In 2009, two researchers ran a simple experiment. They took everything we know about our solar system and calculated where every planet would be up to 5 billion years in the future. To do so they ran over 2,000 numerical simulations with the same exact initial conditions except for one difference: the distance between Mercury and the Sun, modified by less than a millimeter from one simulation to the next. Shockingly, in about 1 percent of their simulations, Mercury’s orbit changed so drastically that it could plunge into the Sun or collide with Venus. Worse yet, in one simulation it destabilized the entire inner solar system. This was no error; the astonishing variety in results reveals the truth that our solar system may be much less stable than it seems.
Nel 2009, due ricercatori fecero un semplice esperimento. Presero tutto quello che sappiamo sul sistema solare e calcolarono la posizione di ogni pianeta per i prossimi 5 miliardi di anni. Per farlo, eseguirono oltre 2.000 simulazioni numeriche con identiche condizioni iniziali tranne che per un particolare: la distanza tra Mercurio e il Sole venne modificata di meno di 1 millimetro tra una simulazione e quella successiva. Sorprendentemente, in circa l'1% delle simulazioni, l'orbita di Mercurio cambiava così drasticamente da farlo sprofondare nel Sole o collidere con Venere. Ancora peggio, in una simulazione, destabilizzava l'intero sistema solare interno. Non si trattava di un errore; l'incredibile varietà di risultati rivela la verità che il nostro sistema Solare
Astrophysicists refer to this astonishing property of gravitational systems as the n-body problem. While we have equations that can completely predict the motions of two gravitating masses, our analytical tools fall short when faced with more populated systems. It’s actually impossible to write down all the terms of a general formula that can exactly describe the motion of three or more gravitating objects.
potrebbe essere molto meno stabile di quanto appaia. Gli astrofisici chiamano questa proprietà del sistema gravitazionale il problema degli N-corpi. Anche se abbiamo equazioni che possono prevedere esattamente il moto di due masse orbitanti, i nostri strumenti analitici non ce la fanno quando si tratta di sistemi più popolati. Difatti, è impossibile scrivere tutti i termini di una formula generale che descriva esattamente il moto di tre o più oggetti orbitanti.
Why? The issue lies in how many unknown variables an n-body system contains. Thanks to Isaac Newton, we can write a set of equations to describe the gravitational force acting between bodies. However, when trying to find a general solution for the unknown variables in these equations, we’re faced with a mathematical constraint: for each unknown, there must be at least one equation that independently describes it.
Perché? Il problema dipende da quante sono le variabili sconosciute nel sistema degli N-corpi. Grazie a Isaac Newton, siamo in grado di scrivere una serie di equazioni per descrivere la forza gravitazionale che agisce tra i corpi. Però, se cerchiamo di trovare una soluzione generale per le variabili sconosciute di queste equazioni, ci troviamo di fronte a dei vincoli matematici: per ogni incognita ci deve essere almeno un'equazione che la descriva in modo indipendente.
Initially, a two-body system appears to have more unknown variables for position and velocity than equations of motion. However, there’s a trick: consider the relative position and velocity of the two bodies with respect to the center of gravity of the system. This reduces the number of unknowns and leaves us with a solvable system.
All'inizio, un sistema a due corpi sembra avere più variabili sconosciute per la posizione e la velocità rispetto alle equazioni del moto. Ma c'è un trucco: possiamo considerare la posizione e la velocità relative di due corpi rispetto al centro di gravità del sistema. Ciò riduce il numero di incognite e il sistema diventa risolvibile.
With three or more orbiting objects in the picture, everything gets messier. Even with the same mathematical trick of considering relative motions, we’re left with more unknowns than equations describing them. There are simply too many variables for this system of equations to be untangled into a general solution.
Considerando tre o più oggetti orbitanti, le cose si fanno più complicate. Anche usando lo stesso trucco matematico di considerare i moti relativi, le incognite che rimangono sono più delle equazioni che possono descriverle. Ci sono semplicemente troppe variabili per far sì che questo sistema di equazioni possa essere risolto con un'unica soluzione generale.
But what does it actually look like for objects in our universe to move according to analytically unsolvable equations of motion? A system of three stars— like Alpha Centauri— could come crashing into one another or, more likely, some might get flung out of orbit after a long time of apparent stability. Other than a few highly improbable stable configurations, almost every possible case is unpredictable on long timescales. Each has an astronomically large range of potential outcomes, dependent on the tiniest of differences in position and velocity. This behaviour is known as chaotic by physicists, and is an important characteristic of n-body systems. Such a system is still deterministic— meaning there’s nothing random about it. If multiple systems start from the exact same conditions, they’ll always reach the same result. But give one a little shove at the start, and all bets are off. That’s clearly relevant for human space missions, when complicated orbits need to be calculated with great precision.
Ma cosa significa esattamente che gli oggetti del nostro universo si muovono secondo equazioni del moto non risolvibili analiticamente? Un sistema di tre stelle, come Alfa Centauri, potrebbe scontrarsi con un altro, o, più probabilmente, alcune potrebbero essere espulse dall'orbita dopo un lungo periodo di stabilità apparente. A parte pochissime configurazioni stabili, altamente improbabili, quasi tutti gli scenari possibili sono imprevedibili su tempi molto lunghi. Per tutti c’è una serie astronomica di esiti possibili, che dipendono da differenze minime nella posizione e nella velocità. Questo comportamento, definito dai fisici "caotico", è una caratteristica importante del sistema degli N-corpi. Questo tipo di sistema è comunque deterministico, niente che lo riguardi è casuale. Se più sistemi diversi si sviluppano partendo dalle stesse identiche condizioni raggiungeranno sempre lo stesso risultato. Ma basta che uno abbia una piccola spinta all’inizio, che tutto può cambiare. È chiaramente un fattore rilevante per le missioni spaziali, in cui si devono calcolare delle orbite complicate con assoluta precisione.
Thankfully, continuous advancements in computer simulations offer a number of ways to avoid catastrophe. By approximating the solutions with increasingly powerful processors, we can more confidently predict the motion of n-body systems on long time-scales. And if one body in a group of three is so light it exerts no significant force on the other two, the system behaves, with very good approximation, as a two-body system. This approach is known as the “restricted three-body problem.” It proves extremely useful in describing, for example, an asteroid in the Earth-Sun gravitational field, or a small planet in the field of a black hole and a star.
Fortunatamente, i continui progressi nelle simulazioni a computer offrono svariate opzioni per evitare una catastrofe. Usando processori sempre più potenti nell’approssimare le soluzioni, possiamo predire con più sicurezza il moto dei sistemi con N-corpi su tempi molto lunghi. E se in un sistema a tre corpi, un corpo è così leggero da non esercitare alcuna forza significativa sugli altri due, il sistema si comporta, con un'ottima approssimazione, come un sistema a due corpi. Questo approccio è noto come "problema ristretto dei tre corpi". È estremamente utile per descrivere, per esempio, un asteroide nel campo gravitazionale del sistema Terra-Sole, o un piccolo pianeta nel campo di un buco nero e una stella.
As for our solar system, you’ll be happy to hear that we can have reasonable confidence in its stability for at least the next several hundred million years. Though if another star, launched from across the galaxy, is on its way to us, all bets are off.
Per quanto riguarda il nostro sistema solare, sarete felici di sapere che confidiamo nella sua stabilità almeno per le prossime centinaia di milioni di anni. Però, se un'altra stella, partita dall'altra parte della galassia, fosse diretta verso di noi, allora potrebbe succedere di tutto.