A friend of mine told me recently that her six-year-old son had come from school and said he hated math. And this is hard for me to hear because I actually love math. The beauty and power of mathematical thinking have changed my life. But I know that many people lived a very different story. Math can be the best of times or the worst of times, an exhilarating journey of discovery or descent into tedium, frustration, and despair. Mathematical miseducation is so common we can hardly see it. We practically expect math class to be repetition and memorization of disjointed technical facts. And we're not surprised when students aren't motivated, when they leave school disliking math, even committed to avoiding it for the rest of their lives. Without mathematical literacy, their career opportunities shrink. And they become easy prey for credit card companies, payday lenders, the lottery, (Laughter) and anyone, really, who wants to dazzle them with a statistic. Did you know that if you insert a single statistic into an assertion, people are 92 percent more likely to accept it without question? (Laughter) Yeah, I totally made that up. (Laughter) And 92 percent is - it has weight even though it's completely fabricated. And that's how it works. When we're not comfortable with math, we don't question the authority of numbers. But what's happening with mathematical alienation is only half the story. Right now, we're squandering our chance to touch life after life with the beauty and power of mathematical thinking. I led a workshop on this topic recently, and at the end, a woman raised her hand and said that the experience made her feel - and this is a quote - "like a God." (Laughter) That's maybe the best description I've ever heard for what mathematical thinking can feel like, so we should examine what it looks like. A good place to start is with the words of the philosopher and mathematician René Descartes, who famously proclaimed, "I think, therefore I am." But Descartes looked deeper into the nature of thinking. Once he established himself as a thing that thinks, he continued, "What is a thinking thing?" It is the thing that doubts, understands, conceives, that affirms and denies, wills and refuses, that imagines also, and perceives. This is the kind of thinking we need in every math class every day. So, if you are a teacher or a parent or anyone with a stake in education, I offer these five principles to invite thinking into the math we do at home and at school. Principle one: start with a question. The ordinary math class begins with answers and never arrives at a real question. "Here are the steps to multiply. You repeat. Here are the steps to divide. You repeat. We've covered the material. We're moving on." What matters in the model is memorizing the steps. There's no room to doubt or imagine or refuse, so there's no real thinking here. What would it look like if we started with a question? For example, here are the numbers from 1 to 20. Now, there's a question lurking in this picture, hiding in plain sight. What's going on with the colors? Now, intuitively it feels like there's some connection between the numbers and the colors. I mean, maybe it's even possible to extend the coloring to more numbers. At the same time, the meaning of the colors is not clear. It's a real mystery. And so, the question feels authentic and compelling. And like so many authentic mathematical questions, this one has an answer that is both beautiful and profoundly satisfying. And of course, I'm not going to tell you what it is. (Laughter) I don't think of myself as a mean person, but I am willing to deny you what you want. (Laughter) Because I know if I rush to an answer, I would've robbed you of the opportunity to learn. Thinking happens only when we have time to struggle. And that is principle two. It's not uncommon for students to graduate from high school believing that every math problem can be solved in 30 seconds or less, and if they don't know the answer, they're just not a math person. This is a failure of education. We need to teach kids to be tenacious and courageous, to persevere in the face of difficulty. The only way to teach perseverance is to give students time to think and grapple with real problems. I brought this image into a classroom recently, and we took the time to struggle. And the longer we spent, the more the class came alive with thinking. The students made observations. They had questions. Like, "Why do the numbers in that last column always have orange and blue in them?" and "Does it mean anything that the green spots are always going diagonally?" and "What's going on with those little white numbers in the red segments? Is it important that those are always odd numbers?" Struggling with a genuine question, students deepen their curiosity and their powers of observation. They also develop the ability to take a risk. Some students noticed that every even number has orange in it, and they were willing to stake a claim. "Orange must mean even." And then they asked, "Is that right?" (Laughter) This can be a scary place as a teacher. A student comes to you with an original thought. What if you don't know the answer? Well, that is principle three: you are not the answer key. Teachers, students may ask you questions you don't know how to answer. And this can feel like a threat. But you are not the answer key. Students who are inquisitive is a wonderful thing to have in your classroom. And if you can respond by saying, "I don't know. Let's find out," math becomes an adventure. And parents, this goes for you too. When you sit down to do math with your children, you don't have to know all the answers. You can ask your child to explain the math to you or try to figure it out together. Teach them that not knowing is not failure. It's the first step to understanding. So, when this group of students asked me if orange means even, I don't have to tell them the answer. I don't even need to know the answer. I can ask one of them to explain to me why she thinks it's true. Or we can throw the idea out to the class. Because they know the answers won't come from me, they need to convince themselves and argue with each other to determine what's true. And so, one student says, "Look, 2, 4, 6, 8, 10, 12. I checked all of the even numbers. They all have orange in them. What more do you want?" And another student says, "Well, wait a minute, I see what you're saying, but some of those numbers have one orange piece, some have two or three. Like, look at 48. It's got four orange pieces. Are you telling me that 48 is four times as even as 46? There must be more to the story." By refusing to be the answer key, you create space for this kind of mathematical conversation and debate. And this draws everyone in because we love to see people disagree. After all, where else can you see real thinking out loud? Students doubt, affirm, deny, understand. And all you have to do as the teacher is not be the answer key and say "yes" to their ideas. And that is principle four. Now, this one is difficult. What if a student comes to you and says 2 plus 2 equals 12? You've got to correct them, right? And it's true, we want students to understand certain basic facts and how to use them. But saying "yes" is not the same thing as saying "You're right." You can accept ideas, even wrong ideas, into the debate and say "yes" to your students' right to participate in the act of thinking mathematically. To have your idea dismissed out of hand is disempowering. To have it accepted, studied, and disproven is a mark of respect. It's also far more convincing to be shown you're wrong by your peers than told you're wrong by the teacher. But allow me to take this a step further. How do you actually know that 2 plus 2 doesn't equal 12? What would happen if we said "yes" to that idea? I don't know. Let's find out. So, if 2 plus 2 equaled 12, then 2 plus 1 would be one less, so that would be 11. And that would mean that 2 plus 0, which is just 2, would be 10. But if 2 is 10, then 1 would be 9, and 0 would be 8. And I have to admit this looks bad. It looks like we broke mathematics. But I actually understand why this can't be true now.
Outro dia, um amigo meu comentou que seu filho de seis anos chegou da escola dizendo que odiava matemática. Para mim, que amo matemática, foi muito difícil ouvir isso. A beleza e o poder do pensamento matemático mudou minha vida. Mas sei que muitas pessoas vivenciam uma história bem diferente. A matemática pode ser a melhor ou a pior coisa, uma jornada de descobertas maravilhosas ou uma jornada de tédio, frustração e desespero. O ensino equivocado dessa disciplina é tão comum que dificilmente percebemos. Acreditamos que aulas de matemática sejam apenas repetição e memorização de dados desconexos entre si. Não ficamos surpresos quando alunos desmotivados saem da escola odiando matemática, até mesmo fugindo dela o resto da vida. Sem uma educação mínima de matemática, haverá poucas oportunidades de carreira. Serão vítimas fáceis de empresas de cartão de crédito, de empréstimo pessoal, de loterias (Risos) e de qualquer um que deseje impressioná-los com estatísticas. Sabiam que, quando se insere uma estatística numa afirmação, as pessoas ficam 92% mais predispostas em aceitá-la sem questionar? (Risos) Mentira, inventei isso agora. (Risos) Mesmo inventado, 92% tem uma influência enorme. É assim que funciona. Se não tivermos conhecimento de matemática, não questionaremos a validade dos números. No entanto, o que está acontecendo com o desinteresse pela matemática, é somente metade da história. Estamos desperdiçando a chance de uma vida, com a beleza e o poder do pensamento matemático. Recentemente, dei uma oficina sobre isso e, no final, uma mulher levantou a mão e disse que a palestra fez com que se sentisse, entre aspas: "Como um deus". (Risos) Talvez, esta tenha sido a melhor descrição que já ouvi a respeito da verdadeira essência do pensamento matemático, e então, devemos analisar o que isso representa. Começarei com as palavras do filósofo e matemático René Descartes, que disse a famosa frase: "Penso, logo existo". Ele analisou, profundamente, a natureza do pensamento. Uma vez que se reconheceu como um ser pensante, ele disse: "O que é um ser pensante"? É aquele que duvida, compreende, concebe, que afirma e nega, que deseja e rejeita, que também imagina e compreende. É este tipo de pensamento que precisamos em todas as aulas de matemática. Se você for pai, professor ou alguém envolvido com educação, vou apresentar cinco princípios para se pensar na matemática que usamos em casa e na escola. Princípio um: comece com uma pergunta. De forma geral, as aulas de matemática começam com respostas e nunca abordam o problema principal. "Aqui, os passos para multiplicação. Repete. Para a divisão. Repete. Abordamos toda a matéria. Ótimo." O que importa neste modelo é memorizar os passos. Não há margens para dúvidas, criatividade ou contestações, não existem pensamentos originais. E se começássemos com uma pergunta? Por exemplo: esses são os números de 1 a 20. Há uma pergunta oculta neste quadro, que não é evidente. O que está acontecendo com as cores? Intuitivamente, parece que há alguma conexão entre os números e as cores. Talvez seja possível ampliar essa relação. Ao mesmo tempo, o significado das cores não está claro. É um verdadeiro mistério. Portanto, a pergunta é autêntica e convincente. Como muitas perguntas sobre matemática, esta tem uma resposta maravilhosa e muito satisfatória. Obviamente, não vou dizer qual é. (Risos) Não me considero uma pessoa má, mas não vou dar a resposta. (Risos) Porque sei que, se der a resposta, não daria, a vocês, a oportunidade de aprender. A solução somente aparece quando nos esforçamos. Este é o segundo princípio. É comum a alunos do ensino médio, acreditarem que podem resolver os exercícios em 30 segundos ou menos e se não conseguem resolvê-los, não se consideram bons em matemática. Isto é uma falha da educação. Precisamos ensiná-los a serem persistentes e ousados, a persistirem diante das dificuldades. A única maneira de ensinar perseverança é dar tempo aos alunos para pensar e lidar com problemas. Recentemente, levei esta imagem a uma sala de aula e passamos um bom tempo trabalhando nela. Quanto mais a analisávamos, mais os alunos entendiam. Eles fizeram comentários. Perguntaram coisas. Como: "Por que os números na última coluna têm sempre as cores laranja e azul"? "Círculos com a cor verde estão sempre na diagonal"? "O que são aqueles pequenos números brancos nas partes em vermelho? É importante que estes números sejam sempre ímpares"? Ao trabalhar com perguntas autênticas, os alunos ficam mais curiosos e mais atentos. Eles desenvolvem a capacidade de assumir riscos. Alguns notaram que todos os números pares têm a cor laranja e concluíram: "A cor laranja deve ser um número par". Então perguntaram: "Certo?" (Risos) Pode ser uma situação assustadora para um professor. Um aluno vem com uma pergunta original. E se você não souber a resposta? Este é o terceiro princípio: você não é a solução. Professores, os alunos podem fazer perguntas que você não sabe responder. Isso pode parecer uma ameaça. Mas você não sabe tudo. Alunos curiosos são muito bem-vindos na sala de aula. Você pode responder desta forma: "Não sei, vamos descobrir", a matemática é uma aventura. Isso serve para os pais também. Quando você vai ensinar matemática ao seu filho, não precisa saber todas as respostas. Pode pedir a ele para explicar para você ou tentar entender juntos. Ensine a eles que não saber não é um fracasso. Este é o primeiro passo para o conhecimento. Quando os alunos me perguntaram se a cor laranja significava par, não revelei a resposta. Nem mesmo eu preciso saber a resposta. Posso perguntar a um deles para me explicar sua escolha. Ou podemos perguntar a toda a classe. Porque eles sabem que não darei as respostas, precisam se convencer e discutir entre si, para descobrir a resposta. Um aluno diz: "Veja, 2, 4, 6, 8, 10, 12. Verifiquei todos os números pares. Todos têm a cor laranja. O que mais precisam?" Outro diz: "Espere um pouco, concordo com você, mas alguns números têm uma parte em laranja, outros têm duas ou três partes. Olhe o 48. Tem quatro partes em laranja. Está me dizendo que 48 é o mesmo que quatro vezes 46? Deve haver mais nesta história". Recusar-se a ser a solução, cria a oportunidade para a conversa e o debate da matemática. Isso atrai todos, porque adoramos ver pessoas discordando. Afinal, onde mais podemos ver o verdadeiro pensamento alto e bom som? Estudantes duvidam, afirmam, negam, compreendem. Tudo o que o professor tem que fazer é não ser a solução e dizer "sim" às ideias deles. Este é o quarto princípio. Este é bem difícil. Se um aluno disser que 2 + 2 = 12? Você vai corrigí-lo, certo? Queremos que os alunos compreendam certos fatos básicos e como usá-los. Porém, dizer: "sim" é diferente de dizer: "Está certo". No debate, podem-se aceitar ideias, mesmo que estejam erradas, e dizer: "sim" para permitir aos alunos, o direito de pensar matematicamente. Ter ideias rejeitadas sem reflexão é desestimulante. Ter ideias aceitas, estudadas e contestadas é sinal de respeito. É muito melhor que seus colegas digam que você está errado, do que ouvir isso de um professor. Permitam-me ir um pouco além. Como se pode ter certeza que 2 + 2 não é igual a 12? O que aconteceria se disséssemos "sim" para esta ideia? Não sei. Vamos descobrir. Se 2 + 2 = 12, então 2 + 1 = 11, um a menos. Assim, 2 + 0 = 10. Mas se 2 é 10, então 1 seria 9 e zero seria 8. Tenho que admitir que isso não está certo. Parece que destruímos a matemática. Compreendo perfeitamente a razão disso não ser verdade.
Just from thinking about it, if we were on a number line, and if I'm at 0, 8 is eight steps that way, and there's no way I could take eight steps and wind up back where I started. Unless ... (Laughter) well, what if it wasn't a number line? What if it was a number circle? Then I could take eight steps and wind back where I started. 8 would be 0. In fact, all of the infinite numbers on the real line would be stacked up in those eight spots. And we're in a new world. And we're just playing here, right? But this is how new math gets invented. Mathematicians have actually been studying number circles for a long time. They've got a fancy name and everything: modular arithmetic. And not only does the math work out, it turns out to be ridiculously useful in fields like cryptography and computer science. It's actually no exaggeration to say that your credit card number is safe online because someone was willing to ask, "What if it was a number circle instead of a number line?" So, yes, we need to teach students that 2 plus 2 equals 4. But also we need to say "yes" to their ideas and their questions and model the courage we want them to have. It takes courage to say, "What if 2 plus 2 equals 12?" and actually explore the consequences. It takes courage to say, "What if the angles in a triangle didn't add up to 180 degrees?" or "What if there were a square root of negative 1?" or "What if there were different sizes of infinity?" But that courage and those questions led to some of the greatest breakthroughs in history. All it takes is willingness to play. And that is principle five. Mathematics is not about following rules. It's about playing and exploring and fighting and looking for clues and sometimes breaking things. Einstein called play the highest form of research. And a math teacher who lets their students play with math gives them the gift of ownership. Playing with math can feel like running through the woods when you were a kid. And even if you were on a path, it felt like it all belonged to you. Parents, if you want to know how to nurture the mathematical instincts of your children, play is the answer. What books are to reading, play is to mathematics. And a home filled with blocks and puzzles and games and play is a home where mathematical thinking can flourish. I believe we have the power to help mathematical thinking flourish everywhere. We can't afford to misuse math to create passive rule-followers. Math has the potential to be our greatest asset in teaching the next generation to meet the future with courage, curiosity, and creativity. And if all students get a chance to experience the beauty and power of authentic mathematical thinking, maybe it won't sound so strange when they say, "Math? I actually love math." Thank you. (Applause)
Só de pensar. Se estivéssemos sobre uma linha numerada, se eu estiver no zero, o oito está oito passos à frente e não tem como dar oito passos e voltar à posição inicial. A menos que... (Risos) E se não fosse uma linha numerada, e sim um círculo numerado? Eu poderia dar oito passos e voltar à posição inicial. Oito seria zero. Todos os infinitos números na linha ficariam empilhados sobre esses oito pontos. Seria um mundo novo. Estamos apenas brincando, certo? É como reinventar uma nova matemática. Matemáticos têm estudado círculos numerados por muito tempo. Deram até um nome chique e tudo mais: Aritmética Modular. Matemática não só funciona, como também é muito útil nos campos da criptografia e ciência da computação. Não é exagero dizer que o número de seu cartão de crédito está seguro na internet porque alguém questionou: "E se fosse um círculo numerado em vez de uma linha numerada"? Portanto, precisamos ensinar aos alunos que 2 + 2 = 4. Precisamos também dizer "sim" para as perguntas e ideias deles e moldar a ousadia que queremos que tenham. É preciso ter coragem para dizer: "E se 2 + 2 = 12?" E explorar as consequências. É preciso ter coragem para dizer: "E se os ângulos num triângulo não somarem 180 graus?" "E se existisse a raiz quadrada de -1?" "E se houvesse diferentes tamanhos de infinito?" Mas esta ousadia e esses questionamentos levaram a alguns dos maiores avanços da história. Tudo o que se precisa é vontade de brincar. Este é o quinto princípio. Matemática não se baseia em seguir regras. É sobre brincar, explorar, lutar e procurar por pistas e, às vezes, romper barreiras. Einstein chamou o ato de brincar como a melhor forma de pesquisar. Um professor que permite aos seus alunos que brinquem com matemática, dá a eles o dom do conhecimento. Brincar com matemática é como correr no bosque quando criança. Mesmo num caminho em que tudo parecia familiar. Pais, se querem saber como cultivar os instintos matemáticos de seus filhos, brincar é a resposta. "Livros estão para leitura" assim como "brincar está para matemática". Uma casa cheia de cubos, quebra-cabeças e jogos é o lugar ideal no qual o pensamento matemático pode prosperar. Acredito que podemos ajudar o pensamento matemático prosperar em qualquer lugar. Não podemos nos dar ao luxo de usar mal a matemática e criar seguidores de regras. A matemática tem o potencial para ser o nosso maior patrimônio no ensino para que a próxima geração possa enfrentar o futuro com ousadia, curiosidade e criatividade. Se todos os estudantes tiverem a chance de experimentar a beleza e o poder do pensamento matemático verdadeiro, talvez não pareça tão estranho quando disserem: "Matemática? Eu adoro matemática". Obrigado. (Aplausos)