A friend of mine told me recently that her six-year-old son had come from school and said he hated math. And this is hard for me to hear because I actually love math. The beauty and power of mathematical thinking have changed my life. But I know that many people lived a very different story. Math can be the best of times or the worst of times, an exhilarating journey of discovery or descent into tedium, frustration, and despair. Mathematical miseducation is so common we can hardly see it. We practically expect math class to be repetition and memorization of disjointed technical facts. And we're not surprised when students aren't motivated, when they leave school disliking math, even committed to avoiding it for the rest of their lives. Without mathematical literacy, their career opportunities shrink. And they become easy prey for credit card companies, payday lenders, the lottery, (Laughter) and anyone, really, who wants to dazzle them with a statistic. Did you know that if you insert a single statistic into an assertion, people are 92 percent more likely to accept it without question? (Laughter) Yeah, I totally made that up. (Laughter) And 92 percent is - it has weight even though it's completely fabricated. And that's how it works. When we're not comfortable with math, we don't question the authority of numbers. But what's happening with mathematical alienation is only half the story. Right now, we're squandering our chance to touch life after life with the beauty and power of mathematical thinking. I led a workshop on this topic recently, and at the end, a woman raised her hand and said that the experience made her feel - and this is a quote - "like a God." (Laughter) That's maybe the best description I've ever heard for what mathematical thinking can feel like, so we should examine what it looks like. A good place to start is with the words of the philosopher and mathematician René Descartes, who famously proclaimed, "I think, therefore I am." But Descartes looked deeper into the nature of thinking. Once he established himself as a thing that thinks, he continued, "What is a thinking thing?" It is the thing that doubts, understands, conceives, that affirms and denies, wills and refuses, that imagines also, and perceives. This is the kind of thinking we need in every math class every day. So, if you are a teacher or a parent or anyone with a stake in education, I offer these five principles to invite thinking into the math we do at home and at school. Principle one: start with a question. The ordinary math class begins with answers and never arrives at a real question. "Here are the steps to multiply. You repeat. Here are the steps to divide. You repeat. We've covered the material. We're moving on." What matters in the model is memorizing the steps. There's no room to doubt or imagine or refuse, so there's no real thinking here. What would it look like if we started with a question? For example, here are the numbers from 1 to 20. Now, there's a question lurking in this picture, hiding in plain sight. What's going on with the colors? Now, intuitively it feels like there's some connection between the numbers and the colors. I mean, maybe it's even possible to extend the coloring to more numbers. At the same time, the meaning of the colors is not clear. It's a real mystery. And so, the question feels authentic and compelling. And like so many authentic mathematical questions, this one has an answer that is both beautiful and profoundly satisfying. And of course, I'm not going to tell you what it is. (Laughter) I don't think of myself as a mean person, but I am willing to deny you what you want. (Laughter) Because I know if I rush to an answer, I would've robbed you of the opportunity to learn. Thinking happens only when we have time to struggle. And that is principle two. It's not uncommon for students to graduate from high school believing that every math problem can be solved in 30 seconds or less, and if they don't know the answer, they're just not a math person. This is a failure of education. We need to teach kids to be tenacious and courageous, to persevere in the face of difficulty. The only way to teach perseverance is to give students time to think and grapple with real problems. I brought this image into a classroom recently, and we took the time to struggle. And the longer we spent, the more the class came alive with thinking. The students made observations. They had questions. Like, "Why do the numbers in that last column always have orange and blue in them?" and "Does it mean anything that the green spots are always going diagonally?" and "What's going on with those little white numbers in the red segments? Is it important that those are always odd numbers?" Struggling with a genuine question, students deepen their curiosity and their powers of observation. They also develop the ability to take a risk. Some students noticed that every even number has orange in it, and they were willing to stake a claim. "Orange must mean even." And then they asked, "Is that right?" (Laughter) This can be a scary place as a teacher. A student comes to you with an original thought. What if you don't know the answer? Well, that is principle three: you are not the answer key. Teachers, students may ask you questions you don't know how to answer. And this can feel like a threat. But you are not the answer key. Students who are inquisitive is a wonderful thing to have in your classroom. And if you can respond by saying, "I don't know. Let's find out," math becomes an adventure. And parents, this goes for you too. When you sit down to do math with your children, you don't have to know all the answers. You can ask your child to explain the math to you or try to figure it out together. Teach them that not knowing is not failure. It's the first step to understanding. So, when this group of students asked me if orange means even, I don't have to tell them the answer. I don't even need to know the answer. I can ask one of them to explain to me why she thinks it's true. Or we can throw the idea out to the class. Because they know the answers won't come from me, they need to convince themselves and argue with each other to determine what's true. And so, one student says, "Look, 2, 4, 6, 8, 10, 12. I checked all of the even numbers. They all have orange in them. What more do you want?" And another student says, "Well, wait a minute, I see what you're saying, but some of those numbers have one orange piece, some have two or three. Like, look at 48. It's got four orange pieces. Are you telling me that 48 is four times as even as 46? There must be more to the story." By refusing to be the answer key, you create space for this kind of mathematical conversation and debate. And this draws everyone in because we love to see people disagree. After all, where else can you see real thinking out loud? Students doubt, affirm, deny, understand. And all you have to do as the teacher is not be the answer key and say "yes" to their ideas. And that is principle four. Now, this one is difficult. What if a student comes to you and says 2 plus 2 equals 12? You've got to correct them, right? And it's true, we want students to understand certain basic facts and how to use them. But saying "yes" is not the same thing as saying "You're right." You can accept ideas, even wrong ideas, into the debate and say "yes" to your students' right to participate in the act of thinking mathematically. To have your idea dismissed out of hand is disempowering. To have it accepted, studied, and disproven is a mark of respect. It's also far more convincing to be shown you're wrong by your peers than told you're wrong by the teacher. But allow me to take this a step further. How do you actually know that 2 plus 2 doesn't equal 12? What would happen if we said "yes" to that idea? I don't know. Let's find out. So, if 2 plus 2 equaled 12, then 2 plus 1 would be one less, so that would be 11. And that would mean that 2 plus 0, which is just 2, would be 10. But if 2 is 10, then 1 would be 9, and 0 would be 8. And I have to admit this looks bad. It looks like we broke mathematics. But I actually understand why this can't be true now.
Een vriend van me vertelde me onlangs dat haar zoontje van zes van school was gekomen en zei dat hij wiskunde haatte. Dat doet me pijn om te horen, want ik hou zo van wiskunde. De schoonheid en de kracht van wiskundig denken hebben mijn leven veranderd. Maar ik weet dat veel mensen een andere ervaring hebben. Wiskunde kan de hemel zijn of de hel, een opwindende ontdekkingsreis of opsluiting in verveling, frustratie en wanhoop. Slecht wiskundig onderwijs is zo de norm dat het niet meer opvalt. We verwachten bijna van een wiskundeles dat we er onsamenhangende technische regels uit het hoofd leren. En het verrast ons niet dat studenten ongemotiveerd zijn, dat ze van school gaan met een afkeer van wiskunde, zelfs vastbesloten het voor altijd te vermijden. Niet wiskundig onderlegd zijn hun carrièremogelijkheden beperkt. En ze worden een eenvoudige prooi voor creditcardmaatschappijen, leningverstrekkers, de loterij, (Gelach) of mensen die ze willen verblinden met een statistisch feit. Wist je dat als je één enkel statistisch feit in een bewering stopt, mensen 92% meer geneigd zijn het zonder twijfel te accepteren? (Gelach) Ja, die heb ik zelf verzonnen. (Gelach) En 92% klinkt gewoon indrukwekkend, ook al is het compleet verzonnen. En zo werkt het. Als wiskunde ons niet ligt, twijfelen we niet aan de autoriteit van getallen. Maar wat er gebeurt bij wiskundige vervreemding is nog slechts het halve verhaal. We verspillen onze kans om al die levens te verrijken met de schoonheid en kracht van wiskundig denken. Ik gaf hierover onlangs een workshop en na afloop stak een vrouw haar hand op en zei dat de ervaring haar deed voelen -- ik citeer -- "als een God." (Gelach) Dat is misschien de beste beschrijving die ik ooit hoorde voor hoe wiskundig denken kan aanvoelen, dus we moeten eens onderzoeken hoe dat eruit ziet. We kunnen beginnen met de woorden van filosoof en wiskundige René Descartes, die beroemd is van het citaat: "Ik denk, dus ik ben." Maar Descartes groef dieper in het wezen van het denken. Nadat hij had vastgesteld dat hij een ding was wat dacht, ging hij verder: "Wat is een denkend ding?" Het is iets dat twijfelt, begrijpt, bedenkt, dat bevestigt en ontkent, wil en weigert, en dat ook verbeeldt en beschouwt. Dat is het soort denken dat we ook in wiskundeklassen nodig hebben. Dus of je nu leraar bent of ouder of wie zich ook bezighoudt met educatie, ik bied je deze vijf beginsels om het denken uit te nodigen in de wiskunde op school en thuis. Beginsel 1: begin met een vraag. De gemiddelde wiskundeklas begint met antwoorden en komt nooit toe aan een echte vraag. 'Vermenigvuldigen gaat zo. Zeg mij na. Delen gaat zo. Zeg mij na. We zijn erdoorheen. We gaan verder.' Het belangrijke in dit model is dat je de stappen onthoudt. Er is geen ruimte voor twijfel, verbeelding of tegenwerping, dus er wordt niet echt gedacht. Hoe zou het eruit zien als we begonnen met een vraag? Hier zijn bijvoorbeeld de getallen 1 t/m 20. Er houdt zich een vraag schuil in dit plaatje en nogal opzichtig ook: wat doen die kleuren daar? Intuïtief voel je dat er een relatie bestaat tussen de getallen en de kleuren. Misschien is het zelfs mogelijk kleuren bij meer getallen te plaatsen. Toch is de betekenis van de kleuren onduidelijk. Het is mysterieus. Dus de vraag voelt authentiek en onweerstaanbaar. En zoals zovele authentieke wiskundige vragen heeft deze een antwoord dat zowel mooi als zeer bevredigend is. En dat antwoord ga ik jullie natuurlijk niet geven. (Gelach) Ik zie mezelf niet als een wreed persoon, maar jullie niet geven wat je wilt, dat lukt me wel. (Gelach) Want ik weet dat als ik snel een antwoord geef, ik jullie van de gelegenheid beroof iets te leren. Denken gebeurt alleen als we tijd hebben om te worstelen. En dat is beginsel 2. Het is niet ongewoon dat studenten na de middelbare school geloven dat ieder wiskundig probleem binnen 30 seconden kan worden opgelost en dat als ze het antwoord niet weten, ze geen wiskundig persoon zijn. Dit is een tekortkoming van het onderwijs. We moeten kinderen leren vasthoudend en moedig te zijn, om door te zetten wanneer het moeilijk wordt. Doorzettingsvermogen ontwikkel je alleen door studenten tijd te geven om te worstelen met echte problemen. Ik nam dit plaatje onlangs mee een klaslokaal in en we namen de tijd om ermee te worstelen. En hoe meer tijd we namen, hoe levendiger het denken werd. De studenten merkten dingen op. Ze hadden vragen. Zoals: "Waarom hebben in die laatste kolom alle getallen oranje en blauw?" En: "Betekent het iets dat die groene stippen altijd diagonaal lopen?" En: "Wat betekenen die kleine witte getallen in de rode segmenten? Is het belangrijk dat dat altijd oneven getallen zijn?" Als ze worstelen met een echte vraag verdiepen studenten hun nieuwsgierigheid en hun vermogen te observeren. Ze ontwikkelen ook het vermogen een risico te nemen. Sommige studenten zagen dat ieder even getal oranje had en zij durfden wel een stelling aan: "Oranje moet wel even betekenen." En toen vroegen ze: "Klopt dat?" (Gelach) Dat is een lastig moment als leraar. Een student komt bij je met een originele gedachte. En als je het antwoord nou niet weet? Nou, dat is beginsel 3: je bent niet de antwoordknop. Leraren, studenten stellen je soms vragen waarop je het antwoord niet weet. Dat kan bedreigend aanvoelen. Maar je bent de antwoordknop niet. Student die vragen stellen, zijn een heerlijk iets om in je klas te hebben. En als je kunt antwoorden met: 'Ik weet het niet. Laten we het uitzoeken', dan wordt wiskunde een avontuur. En ouders, datzelfde geldt voor jullie. Als je samen met je kind wiskunde zit te doen, hoef je niet overal een antwoord op te hebben. Je kunt je kind vragen het aan jou uit te leggen, of je kunt proberen het samen uit te zoeken. Leer ze dat niet weten niet hetzelfde is als falen. Het is de eerste stap naar begrijpen. Dus als die groep me vraagt of oranje staat voor 'even', hoef ik ze het antwoord niet te vertellen. Ik hoef het antwoord niet eens te weten. Ik kan een van hen vragen me uit te leggen waarom zij denkt dat het zo is. Of we kunnen het idee in de groep gooien. Want als ze weten dat het antwoord niet van mij zal komen, zullen ze elkaar moeten overtuigen en moeten discussiëren om uit te vinden wat waar is. Dus een student zegt: 'Kijk, 2, 4, 6, 8, 10, 12. Kijk maar naar alle even getallen, ze hebben allemaal oranje. Wat wil je nog meer?' Een andere student zegt: 'Maar wacht eens even. Ik snap wat je bedoelt, maar sommige van die getallen hebben één oranje stukje en andere twee of drie. Kijk naar 48. Dat heeft vier oranje stukjes. Wil je zeggen dat 48 vier keer zo even is als 46? Daar moet meer achter zitten.' Door niet de antwoordknop te zijn maak je ruimte voor dit soort wiskundige conversatie en debat. En iedereen gaat meedoen, want we zien graag dat mensen het oneens zijn. Want wees eerlijk: waar anders zie je nog echt hardop denken? Studenten twijfelen, bevestigen, ontkennen, begrijpen. En alles wat je als leraar hoeft te doen is niet de antwoordknop zijn en 'ja' zeggen tegen hun ideeën. En dat is beginsel 4. Nu is deze wel lastig. Wat als een student tegen je zegt dat 2 plus 2 samen 12 is? Dat moet je corrigeren, niet? Het is waar dat we willen dat studenten de basisfeiten kennen en hoe je ze moet gebruiken. Maar 'ja' zeggen is niet hetzelfde als zeggen: 'Je hebt gelijk.' Je kunt alle ideeën, zelfs verkeerde, toelaten tot het debat en 'ja' zeggen tegen het recht van je student om aan het wiskundig denken mee te doen. Je idee zonder meer afgewezen zien werkt ontmoedigend. Het geaccepteerd, bestudeerd en ontkracht zien, voelt als respect. Het is veel overtuigender als je ongelijk wordt aangetoond door je klasgenoten, dan dat de leraar zegt dat het fout is. Maar ik kan het nog sterker vertellen. Hoe weet je eigenlijk dat 2 plus 2 geen 12 is? Wat als we 'ja' zouden zeggen tegen dat idee? Ik weet het niet. Laten we eens kijken. Als 2 plus 2 samen 12 zou zijn, dan zou 2 plus 1 één minder zijn, dus dat zou 11 zijn. En dat zou betekenen dat 2 plus 0, wat gewoon 2 is, 10 zou zijn. Maar als 2 gelijk is aan 10, zou 1 gelijk zijn aan 9 en 0 zou 8 zijn. Ik moet toegeven dat dit er lelijk uitziet -- alsof we de wiskunde hebben gebroken. Maar nu begrijp ik waarom dat niet waar kan zijn,
Just from thinking about it, if we were on a number line, and if I'm at 0, 8 is eight steps that way, and there's no way I could take eight steps and wind up back where I started. Unless ... (Laughter) well, what if it wasn't a number line? What if it was a number circle? Then I could take eight steps and wind back where I started. 8 would be 0. In fact, all of the infinite numbers on the real line would be stacked up in those eight spots. And we're in a new world. And we're just playing here, right? But this is how new math gets invented. Mathematicians have actually been studying number circles for a long time. They've got a fancy name and everything: modular arithmetic. And not only does the math work out, it turns out to be ridiculously useful in fields like cryptography and computer science. It's actually no exaggeration to say that your credit card number is safe online because someone was willing to ask, "What if it was a number circle instead of a number line?" So, yes, we need to teach students that 2 plus 2 equals 4. But also we need to say "yes" to their ideas and their questions and model the courage we want them to have. It takes courage to say, "What if 2 plus 2 equals 12?" and actually explore the consequences. It takes courage to say, "What if the angles in a triangle didn't add up to 180 degrees?" or "What if there were a square root of negative 1?" or "What if there were different sizes of infinity?" But that courage and those questions led to some of the greatest breakthroughs in history. All it takes is willingness to play. And that is principle five. Mathematics is not about following rules. It's about playing and exploring and fighting and looking for clues and sometimes breaking things. Einstein called play the highest form of research. And a math teacher who lets their students play with math gives them the gift of ownership. Playing with math can feel like running through the woods when you were a kid. And even if you were on a path, it felt like it all belonged to you. Parents, if you want to know how to nurture the mathematical instincts of your children, play is the answer. What books are to reading, play is to mathematics. And a home filled with blocks and puzzles and games and play is a home where mathematical thinking can flourish. I believe we have the power to help mathematical thinking flourish everywhere. We can't afford to misuse math to create passive rule-followers. Math has the potential to be our greatest asset in teaching the next generation to meet the future with courage, curiosity, and creativity. And if all students get a chance to experience the beauty and power of authentic mathematical thinking, maybe it won't sound so strange when they say, "Math? I actually love math." Thank you. (Applause)
door er over na te denken. Als we op een getallenlijn zouden zitten en ik ben bij 0, dan is 8 acht stappen die kant uit, en ik kan niet acht stappen die kant uit doen en weer terug zijn waar ik begon. Tenzij ... (Gelach) het helemaal geen getallenlijn was. Wat als het een getallencirkel was? Dan zou ik na acht stappen weer op dezelfde plaats uitkomen. 8 zou 0 zijn. Al het oneindige aantal getallen op de lijn zouden zijn opgestapeld op die acht plekken. En we zijn in een nieuwe wereld. We zijn maar aan het spelen, nietwaar? Maar zo wordt nieuwe wiskunde ontdekt. Wiskundigen bestuderen feitelijk al heel lang getallencirkels. Ze hebben een sexy naam en alles: modulaire wiskunde. En de wiskunde klopt niet alleen, ze blijkt ook nog belachelijk handig op gebieden als cryptografie en computerwetenschap. Het is feitelijk niet overdreven te zeggen dat je je creditcardnummer veilig online kunt gebruiken omdat iemand bereid was te vragen: 'Wat als het een getallencirkel was in plaats van een getallenlijn?' Dus ja, we moeten leerlingen leren dat 2 plus 2 samen 4 is. Maar we moeten ook 'ja' zeggen tegen hun ideeën en vragen en de nieuwsgierigheid aanmoedigen die we graag bij ze zien. Er is moed voor nodig om te vragen: 'Wat als 2 plus 2 nu 12 is?' en daar de consequenties van te onderzoeken. Er is moed voor nodig om te zeggen: 'Wat als de hoeken van een driehoek samen geen 180 graden zouden zijn?' of 'Wat als je de wortel kon trekken van -1?' of 'Wat als je oneindigheid in verschillende maten had?' Maar die moed en die vragen hebben tot enkele van de grootste doorbraken in de geschiedenis geleid. Alles wat nodig is, is de wil om te spelen. En dat is beginsel 5. Wiskunde gaat niet over het volgen van regels. Het gaat over spelen en ontdekken en vechten en speuren naar aanknopingspunten en soms dingen breken. Einstein noemde spelen de hoogste vorm van onderzoek. En een wiskundeleraar die zijn leerlingen laat spelen met wiskunde geeft ze het cadeau van eigenaarschap. Spelen met wiskunde kan voelen als door het bos rennen toen je nog een kind was. En ook al liep je op een pad, het voelde of het allemaal van jou was. Ouders, als je wil weten hoe je de wiskundige instincten van je kinderen moet koesteren, dan is spelen je antwoord. Wat boeken zijn voor lezen, is spelen voor wiskunde. En een huis vol blokken en puzzels en spelletjes en spel is een huis waar wiskundig denken kan floreren. Ik geloof dat we wiskundig denken overal kunnen laten floreren. We kunnen ons niet veroorloven wiskunde te misbruiken om passieve regelknechten te maken. Wiskunde heeft het in zich ons waardevolste wapen te zijn om de volgende generatie mee te leren de toekomst het hoofd te bieden met moed, nieuwsgierigheid en creativiteit. En als alle studenten een kans krijgen de schoonheid en kracht te ervaren van authentiek wiskundig denken, dan zal het wellicht niet zo vreemd klinken als ze zeggen: 'Wiskunde? Ik hou van wiskunde.' Dankjewel. (Applaus)