Your favorite band is great at playing music, but not so great at being organized. They keep misplacing their instruments on tour, and it's driving their manager mad. On the day of the big concert, the band wakes up to find themselves tied up in a windowless, soundproof practice room. Their manager explains what's happening. Outside, there are ten large boxes. Each contains one of your instruments, but don't be fooled by the pictures - they've been randomly placed. I'm going to let you out one at a time. While you're outside, you can look inside any five boxes before security takes you back to the tour bus. You can't touch the instruments or in any way communicate what you find to the others. No marking the boxes, shouting, nothing. If each one of you can find your own instrument, then you can play tonight. Otherwise, the label is dropping you. You have three minutes to think about it before we start. The band is in despair. After all, each musician only has a 50% chance of finding their instrument by picking five random boxes. And the chances that all ten will succeed are even lower - just 1 in 1024. But suddenly, the drummer comes up with a valid strategy that has a better than 35% chance of working. Can you figure out what it was? Pause the video on the next screen if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 Here's what the drummer said: Everyone first open the box with the picture of your instrument. If your instrument is inside, you're done. Otherwise, look at whatever's in there, and then open the box with that picture on it. Keep going that way until you find your instrument. The bandmates are skeptical, but amazingly enough, they all find what they need. And a few hours later, they're playing to thousands of adoring fans. So why did the drummer's strategy work? Each musician follows a linked sequence that starts with the box whose outside matches their instrument and ends with the box actually containing it. Note that if they kept going, that would lead them back to the start, so this is a loop. For example, if the boxes are arranged like so, the singer would open the first box to find the drums, go to the eighth box to find the bass, and find her microphone in the third box, which would point back to the first. This works much better than random guessing because by starting with the box with the picture of their instrument, each musician restricts their search to the loop that contains their instrument, and there are decent odds, about 35%, that all of the loops will be of length five or less. How do we calculate those odds? For the sake of simplicity, we'll demonstrate with a simplified case, four instruments and no more than two guesses allowed for each musician. Let's start by finding the odds of failure, the chance that someone will need to open three or four boxes before they find their instrument. There are six distinct four-box loops. One fun way to count them is to make a square, put an instrument at each corner, and draw the diagonals. See how many unique loops you can find, and keep in mind that these two are considered the same, they just start at different points. These two, however, are different. We can visualize the eight distinct three-box loops using triangles. You'll find four possible triangles depending on which instrument you leave out, and two distinct paths on each. So of the 24 possible combinations of boxes, there are 14 that lead to faliure, and ten that result in success. That computational strategy works for any even number of musicians, but if you want a shortcut, it generalizes to a handy equation. Plug in ten musicians, and we get odds of about 35%. What if there were 1,000 musicians? 1,000,000? As n increases, the odds approach about 30%. Not a guarantee, but with a bit of musician's luck, it's far from hopeless. Hi everybody, if you liked this riddle, try solving these two.
En sevdiğiniz grup müzik çalmada harika ancak organize olmada o kadar değil. Enstrümanlarını turda hep yanlış yerlere koyuyorlar ve bu, yöneticilerini delirtiyor. Büyük konserin yapılacağı gün grup, kendisini penceresiz, ses geçirmez bir uygulama odasında bağlı bularak uyanırlar. Yöneticileri neler olduğunu açıklar. Dışarıda on tane büyük kutu var. Her birinde enstrümanlarınızdan biri var ancak resimlere aldanmayın -bunlar rastgele yerleştirilmiştir. Size birer birer izin vereceğim. Dışarıdayken güvenlik sizi tur otobüsüne geri götürmeden önce, beş kutunun da içine bakabilirsiniz. Enstrümanlara dokunamazsınız ya da bulduğunuz şeyi diğerlerine ne şekilde olursa olsun söyleyemezsiniz. Kutuları işaretlemek, bağırmak, hiçbir şey yok. Her biriniz kendi enstrümanını bulabilirse, o zaman bu gece konsere çıkabilirsiniz. Aksi takdirde, şirket sizi bırakıyor. Başlamadan önce bunu düşünmek için üç dakikanız var. Grup umutsuzluk içinde. Her şeyden önce, her müzisyenin sadece beş rastgele kutu seçerek enstrümanlarını bulma şansı %50. Bunların hepsinin başarılı olma şansı daha da düşük - 1024'te sadece 1. Ama birden, davulcu %35'ten daha iyi bir olasılığa sahip geçerli bir strateji bulur. Bunun ne olduğunu bulabilir misin? [Kendiniz çözmek istiyorsanız videoyu bir sonraki ekranda durdurun! ] Cevap için: 3 Cevap için: 2 Cevap için: 1 İşte davulcunun söylediği: Herkes ilk olarak enstrümanının resmi olan kutuyu açar. Eğer enstrüman içerideyse iş tamam. Aksi hâlde, içeride ne olduğuna bakar ve sonra içeridekinin resmi olan kutuyu açar. Enstrümanını bulana kadar böyle devam eder. Grup arkadaşları şüphelidir ama şaşırtıcı derecede yeterlidir, hepsi istediklerini bulurlar. Birkaç saat sonra binlerce hayranın önünde konsere çıkarlar. Şimdi, davulcu stratejisi nasıl işe yaradı? Her müzisyen, dış kısmı enstrümanıyla eşleşen ve aslında onu içeren kutuyla biten bağlantılı bir diziyi izler. Unutmayın ki devam ettirdikleri takdirde, bunlar başa döner, bu da bir döngüdür. Örneğin, kutular böyle ayarlansa, şarkıcı ilk kutuyu açtığında davulu bulsun, sekizinci kutuya gidince kontrbası bulsun ve üçüncü kutudaki mikrofonunu birinciye işaret edecek şekilde bulur. Bu, rastgele tahminden çok daha iyi çalışır, çünkü her bir müzisyen, kendi enstrümanının resmini içeren kutudan başlayarak, aradıklarını kendi enstrümanlarını içeren döngüyle kısıtlar ve tüm döngülerin uzunluğunun beş veya daha az olması daha olası, %35 civarında. Bu olasılıkları nasıl hesaplarız? Kolaydan başlayalım, basit bir durumu ele alalım: Her bir müzisyen için dört enstrüman ve en fazla iki tahmin olsun. Başarısızlık olasılıklarını, yani kişinin enstrümanını bulmadan önce üç ya da dört kutu açma olasılığını bularak başlayalım. Altı farklı dört-kutu döngüsü var. Bunu saymanın eğlenceli bir yolu, bir kare çizip her köşeye bir enstrüman koymak ve köşegenleri çizmektir. Kaç adet farklı döngü bulabileceğinizi düşünün ve bu ikisinin aynı kabul edileceğini aklınızda tutun, sadece farklı noktalardan başlıyorlar. Fakat bu ikisi farklıdır. Üçgenleri kullanan sekiz farklı üç-kutu döngüyü görebiliriz. Hangi enstrümanı dışarda bıraktığınıza göre dört olası üçgen ve her birinde iki farklı yol bulacaksınız. Yani 24 olası kutu kombinasyonundan 14 tanesi başarısızlığa ve 10 tanesi başarıya sebep oluyor. Bu hesap yöntemi her çift sayıda müzisyen için işliyor, ama kısa bir yol isterseniz kullanışlı genel bir denklem verilebilir. 10 müzisyen olsaydı olasılık %35 civarındaydı. Peki 1.000 müzisyen olsaydı? 1.000.000? n arttıkça, olasılık yaklaşık %30'a yaklaşır. Garanti yok, ama biraz müzisyen şansıyla umutsuzluktan uzaklaşılır. Herkese selam, bu bilmeceyi sevdiyseniz bu ikisini çözmeye çalışın.