In the third act of "Swan Lake," the Black Swan pulls off a seemingly endless series of turns, bobbing up and down on one pointed foot and spinning around, and around, and around 32 times. It's one of the toughest sequences in ballet, and for those thirty seconds or so, she's like a human top in perpetual motion.
במערכה השלישית של "אגם הברבורים", הברבור השחור מבצע מה שנראה כסדרת סיבובים אינסופית, מטלטל מעלה ומטה על קצות האצבעות של רגל אחת וסובב הלוך ושוב, 32 פעמים. זהו אחד התרגילים הקשים ביותר בבלט, ובמשך כשלושים השניות האלו, היא כמו סביבון אנושי בתנועה מתמדת.
Those spectacular turns are called fouettés, which means "whipped" in French, describing the dancer's incredible ability to whip around without stopping. But while we're marveling at the fouetté, can we unravel its physics?
הסיבובים המרהיבים האלו נקראים פואטות, שמשמען "מעורבבים" בצרפתית, מונח המתאר את היכולת המדהימה של הרקדנית להתערבב (=להסתובב) מבלי לעצור. אבל בעוד אנו משתאים מהפואטה, האם אנו יכולים להבין את הפיזיקה שמאחוריה?
The dancer starts the fouetté by pushing off with her foot to generate torque. But the hard part is maintaining the rotation. As she turns, friction between her pointe shoe and the floor, and somewhat between her body and the air, reduces her momentum. So how does she keep turning?
הרקדנית מתחילה את הפואטה בדחיפה עם הרגל לשם ייצור מומנט כוח. אבל החלק הקשה הוא לשמור על הסיבוב. כשהיא מסתובבת, חיכוך בין נעלי האצבע שלה לרצפה, ומעט בין הגוף שלה לאויר, מפחיתים את התנע. אז איך היא ממשיכה להסתובב?
Between each turn, the dancer pauses for a split second and faces the audience. Her supporting foot flattens, and then twists as it rises back onto pointe, pushing against the floor to generate a tiny amount of new torque. At the same time, her arms sweep open to help her keep her balance. The turns are most effective if her center of gravity stays constant, and a skilled dancer will be able to keep her turning axis vertical.
בין כל סיבוב, הרקדנית עוצרת לשבריר שניה ופונה אל הקהל. רגל הציר שלה משתטחת, ומתעקלת כשהיא עולה חזרה למצב פוינט, דוחפת כנגד הרצפה בכדי לייצר כמות זעירה של מומנט כוח חדש. באותו זמן, הזרועות שלה נפתחות כדי לעזור לה לשמור על שיווי משקל. הסיבובים הכי יעילים קורים אם מרכז המסה שלה נשאר קבוע, ורקדנית מיומנת תהיה מסוגלת לשמור על ציר סיבוב אנכי.
The extended arms and torque-generating foot both help drive the fouetté. But the real secret and the reason you hardly notice the pause is that her other leg never stops moving. During her momentary pause, the dancer's elevated leg straightens and moves from the front to the side, before it folds back into her knee. By staying in motion, that leg is storing some of the momentum of the turn. When the leg comes back in towards the body, that stored momentum gets transferred back to the dancer's body, propelling her around as she rises back onto pointe. As the ballerina extends and retracts her leg with each turn, momentum travels back and forth between leg and body, keeping her in motion.
הזרועות המושטות והרגל המייצרת את מומנט הכוח עוזרים להניע את הפואטה. אבל הסוד האמיתי והסיבה שלא ניתן להבחין בעצירה, היא שהרגל השניה שלה לעולם לא מפסיקה לנוע. במהלך העצירה הרגעית שלה, הרגל המורמת של הרקדנית מתיישרת ונעה מהחזית לצד, לפני שהיא מתכנסת חזרה לכיוון הברך. על ידי השארות בתנועה, רגל זו אוגרת חלק מהתנע של הסיבוב. כשהרגל מכונסת חזרה לכיוון הגוף, התנע האגור הזה מועבר חזרה לגוף הרקדנית, ומניע אותה סביב כשהיא מתרוממת חזרה למצב פוינט. תוך כדי כך שהבלרינה מאריכה ומכנסת את רגלה בכל סיבוב, תנע מועבר הלוך ושוב מהרגל לגוף, ומחזיק אותה בתנועה.
A really good ballerina can get more than one turn out of every leg extension in one of two ways. First, she can extend her leg sooner. The longer the leg is extended, the more momentum it stores, and the more momentum it can return to the body when it's pulled back in. More angular momentum means she can make more turns before needing to replenish what was lost to friction.
בלרינה טובה יכולה להפיק יותר מסיבוב אחד מכל הארכת רגל באחת משתי דרכים. ראשית, היא יכולה להאריך את הרגל מוקדם יותר. ככל שהרגל מוארכת ליותר זמן, יותר תנע נאגר, ויותר תנע מועבר מהרגל לגוף במהלך הכינוס. יותר תנע זויתי משמעו שהיא יכולה לעשות יותר סיבובים לפני שתצטרך לחדש את המלאי שאבד לחיכוך.
The other option is for the dancer to bring her arms or leg in closer to her body once she returns to pointe. Why does this work? Like every other turn in ballet, the fouetté is governed by angular momentum, which is equal to the dancer's angular velocity times her rotational inertia. And except for what's lost to friction, that angular momentum has to stay constant while the dancer is on pointe. That's called conservation of angular momentum. Now, rotational inertia can be thought of as a body's resistance to rotational motion. It increases when more mass is distributed further from the axis of rotation, and decreases when the mass is distributed closer to the axis of rotation. So as she brings her arms closer to her body, her rotational inertia shrinks. In order to conserve angular momentum, her angular velocity, the speed of her turn, has to increase, allowing the same amount of stored momentum to carry her through multiple turns. You've probably seen ice skaters do the same thing, spinning faster and faster by drawing in their arms and legs.
האופציה השניה היא שהרקדנית תכנס את ידיה ורגלה קרוב יותר לגופה בזמן החזרה למצב פוינט. למה זה עובד? כמו כל סיבוב אחר בבלט, הפואטה נשלטת על ידי תנע זויתי, ששווה למכפלת המהירות הזויתית של הרקדנית בממומנט ההתמד שלה. וחוץ ממה שאובד לחיכוך, התנע הזויתי חייב להשאר קבוע בעוד הרקדנית במצב פוינט. זה נקרא שימור תנע זויתי. ניתן לחשוב על מומנט ההתמד כהתנגדות של הגוף לתנועה סיבובית. היא גוברת כשריכוז המסה הגבוה מתרחק מציר הסיבוב, ופוחתת כשריכוז המסה הגבוה מתקרב לציר הסיבוב. אז כשהיא מצמידה את זרועיה לגופה, מומנט ההתמד שלה קטן. בכדי לשמר תנע זויתי, המהירות הזויתית שלה, המהירות בה היא מסתובבת, צריכה לגדול, דבר המאפשר לאותה כמות תנע אגור לשאת אותה למשך כמה סיבובים. ודאי ראיתם מחליקי קרח עושים את אותו הדבר, מסתובבים מהר יותר ויותר על ידי כינוס הזרועות והרגליים.
In Tchaikovsky's ballet, the Black Swan is a sorceress, and her 32 captivating fouettés do seem almost supernatural. But it's not magic that makes them possible. It's physics.
בבלט של צ'ייקובסקי, הברבור השחור הוא קוסמת, ו-32 הפואטות המהפנטות שלה באמת נראות כמחזה כמעט על-טבעי. אבל זה לא קסם שהופך אותו לאפשרי. זוהי פיזיקה.