In the third act of "Swan Lake," the Black Swan pulls off a seemingly endless series of turns, bobbing up and down on one pointed foot and spinning around, and around, and around 32 times. It's one of the toughest sequences in ballet, and for those thirty seconds or so, she's like a human top in perpetual motion.
В третьем акте «Лебединого озера» Чёрный лебедь исполняет, казалось бы, нескончаемую череду оборотов, то приподнимаясь, то опускаясь, стоя на одной вытянутой ноге, кружась и кружась — около 32-х раз. Это одно из сложнейших движений балета, и на эти примерно тридцать секунд она уподобляется безостановочно вращающейся юле́.
Those spectacular turns are called fouettés, which means "whipped" in French, describing the dancer's incredible ability to whip around without stopping. But while we're marveling at the fouetté, can we unravel its physics?
Это зрелищное кружение называют фуэте, что в переводе с французского означает «подстёгиваемый» и намекает на невероятное умение балерины вертеться без остановки. Но можем ли мы, восхищаясь фуэте, разгадать стоя́щую за ним физику?
The dancer starts the fouetté by pushing off with her foot to generate torque. But the hard part is maintaining the rotation. As she turns, friction between her pointe shoe and the floor, and somewhat between her body and the air, reduces her momentum. So how does she keep turning?
Танцовщица начинает фуэте, отталкиваясь ногой, тем самым создавая крутящий момент. Но удерживать вращение уже труднее. Пока она кружится, трение между её пуантами и полом, и отчасти между её телом и воздухом, уменьшает момент импульса её те́ла. И как же она продолжает вращаться?
Between each turn, the dancer pauses for a split second and faces the audience. Her supporting foot flattens, and then twists as it rises back onto pointe, pushing against the floor to generate a tiny amount of new torque. At the same time, her arms sweep open to help her keep her balance. The turns are most effective if her center of gravity stays constant, and a skilled dancer will be able to keep her turning axis vertical.
После каждого оборота она на долю секунды приостанавливается лицом к публике, встаёт на всю ступню, а затем вращает её, при этом снова поднимаясь на кончики пальцев, отталкиваясь от пола и создавая ещё немного крутящего момента. В то же время она расставляет руки в стороны для сохранения равновесия. Вращение наиболее эффективно, если её центр тяжести неподвижен, и опытная балерина сможет удерживать ось своего вращения вертикальной.
The extended arms and torque-generating foot both help drive the fouetté. But the real secret and the reason you hardly notice the pause is that her other leg never stops moving. During her momentary pause, the dancer's elevated leg straightens and moves from the front to the side, before it folds back into her knee. By staying in motion, that leg is storing some of the momentum of the turn. When the leg comes back in towards the body, that stored momentum gets transferred back to the dancer's body, propelling her around as she rises back onto pointe. As the ballerina extends and retracts her leg with each turn, momentum travels back and forth between leg and body, keeping her in motion.
Разведённые руки и раскручивающая ступня вместе помогают управлять фуэте. Но главный секрет и причина того, что её приостановка еле заметна, кроются в том, что другая её нога находится в непрерывном движении. При этой мимолётной паузе во вращении поднятая нога балерины выпрямляется и движется от центра в сторону, после чего опять сгибается в колене. Пребывая в движении, эта нога несёт долю момента импульса всего вращения. Когда нога подтягивается обратно к туловищу, эта доля момента импульса передаётся обратно туловищу танцовщицы, раскручивая его, пока она снова встаёт на кончики пальцев. Когда балерина с каждым оборотом вытягивает и сгибает ногу, момент импульса перемещается то от те́ла к ноге, то наоборот, что поддерживает её вращение.
A really good ballerina can get more than one turn out of every leg extension in one of two ways. First, she can extend her leg sooner. The longer the leg is extended, the more momentum it stores, and the more momentum it can return to the body when it's pulled back in. More angular momentum means she can make more turns before needing to replenish what was lost to friction.
По-настоящему хорошая балерина может сделать более одного оборота за одно вытягивание ноги одним из двух способов. Во-первых, она может выпрямлять ногу раньше. Чем дольше нога остаётся вытянутой, тем больше момента импульса она запасает и тем больше момента импульса может отдать туловищу, когда притянется обратно. А с бо́льшим моментом импульса можно сделать больше оборотов, прежде чем придётся восполнять потерянное при трении.
The other option is for the dancer to bring her arms or leg in closer to her body once she returns to pointe. Why does this work? Like every other turn in ballet, the fouetté is governed by angular momentum, which is equal to the dancer's angular velocity times her rotational inertia. And except for what's lost to friction, that angular momentum has to stay constant while the dancer is on pointe. That's called conservation of angular momentum. Now, rotational inertia can be thought of as a body's resistance to rotational motion. It increases when more mass is distributed further from the axis of rotation, and decreases when the mass is distributed closer to the axis of rotation. So as she brings her arms closer to her body, her rotational inertia shrinks. In order to conserve angular momentum, her angular velocity, the speed of her turn, has to increase, allowing the same amount of stored momentum to carry her through multiple turns. You've probably seen ice skaters do the same thing, spinning faster and faster by drawing in their arms and legs.
Второй вариант состоит в том, что балерине надо притягивать руки и ногу как можно ближе к телу, когда она поднимается на пуантах. Как это работает? Как и любое иное балетное вращение, фуэте подчиняется закону момента импульса, равного произведению угловой скорости танцовщицы на момент инерции её те́ла. Без учёта потерь на трение этот момент импульса не будет изменяться, пока балерина стои́т на кончиках пальцев. Это называется законом сохранения момента импульса. Далее, момент инерции можно рассматривать как противодействие тела вращательному движению. Он увеличивается, когда масса распределена дальше от оси вращения, и уменьшается, когда масса распределена ближе к оси вращения. Поэтому, когда она прижимает руки к себе, её момент инерции снижается. Для сохранения момента импульса её угловая скорость, то есть быстрота вращения, должна возрасти, что позволяет постоянному по величине моменту импульса кружить её на протяжении множества оборотов. Возможно, вы видели, как то же самое делают фигуристы, раскручиваясь всё быстрее и быстрее, притягивая к себе руки или ноги.
In Tchaikovsky's ballet, the Black Swan is a sorceress, and her 32 captivating fouettés do seem almost supernatural. But it's not magic that makes them possible. It's physics.
В балете Чайковского Чёрный лебедь — это колдунья, и её 32 захватывающих фуэте и впрямь выглядят почти сверхъестественно. Но возможными их делает не магия, а физика.