In the third act of "Swan Lake," the Black Swan pulls off a seemingly endless series of turns, bobbing up and down on one pointed foot and spinning around, and around, and around 32 times. It's one of the toughest sequences in ballet, and for those thirty seconds or so, she's like a human top in perpetual motion.
[O Lago dos Cisnes, III ato — Tchaikovsky] No terceiro ato de "O Lago dos Cisnes", o cisne negro enceta uma série aparentemente sem fim de voltas, subido e descendo na ponta de um pé e girando, girando, girando... 32 vezes? É uma das sequências mais difíceis dum bailado e, durante esses 30 segundos, parece um pião humano num movimento perpétuo.
Those spectacular turns are called fouettés, which means "whipped" in French, describing the dancer's incredible ability to whip around without stopping. But while we're marveling at the fouetté, can we unravel its physics?
Estes giros espetaculares chamam-se "fouettés", que, em francês, significa "chicoteado" que descreve esta incrível proeza da bailarina que gira sem parar. Ficamos maravilhados perante estes "fouettés",
The dancer starts the fouetté by pushing off with her foot to generate torque.
mas qual é a física que se esconde por detrás?
But the hard part is maintaining the rotation. As she turns, friction between her pointe shoe and the floor, and somewhat between her body and the air, reduces her momentum. So how does she keep turning?
A bailarina começa o "fouetté" pressionando o pé para gerar a rotação. Mas a parte mais difícil é manter a rotação. Em cada volta, a fricção entre a ponta da sapatilha e o chão e, de certa forma, entre o corpo dela e o ar, reduz o impulso. Então, como é que ela continua a girar?
Between each turn, the dancer pauses for a split second and faces the audience. Her supporting foot flattens, and then twists as it rises back onto pointe, pushing against the floor to generate a tiny amount of new torque. At the same time, her arms sweep open to help her keep her balance. The turns are most effective if her center of gravity stays constant, and a skilled dancer will be able to keep her turning axis vertical.
Entre cada volta, a bailarina pausa uma fração de segundo e encara o público. O pé de apoio baixa, e eleva-se de novo na ponta da sapatilha, dando um empurrão para gerar mais rotação. Ao mesmo tempo, tem os braços abertos para ajudar a manter o equilíbrio. As voltas são mais bem conseguidas se o centro de gravidade se mantiver constante. Uma bailarina com experiência poderá manter o eixo vertical de rotação.
The extended arms and torque-generating foot both help drive the fouetté. But the real secret and the reason you hardly notice the pause is that her other leg never stops moving. During her momentary pause, the dancer's elevated leg straightens and moves from the front to the side, before it folds back into her knee. By staying in motion, that leg is storing some of the momentum of the turn. When the leg comes back in towards the body, that stored momentum gets transferred back to the dancer's body, propelling her around as she rises back onto pointe. As the ballerina extends and retracts her leg with each turn, momentum travels back and forth between leg and body, keeping her in motion.
Os braços estendidos e a rotação dos pés ajudam-na a aumentar o "fouetté". Mas o segredo e a razão por que mal reparamos nesta pausa é que a outra perna nunca deixa de se mover. Durante aquela pausa momentânea, a bailarina endireita a perna no ar e move-a da frente para o lado, antes de voltar a dobrá-la pelo joelho. Mantendo-se em movimento, aquela perna armazena parte do impulso da rotação. Quando a perna volta a ficar contra o corpo, esse impulso armazenado é transferido para o corpo da bailarina, impelindo-a a girar quando ela volta a elevar-se em pontas. Quando a bailarina estende e encolhe a perna, em cada volta, o impulso passa de um lado para o outro, entre a perna e o corpo, mantendo-a em movimento.
A really good ballerina can get more than one turn out of every leg extension in one of two ways. First, she can extend her leg sooner. The longer the leg is extended, the more momentum it stores, and the more momentum it can return to the body when it's pulled back in. More angular momentum means she can make more turns before needing to replenish what was lost to friction.
Uma bailarina muito boa consegue dar mais do que uma volta com cada extensão da perna de duas formas diferentes. Primeira, pode estender a perna mais cedo. Quanto mais tempo tiver a perna estendida, maior impulso armazena e maior impulso pode transmitir ao corpo, quando a encolhe. Um impulso mais angular significa que pode dar mais voltas antes de precisar de repor o que se perde com a fricção.
The other option is for the dancer to bring her arms or leg in closer to her body once she returns to pointe. Why does this work? Like every other turn in ballet, the fouetté is governed by angular momentum, which is equal to the dancer's angular velocity times her rotational inertia. And except for what's lost to friction, that angular momentum has to stay constant while the dancer is on pointe. That's called conservation of angular momentum. Now, rotational inertia can be thought of as a body's resistance to rotational motion. It increases when more mass is distributed further from the axis of rotation, and decreases when the mass is distributed closer to the axis of rotation. So as she brings her arms closer to her body, her rotational inertia shrinks. In order to conserve angular momentum, her angular velocity, the speed of her turn, has to increase, allowing the same amount of stored momentum to carry her through multiple turns. You've probably seen ice skaters do the same thing, spinning faster and faster by drawing in their arms and legs.
A outra opção é que a bailarina mantenha os braços ou a perna mais perto do corpo depois de voltar a estar em pontas. Como é que isso funciona? Como em qualquer outra volta no bailado, o "fouetté" é governado por um impulso angular, que é igual à velocidade angular da bailarina multiplicada pela sua inércia de rotação. Com exceção do que se perde com o atrito, esse impulso angular tem que se manter constante enquanto a bailarina está em pontas. Chama-se a isto conservação do impulso angular. A inércia de rotação pode ser considerada como uma resistência do corpo ao movimento de rotação. Aumenta quando se distribui mais peso mais longe do eixo de rotação e diminui quando o peso se distribui mais perto do eixo de rotação. Portanto, quando ela mantém os braços mais perto do corpo, a inércia de rotação diminui. Para conservar o impulso angular, a velocidade angular, a velocidade da rotação tem que aumentar, permitindo que a mesma quantidade de impulso armazenado lhe permita múltiplas rotações. Provavelmente já viram patinadores no gelo fazer a mesma coisa, rodopiando cada vez mais depressa encolhendo braços e pernas.
In Tchaikovsky's ballet, the Black Swan is a sorceress, and her 32 captivating fouettés do seem almost supernatural. But it's not magic that makes them possible. It's physics.
No bailado de Tchaikovsky, o cisne negro é uma feiticeira e os 32 "fouettés" cativantes parecem quase sobrenaturais. Mas não é a magia que os torna possíveis, é a física.