A friend of mine told me recently that her six-year-old son had come from school and said he hated math. And this is hard for me to hear because I actually love math. The beauty and power of mathematical thinking have changed my life. But I know that many people lived a very different story. Math can be the best of times or the worst of times, an exhilarating journey of discovery or descent into tedium, frustration, and despair. Mathematical miseducation is so common we can hardly see it. We practically expect math class to be repetition and memorization of disjointed technical facts. And we're not surprised when students aren't motivated, when they leave school disliking math, even committed to avoiding it for the rest of their lives. Without mathematical literacy, their career opportunities shrink. And they become easy prey for credit card companies, payday lenders, the lottery, (Laughter) and anyone, really, who wants to dazzle them with a statistic. Did you know that if you insert a single statistic into an assertion, people are 92 percent more likely to accept it without question? (Laughter) Yeah, I totally made that up. (Laughter) And 92 percent is - it has weight even though it's completely fabricated. And that's how it works. When we're not comfortable with math, we don't question the authority of numbers. But what's happening with mathematical alienation is only half the story. Right now, we're squandering our chance to touch life after life with the beauty and power of mathematical thinking. I led a workshop on this topic recently, and at the end, a woman raised her hand and said that the experience made her feel - and this is a quote - "like a God." (Laughter) That's maybe the best description I've ever heard for what mathematical thinking can feel like, so we should examine what it looks like. A good place to start is with the words of the philosopher and mathematician René Descartes, who famously proclaimed, "I think, therefore I am." But Descartes looked deeper into the nature of thinking. Once he established himself as a thing that thinks, he continued, "What is a thinking thing?" It is the thing that doubts, understands, conceives, that affirms and denies, wills and refuses, that imagines also, and perceives. This is the kind of thinking we need in every math class every day. So, if you are a teacher or a parent or anyone with a stake in education, I offer these five principles to invite thinking into the math we do at home and at school. Principle one: start with a question. The ordinary math class begins with answers and never arrives at a real question. "Here are the steps to multiply. You repeat. Here are the steps to divide. You repeat. We've covered the material. We're moving on." What matters in the model is memorizing the steps. There's no room to doubt or imagine or refuse, so there's no real thinking here. What would it look like if we started with a question? For example, here are the numbers from 1 to 20. Now, there's a question lurking in this picture, hiding in plain sight. What's going on with the colors? Now, intuitively it feels like there's some connection between the numbers and the colors. I mean, maybe it's even possible to extend the coloring to more numbers. At the same time, the meaning of the colors is not clear. It's a real mystery. And so, the question feels authentic and compelling. And like so many authentic mathematical questions, this one has an answer that is both beautiful and profoundly satisfying. And of course, I'm not going to tell you what it is. (Laughter) I don't think of myself as a mean person, but I am willing to deny you what you want. (Laughter) Because I know if I rush to an answer, I would've robbed you of the opportunity to learn. Thinking happens only when we have time to struggle. And that is principle two. It's not uncommon for students to graduate from high school believing that every math problem can be solved in 30 seconds or less, and if they don't know the answer, they're just not a math person. This is a failure of education. We need to teach kids to be tenacious and courageous, to persevere in the face of difficulty. The only way to teach perseverance is to give students time to think and grapple with real problems. I brought this image into a classroom recently, and we took the time to struggle. And the longer we spent, the more the class came alive with thinking. The students made observations. They had questions. Like, "Why do the numbers in that last column always have orange and blue in them?" and "Does it mean anything that the green spots are always going diagonally?" and "What's going on with those little white numbers in the red segments? Is it important that those are always odd numbers?" Struggling with a genuine question, students deepen their curiosity and their powers of observation. They also develop the ability to take a risk. Some students noticed that every even number has orange in it, and they were willing to stake a claim. "Orange must mean even." And then they asked, "Is that right?" (Laughter) This can be a scary place as a teacher. A student comes to you with an original thought. What if you don't know the answer? Well, that is principle three: you are not the answer key. Teachers, students may ask you questions you don't know how to answer. And this can feel like a threat. But you are not the answer key. Students who are inquisitive is a wonderful thing to have in your classroom. And if you can respond by saying, "I don't know. Let's find out," math becomes an adventure. And parents, this goes for you too. When you sit down to do math with your children, you don't have to know all the answers. You can ask your child to explain the math to you or try to figure it out together. Teach them that not knowing is not failure. It's the first step to understanding. So, when this group of students asked me if orange means even, I don't have to tell them the answer. I don't even need to know the answer. I can ask one of them to explain to me why she thinks it's true. Or we can throw the idea out to the class. Because they know the answers won't come from me, they need to convince themselves and argue with each other to determine what's true. And so, one student says, "Look, 2, 4, 6, 8, 10, 12. I checked all of the even numbers. They all have orange in them. What more do you want?" And another student says, "Well, wait a minute, I see what you're saying, but some of those numbers have one orange piece, some have two or three. Like, look at 48. It's got four orange pieces. Are you telling me that 48 is four times as even as 46? There must be more to the story." By refusing to be the answer key, you create space for this kind of mathematical conversation and debate. And this draws everyone in because we love to see people disagree. After all, where else can you see real thinking out loud? Students doubt, affirm, deny, understand. And all you have to do as the teacher is not be the answer key and say "yes" to their ideas. And that is principle four. Now, this one is difficult. What if a student comes to you and says 2 plus 2 equals 12? You've got to correct them, right? And it's true, we want students to understand certain basic facts and how to use them. But saying "yes" is not the same thing as saying "You're right." You can accept ideas, even wrong ideas, into the debate and say "yes" to your students' right to participate in the act of thinking mathematically. To have your idea dismissed out of hand is disempowering. To have it accepted, studied, and disproven is a mark of respect. It's also far more convincing to be shown you're wrong by your peers than told you're wrong by the teacher. But allow me to take this a step further. How do you actually know that 2 plus 2 doesn't equal 12? What would happen if we said "yes" to that idea? I don't know. Let's find out. So, if 2 plus 2 equaled 12, then 2 plus 1 would be one less, so that would be 11. And that would mean that 2 plus 0, which is just 2, would be 10. But if 2 is 10, then 1 would be 9, and 0 would be 8. And I have to admit this looks bad. It looks like we broke mathematics. But I actually understand why this can't be true now.
Hace poco, una amiga me dijo que su hijo de 6 años volvió del colegio y le dijo que odiaba las matemáticas. Me cuesta oír esto porque yo amo las matemáticas. La belleza y el poder del pensamiento matemático cambiaron mi vida. Pero sé que mucha gente vivió una historia diferente. Las matemáticas pueden hacernos pasar el mejor de los momentos, o el peor, un viaje de descubrimiento emocionante o un descenso a la monotonía, frustración y desesperación. La mala enseñanza de las matemáticas es tan común que no la notamos. Esperamos que la clase de matemáticas sea repetición y memorización de datos técnicos inconexos. Y es lógico que los alumnos no estén motivados cuando salen del colegio odiando las matemáticas, incluso decididos a evitarlas por el resto de sus vidas. Sin educación matemática, sus oportunidades profesionales se reducen y se convierten en presa fácil para las compañías de tarjetas de crédito, prestamistas, la lotería (Risas) y cualquiera que quiera deslumbrarlos con estadísticas. ¿Sabían que si incluyen una estadística en una afirmación la gente es un 92 % más propensa a aceptarla sin cuestionar? (Risas) Sí, lo acabo de inventar. (Risas) Y 92 % tiene peso, aunque sea completamente inventado. Así funciona. Cuando no nos gustan las matemáticas, no cuestionamos la autoridad de los números. Pero la enemistad con las matemáticas es solo la mitad de la historia. Actualmente, estamos derrochando la oportunidad de tocar vidas con la belleza y el poder del razonamiento matemático. Hace poco di un taller sobre el tema y, al finalizar, una mujer levantó la mano y dijo que la experiencia la hizo sentir, cito textualmente, "como un Dios". (Risas) Puede que haya sido la mejor descripción que escuché sobre lo que el razonamiento matemático puede hacernos sentir; así que veamos a qué se parece. Un buen comienzo son las palabras del filósofo y matemático René Descartes, quien proclamó su famosa frase, "Pienso luego existo". Pero Descartes analizó más profundamente el pensamiento. Cuando se proclamó como una cosa pensante, continuó con "¿Qué es una cosa pensante?". Es algo que duda, entiende, concibe, afirma y niega, desea y rechaza, que también imagina y percibe. Este es el tipo de pensamiento que necesitamos en las clases de matemáticas. Si eres docente, padre, madre o alguien interesado en la educación, te ofrezco estos cinco principios para pensar en las matemáticas que hacemos en el hogar y en la escuela. Principio 1: Comienza con una pregunta. La típica clase de matemáticas comienza con respuestas y nunca llega a una verdadera pregunta. "Los pasos para multiplicar. Repitan. Los pasos para dividir. Repitan. Cubrimos el material. Sigamos". Lo que importa en el modelo es memorizar los pasos. No hay lugar para dudar o imaginar o refutar, así que no hay pensamiento real. ¿Qué pasaría si empezáramos con una pregunta? Por ejemplo, aquí están los números del 1 al 20. Hay una pregunta implícita en esta imagen, oculta a plena vista. ¿Qué sucede con los colores? De manera intuitiva, parece que hay alguna conexión entre los números y los colores. Es decir, quizá es posible extender los colores a más números. Al mismo tiempo, el significado de los colores no es claro. Es un verdadero misterio. La pregunta se ve auténtica y cautivadora. Y como tantas preguntas matemáticas auténticas, esta tiene una respuesta que es bella y muy satisfactoria. Por supuesto, no voy a decirles cuál es. (Risas) No me considero una mala persona, pero estoy dispuesto a negarles lo que quieren. (Risas) Porque sé que si me apresuro a dar una respuesta, les robaría la oportunidad de aprender. El pensamiento ocurre solo cuando tenemos tiempo de hacer el esfuerzo. Ese es el segundo principio. No es raro que los estudiantes terminen la escuela secundaria creyendo que cualquier problema matemático se puede resolver en 30 segundos o menos, y que si no saben la respuesta, no está hechos para las matemáticas. Esta es una falla de la educación. Debemos enseñar a los alumnos a ser tenaces y valientes, a perseverar ante las dificultades. La única manera de enseñar perseverancia es dando a los estudiantes tiempo para pensar y resolver problemas. Hace poco llevé esta imagen a una clase, y nos tomamos tiempo para pensar. Mientras más pasaba el tiempo, la clase se ponía más pensativa. Los alumnos hacían observaciones. Formulaban preguntas, como, "¿Por qué los números de la última columna siempre tienen anaranjado y azul?". "¿Significa algo que los puntos verdes siempre están en diagonal?". "¿Qué sucede con esos pequeños números blancos en los segmentos rojos? ¿Es relevante que siempre sean números impares?". Al lidiar con una pregunta legítima, los alumnos aumentan su curiosidad y su poder de observación. También desarrollan la capacidad de asumir riesgos. Algunos alumnos notaron que todos los números pares tenían anaranjado, y querían arriesgarse. "El anaranjado debe significar par". Y luego preguntaban, "¿Es correcto?". (Risas) Esta puede ser una posición temible para un profesor. Un alumno viene con un pensamiento original, y ¿qué pasa si no sabemos la respuesta? Ese es el tercer principio: No somos la hoja de respuestas. Profesores, los estudiantes pueden hacerles preguntas cuya respuesta desconozcan. Y puede parecer una amenaza. Pero no son la hoja de respuestas. Es hermoso tener alumnos curiosos en la clase. Y si pueden responder diciendo, "No lo sé. Averigüémoslo.", las matemáticas se vuelven una aventura. Esto también va para los padres. Cuando se sienten con sus hijos a hacer los deberes de matemáticas, no tienen que saber todas las respuestas. Pueden pedirles a sus hijos que les expliquen a Uds. o tratar de resolverlo juntos. Enséñenles que no saber no es fracasar. Es el primer paso para comprender. Cuando estos alumnos me preguntaron si el anaranjado era par, no tenía que decirles la respuesta. Ni siquiera tenía que saber la respuesta. Puedo pedirle a alguno que me explique por qué piensa eso. O podemos compartir la idea con la clase. Como saben que las respuestas no saldrán de mí, tienen que convencerse y debatir entre ellos para decidir qué es correcto. Un alumno dijo, "Miren, 2, 4, 6, 8, 10, 12. Verifiqué todos los números pares. Todos tienen anaranjado. ¿Qué más quieren?". Y otro dijo, "Espera un momento, veo cuál es tu punto, pero algunos de esos números tienen una parte naranja, otros tienen dos o tres. Por ejemplo, el 48. Tiene cuatro partes naranjas. ¿Me dices que 48 es cuatro veces par como el 46? Debe haber algo más". Al negarse a ser la hoja de respuestas, crean un espacio para este tipo de charla y debate matemático. Esto involucra a todos porque nos encanta ver a la gente en desacuerdo. Después de todo, ¿dónde más pueden ver pensamiento verdadero? Los alumnos dudan, afirman, niegan, entienden. Y todo lo que tienen que hacer como docentes es no dar las respuestas y decir "sí" a las ideas de los alumnos. Ese es el cuarto principio. Este es difícil. ¿Qué sucede si un alumno les dice que 2 + 2 es 12? Lo tienen que corregir, ¿cierto? Sí, queremos que los alumnos entiendan hechos básicos y sepan utilizarlos. Pero decir "sí" no es lo mismo que decir "tienes razón". Pueden aceptar ideas, incluso erróneas, en un debate y decir "sí" al derecho de sus alumnos a participar en el acto de pensar matemáticamente. Que no se tengan en cuenta nuestras ideas es frustrante. Si se las acepta, estudia y refuta, es una muestra de respeto. Es mucho más convincente que tus pares te marquen un error a que lo haga tu profesor. Permítanme ir un paso más allá. ¿Cómo saben que 2 + 2 no es 12? ¿Qué pasaría si dijéramos "sí" a esa idea? No lo sé. Averigüémoslo. Si 2 + 2 diera 12, 2 + 1 sería uno menos, es decir, 11. Eso significaría que 2 + 0, que es 2, sería 10. Pero si 2 es 10, 1 sería 9, y 0 sería 8. Debo admitir que esto no se ve nada bien, como si hubiéramos roto las matemáticas. Pero en realidad entiendo por qué esto no puede ser correcto.
Just from thinking about it, if we were on a number line, and if I'm at 0, 8 is eight steps that way, and there's no way I could take eight steps and wind up back where I started. Unless ... (Laughter) well, what if it wasn't a number line? What if it was a number circle? Then I could take eight steps and wind back where I started. 8 would be 0. In fact, all of the infinite numbers on the real line would be stacked up in those eight spots. And we're in a new world. And we're just playing here, right? But this is how new math gets invented. Mathematicians have actually been studying number circles for a long time. They've got a fancy name and everything: modular arithmetic. And not only does the math work out, it turns out to be ridiculously useful in fields like cryptography and computer science. It's actually no exaggeration to say that your credit card number is safe online because someone was willing to ask, "What if it was a number circle instead of a number line?" So, yes, we need to teach students that 2 plus 2 equals 4. But also we need to say "yes" to their ideas and their questions and model the courage we want them to have. It takes courage to say, "What if 2 plus 2 equals 12?" and actually explore the consequences. It takes courage to say, "What if the angles in a triangle didn't add up to 180 degrees?" or "What if there were a square root of negative 1?" or "What if there were different sizes of infinity?" But that courage and those questions led to some of the greatest breakthroughs in history. All it takes is willingness to play. And that is principle five. Mathematics is not about following rules. It's about playing and exploring and fighting and looking for clues and sometimes breaking things. Einstein called play the highest form of research. And a math teacher who lets their students play with math gives them the gift of ownership. Playing with math can feel like running through the woods when you were a kid. And even if you were on a path, it felt like it all belonged to you. Parents, if you want to know how to nurture the mathematical instincts of your children, play is the answer. What books are to reading, play is to mathematics. And a home filled with blocks and puzzles and games and play is a home where mathematical thinking can flourish. I believe we have the power to help mathematical thinking flourish everywhere. We can't afford to misuse math to create passive rule-followers. Math has the potential to be our greatest asset in teaching the next generation to meet the future with courage, curiosity, and creativity. And if all students get a chance to experience the beauty and power of authentic mathematical thinking, maybe it won't sound so strange when they say, "Math? I actually love math." Thank you. (Applause)
Solo con pensar en ello, si estuviéramos en una línea de números, y yo estoy en 0, 8 son ocho pasos más, y no podría dar ocho pasos y terminar donde comencé. A menos que... (Risas) ¿Y si no fuera una línea de números? ¿Y si fuera un círculo? Entonces podría dar ocho pasos y terminar donde comencé. Así, 8 sería igual a 0. De hecho, todos los números infinitos en la línea real estarían amontonados en esos ocho puntos. Y estamos en un mundo nuevo. Solo estamos jugando, ¿cierto? Pero así se inventan las nuevas matemáticas. Los matemáticos han estudiado los círculos numéricos por mucho tiempo. Hasta tienen un nombre sofisticado: aritmética modular. No solo funcionan las matemáticas, también resultan ser ridículamente útiles en campos como la criptografía y la informática. No es una exageración decir que tu número de tarjeta de crédito es seguro en la web porque alguien preguntó, "¿Y si fuera un círculo numérico en vez de una línea?". Sí, debemos enseñar a los alumnos que 2 + 2 es 4. Pero también debemos decir "sí" a sus ideas y preguntas y modelar la valentía que queremos que tengan. Hay que ser valiente para decir, "¿Y si 2 + 2 diera 12?" y analizar las consecuencias. Hay que ser valiente para decir, "¿Y si los ángulos de un triángulo no sumaran 180 grados?", o "¿Y si hubiera una raíz cuadrada de -1?, o "¿Y si hubiera distintos tamaños de infinito?". Esa valentía y esas preguntas llevaron a algunos de los mayores avances en la historia. Solo se necesita deseo de jugar. Ese es el quinto principio. Las matemáticas no son cuestión de reglas. Se trata de jugar y explorar y pelear y buscar pistas y hasta romper reglas. Einstein dijo que el juego es la máxima expresión de la investigación. Y un profesor de matemáticas que permite a sus alumnos jugar con ellas les da el regalo de la apropiación. Jugar con matemáticas puede sentirse como correr por el bosque cuando éramos niños. Incluso si seguías un camino, se sentía como si fuera todo tuyo. Padres, si quieren saber cómo alimentar los instintos matemáticos de sus hijos, la respuesta es jugar. Los libros son a la lectura lo que el juego es a las matemáticas. Y un hogar lleno de bloques y rompecabezas y juegos es un hogar donde el pensamiento matemático puede florecer. Creo que tenemos el poder de ayudar a difundir el pensamiento matemático. No podemos permitirnos utilizar las matemáticas incorrectamente para crear seguidores pasivos de reglas. Las matemáticas tienen el potencial de ser el mejor recurso para enseñar a la siguiente generación a enfrentar el futuro con valentía, curiosidad y creatividad. Si todos los estudiantes tienen la oportunidad de experimentar la belleza y el poder del pensamiento matemático real, tal vez no suene tan extraño cuando digan, "¿Matemáticas? Realmente me encantan". Gracias. (Aplausos)