to the center of gravity of the system. This reduces the number of unknowns and leaves us with a solvable system.
最初は 2体系にも位置や速度に関する 未知変数の数が 運動方程式の数より 多くあるようにみえます ただし 解き方があります 2つの天体の相対的な位置と速度を この系の重心からみて考えてください これにより 未知変数の数が減り 解くことができる系になります
With three or more orbiting objects in the picture, everything gets messier. Even with the same mathematical trick of considering relative motions, we’re left with more unknowns than equations describing them. There are simply too many variables for this system of equations to be untangled into a general solution.
軌道を回る3つ以上の天体が関わると 全てが複雑になります 相対運動を考える時の数学的な解法を 同じようにあてはめても 未知変数の数の方が それを表す方程式の数より多く残ります この系の方程式の変数の数は どう考えても多過ぎて 一般解を導き出すことができません
But what does it actually look like for objects in our universe to move according to analytically unsolvable equations of motion? A system of three stars— like Alpha Centauri— could come crashing into one another or, more likely, some might get flung out of orbit after a long time of apparent stability. Other than a few highly improbable stable configurations, almost every possible case is unpredictable on long timescales. Each has an astronomically large range of potential outcomes, dependent on the tiniest of differences in position and velocity. This behaviour is known as chaotic by physicists, and is an important characteristic of n-body systems. Such a system is still deterministic— meaning there’s nothing random about it. If multiple systems start from the exact same conditions, they’ll always reach the same result. But give one a little shove at the start, and all bets are off. That’s clearly relevant for human space missions, when complicated orbits need to be calculated with great precision.
解析的に解くことができない 運動方程式に従う宇宙にある天体は 一体どのように動くのでしょうか? 例えばアルファケンタウリのような 3つの星から成る系 は お互いに衝突する可能性がありますし より可能性が高いのは 見かけの上では長期間安定していた天体が 軌道から放り出されることです ほとんど起こり得ない 安定した幾つかの系を除き 起こりうるほぼ全ての場合では 長期にわたる予測は不可能なのです それぞれが天文学的な数の結果を生む 可能性を持っており 位置や速度の微小な変化に影響されます 物理学者たちは この振る舞いを「カオス」と称し これは N体系の重要な特徴です このような系も決定論的な法則に従っており 決してランダムなものではありません 複数の系が全く同一の条件で始まれば いつも同一の結果にたどり着きます ただし 最初にごく僅かな力が 加わっただけで 全く違う結果になるのです これは 人間が宇宙探査をする場合のように 複雑な軌道も非常に精密に計算する 必要がある時には 明らかに重要なことです
Thankfully, continuous advancements in computer simulations offer a number of ways to avoid catastrophe. By approximating the solutions with increasingly powerful processors, we can more confidently predict the motion of n-body systems on long time-scales. And if one body in a group of three is so light it exerts no significant force on the other two, the system behaves, with very good approximation, as a two-body system. This approach is known as the “restricted three-body problem.” It proves extremely useful in describing, for example, an asteroid in the Earth-Sun gravitational field, or a small planet in the field of a black hole and a star.
幸い コンピュータ・シミュレーションが 進歩を遂げてきたので 大惨事を避ける方法が幾つかあります 益々パワフルになってきたプロセッサーで 解を概算することにより N体系の動きを長期にわたって より確実性を持って予測することができます 3体のうち 1体の質量が非常に軽く 他の2体に有意な力がかからない場合は 2体系と非常に近似した振る舞いをします この手法は「制限三体問題」として 知られており 例えば 地球と太陽の重力場の中にある 小惑星を記述する際や ブラックホールと恒星の重力場の中にある 小さい惑星を記述する際には非常に役立ちます 私どもの太陽系に関しては 幸いなことに
As for our solar system, you’ll be happy to hear that we can have reasonable confidence in its stability for at least the next several hundred million years. Though if another star, launched from across the galaxy, is on its way to us, all bets are off.
少なくとも 今後 数億年は安定していると かなりの確実性を持って言えます とはいえ もし別の恒星が 銀河のかなたから地球に向かって来たら 一巻の終わりです