In 2009, two researchers ran a simple experiment. They took everything we know about our solar system and calculated where every planet would be up to 5 billion years in the future. To do so they ran over 2,000 numerical simulations with the same exact initial conditions except for one difference: the distance between Mercury and the Sun, modified by less than a millimeter from one simulation to the next. Shockingly, in about 1 percent of their simulations, Mercury’s orbit changed so drastically that it could plunge into the Sun or collide with Venus. Worse yet, in one simulation it destabilized the entire inner solar system. This was no error; the astonishing variety in results reveals the truth that our solar system may be much less stable than it seems.
ב 2009, שני חוקרים הריצו ניסוי פשוט. הם לקחו את כל מה שאנחנו יודעים על מערכת השמש שלנו וחישבו היכן כל פלנטה תהיה עד 5 מיליארד שנים בעתיד. כדי לעשות זאת הם הריצו יותר מ 2,000 הדמיות מספריות עם אותו מצב התחלתי חוץ מהבדל אחד: המרחק בין חמה והשמש, ששונה בפחות ממילימטר מהדמיה אחת לשניה. למרבה ההפתעה, בבערך 1 אחוז מההדמיות שלהם, המסלול של חמה השתנה כל כך שהוא יכל ליפול לתוך השמש או להנתגש עם נוגה. גרוע מזה, בהדמיה אחת הוא הוציא מאיזון את כל מערכת השמש הפנימית. זו לא היתה שגיאה; המגוון המדהים בתוצאות מגלה את האמת שמערכת השמש שלנו אולי לא יציבה כמו שהיא נראית.
Astrophysicists refer to this astonishing property of gravitational systems as the n-body problem. While we have equations that can completely predict the motions of two gravitating masses, our analytical tools fall short when faced with more populated systems. It’s actually impossible to write down all the terms of a general formula that can exactly describe the motion of three or more gravitating objects.
אסטרופיזיקאים מתייחסים לתכונה המפתיעה הזו של מערכות כבידתיות כבעיית n הגופים. בעוד שיש לנו משוואות שיכולות לחזות לגמרי את התנועה של שתי מסות כבידתיות, הכלים האנליטיים שלנו לא מספיקים כדי להתמודד עם מערכות יותר מורכבות. זה למעשה בלתי אפשרי לכתוב את כל המונחים של נוסחה כללית שיכולה לתאר בדיוק את התנועה של שלושה או יותר עצמים כבידתיים.
Why? The issue lies in how many unknown variables an n-body system contains. Thanks to Isaac Newton, we can write a set of equations to describe the gravitational force acting between bodies. However, when trying to find a general solution for the unknown variables in these equations, we’re faced with a mathematical constraint: for each unknown, there must be at least one equation that independently describes it.
למה? הבעיה נמצאת בכמה משתנים לא ידועים מערכת n גופים מכילה. תודות לאייזק ניוטון, אנחנו צריכים לכתוב סט של משוואות כדי לתאר את הכוחות הכבידתיים שפועלים בין הגופים. עם זאת, כשמנסים למצוא פתרון כללי למשתנים הלא ידועים במשוואות האלו, אנחנו ניצבים מול מגבלות מתמטיות: לכל משתנה לא ידוע, חייבת להיות לפחות משוואה אחת שמתארת אותו עצמאית.
Initially, a two-body system appears to have more unknown variables for position and velocity than equations of motion. However, there’s a trick: consider the relative position and velocity of the two bodies with respect to the center of gravity of the system. This reduces the number of unknowns and leaves us with a solvable system.
ראשית, נראה שלמערכת שני גופים יש יותר משתנים לא ידועים למיקום ומהירות ממשוואות של תנועה. אבל, יש טריק: חשבו על המיקום היחסי והמהירות של שני הגופים ביחס למרכז שיווי המשקל של המערכת. זה מפחית את מספר המשתנים הלא ידועים ומשאיר לנו מערכת פתירה.
With three or more orbiting objects in the picture, everything gets messier. Even with the same mathematical trick of considering relative motions, we’re left with more unknowns than equations describing them. There are simply too many variables for this system of equations to be untangled into a general solution.
עם שלושה או יותר גופים בתמונה, הכל נעשה מבולגן יותר. אפיל עם אותו טריק מתמטי של תנועות יחסיות, אנחנו נשארים עם יותר משתנים לא ידועים ממשוואות שמתארות אותן. יש פשוט יותר מדי משתנים למערכת המשוואות הזו כדי להיפתר בפתרון כללי.
But what does it actually look like for objects in our universe to move according to analytically unsolvable equations of motion? A system of three stars— like Alpha Centauri— could come crashing into one another or, more likely, some might get flung out of orbit after a long time of apparent stability. Other than a few highly improbable stable configurations, almost every possible case is unpredictable on long timescales. Each has an astronomically large range of potential outcomes, dependent on the tiniest of differences in position and velocity. This behaviour is known as chaotic by physicists, and is an important characteristic of n-body systems. Such a system is still deterministic— meaning there’s nothing random about it. If multiple systems start from the exact same conditions, they’ll always reach the same result. But give one a little shove at the start, and all bets are off. That’s clearly relevant for human space missions, when complicated orbits need to be calculated with great precision.
אבל איך זה למעשה נראה לאובייקטים ביקום שלנו לנוע לפי משוואות תנועה בלתי פתירות אנליטית? מערכת של שלושה כוכבים -- כמו אלפא סנטאורי -- יכולה להתרסק אחד לשני, או בסבירות גבוהה יותר, כמה יכולים להיות מועפים מהמסלול אחרי שנראו יציבים זמן רב. חוץ מכמה סידורים יציבים עם סבירות נמוכה, כמעט כל מקרה אפשרי לא צפוי בקני מידה ארוכים. לכל אחד יש מגוון עצום אסטרונומית של תוצאות אפשריות, תלוי בהבדלים זעירים במיקומים ומהירויות. ההתנהגות הזו ידועה ככאוטית בפיזיקה, והיא תכונה חשובה של מערכות של n גופים. כזו מערכת היא עדיין דיטרמניסטית -- מה שאומר שאין בה שום דבר אקראי. אם מערכות מרובות מתחילות מאותם תנאים התחלתיים, הן תמיד יגיעו לאותה תוצאה. אבל בהנתן דחיפה קטנה בהתחלה, כל התוצאות לא מובטחות. זה רלוונטי בברור למשימות חלל מאויישות, כשמסלולים מורכבים צריכים להיות מחושבים בדיוק גבוה.
Thankfully, continuous advancements in computer simulations offer a number of ways to avoid catastrophe. By approximating the solutions with increasingly powerful processors, we can more confidently predict the motion of n-body systems on long time-scales. And if one body in a group of three is so light it exerts no significant force on the other two, the system behaves, with very good approximation, as a two-body system. This approach is known as the “restricted three-body problem.” It proves extremely useful in describing, for example, an asteroid in the Earth-Sun gravitational field, or a small planet in the field of a black hole and a star.
למרבה המזל, התקדמויות מתמשכות בהדמיות ממוחשבות מציעות מספר דרכים להמנע מהקטסטרופה. על ידי קרוב הפתרונות עם מעבדים שמתחזקים כל הזמן, אנחנו יכולים לחזות ביתר ביטחון את התנועה של מערכות עם n גופים לזמנים ארוכים. ואם גוף אחד בקבוצה של שלושה כל כך קל שהוא לא מפעיל כוח משמעותי על שני האחרים, המערכת מתנהגת, בקרוב טוב, כמו מערכת של שני גופים. הגישה ידועה כ "בעיית שלושה גופים מוגבלת." היא מוכחת כמועילה ביותר בתאור, לדוגמה, של אסטרואיד בשדה הכבידתי של כדור הארץ והשמש, או פלנטה קטנה בשדה של חור שחור וכוכב.
As for our solar system, you’ll be happy to hear that we can have reasonable confidence in its stability for at least the next several hundred million years. Though if another star, launched from across the galaxy, is on its way to us, all bets are off.
בנוגע למערכת השמש שלנו, כולכם תהיו שמחים לשמוע שיכול להיות לנו ביטחון סביר ביציבות לפחות למספר מאות מליוני השנים הבאות. למרות שאם כוכב נוסף, ששוגר לרוחב הגלקסיה בדרכו אלינו, כל ההשערות לא רלוונטיות.