Your favorite band is great at playing music, but not so great at being organized. They keep misplacing their instruments on tour, and it's driving their manager mad. On the day of the big concert, the band wakes up to find themselves tied up in a windowless, soundproof practice room. Their manager explains what's happening. Outside, there are ten large boxes. Each contains one of your instruments, but don't be fooled by the pictures - they've been randomly placed. I'm going to let you out one at a time. While you're outside, you can look inside any five boxes before security takes you back to the tour bus. You can't touch the instruments or in any way communicate what you find to the others. No marking the boxes, shouting, nothing. If each one of you can find your own instrument, then you can play tonight. Otherwise, the label is dropping you. You have three minutes to think about it before we start. The band is in despair. After all, each musician only has a 50% chance of finding their instrument by picking five random boxes. And the chances that all ten will succeed are even lower - just 1 in 1024. But suddenly, the drummer comes up with a valid strategy that has a better than 35% chance of working. Can you figure out what it was? Pause the video on the next screen if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 Here's what the drummer said: Everyone first open the box with the picture of your instrument. If your instrument is inside, you're done. Otherwise, look at whatever's in there, and then open the box with that picture on it. Keep going that way until you find your instrument. The bandmates are skeptical, but amazingly enough, they all find what they need. And a few hours later, they're playing to thousands of adoring fans. So why did the drummer's strategy work? Each musician follows a linked sequence that starts with the box whose outside matches their instrument and ends with the box actually containing it. Note that if they kept going, that would lead them back to the start, so this is a loop. For example, if the boxes are arranged like so, the singer would open the first box to find the drums, go to the eighth box to find the bass, and find her microphone in the third box, which would point back to the first. This works much better than random guessing because by starting with the box with the picture of their instrument, each musician restricts their search to the loop that contains their instrument, and there are decent odds, about 35%, that all of the loops will be of length five or less. How do we calculate those odds? For the sake of simplicity, we'll demonstrate with a simplified case, four instruments and no more than two guesses allowed for each musician. Let's start by finding the odds of failure, the chance that someone will need to open three or four boxes before they find their instrument. There are six distinct four-box loops. One fun way to count them is to make a square, put an instrument at each corner, and draw the diagonals. See how many unique loops you can find, and keep in mind that these two are considered the same, they just start at different points. These two, however, are different. We can visualize the eight distinct three-box loops using triangles. You'll find four possible triangles depending on which instrument you leave out, and two distinct paths on each. So of the 24 possible combinations of boxes, there are 14 that lead to faliure, and ten that result in success. That computational strategy works for any even number of musicians, but if you want a shortcut, it generalizes to a handy equation. Plug in ten musicians, and we get odds of about 35%. What if there were 1,000 musicians? 1,000,000? As n increases, the odds approach about 30%. Not a guarantee, but with a bit of musician's luck, it's far from hopeless. Hi everybody, if you liked this riddle, try solving these two.
Sua banda favorita é ótima tocando música, mas não tão boa em organização. eles não sabem onde guardaram os instrumentos, durante a turnê, e isso está deixando o empresário louco. No dia do grande show, a banda se encontra trancada numa sala de ensaio à prova de som e sem janelas. O empresário explica o que está acontecendo. Fora da sala, existem dez caixas. Cada uma contém um dos seus instrumentos, mas não se engane pelas fotos, elas foram colocadas aleatoriamente. Vou deixar sair um por vez. Quando estiver fora da sala, você pode olhar dentro de cinco caixas antes de ser levado pela segurança de volta para o ônibus. Você não pode tocar nos instrumentos nem se comunicar de modo algum com qualquer outro integrante. Nada de marcar as caixas, gritar, nada. Se cada um de vocês achar seu próprio instrumento, então vocês poderão tocar hoje à noite. Caso contrário, a gravadora vai abandonar vocês. Vocês têm três minutos para pensar antes de começarmos. A banda entra em desespero. Afinal, cada músico tem apenas 50% de chance de achar seu instrumento, escolhendo cinco caixas aleatórias. E a chance de todos terem sucesso é ainda menor, apenas 1 em 1.024. De repente, o baterista surge com uma estratégia válida que tem 35% mais chances de funcionar. Você consegue adivinhar qual foi? [Pause o vídeo na próxima tela se quiser descobrir por conta própria!] Resposta em: 3 Resposta em: 2 Resposta em: 1 Aqui está o que o baterista disse: cada um abre primeiro a caixa com a foto do seu instrumento. Se seu instrumento estiver lá dentro, você conseguiu. Caso contrário, olhe o que tem dentro e abra a caixa com essa foto. Continue até encontrar seu instrumento. Os integrantes da banda estão céticos, mas, incrivelmente, todos eles acham o que precisam. E algumas horas depois, estão tocando para milhares de fãs. Por que a estratégia do baterista funcionou? Cada músico segue uma sequência que começa com a caixa cuja foto corresponde ao instrumento e termina com a caixa que realmente contém o instrumento. Note que se eles continuarem, isso os levará de volta ao começo, então isso é um percurso fechado. Por exemplo, se as caixas estivessem arrumadas assim, a vocalista abriria a primeira caixa para encontrar a bateria, iria para a oitava caixa para achar o baixo, e encontraria o microfone na terceira caixa, que apontaria de volta para a primeira caixa. Isso funciona bem melhor do que um palpite aleatório, porque começando com a caixa que contém a foto do seu instrumento, cada músico restringe a procura ao caminho que contém seu instrumento, e há boas chances, por volta de 35%, de que todos os caminhos terão cinco ou menos caixas. Como calculamos essa probabilidade? Para o bem da simplicidade, demonstraremos isso com um caso simplificado, quatro instrumentos e não mais que dois palpites para cada músico. Vamos começar procurando as chances de fracasso, a chance de que alguém vai precisar para abrir três ou quatro caixas antes de achar seu instrumento. Podem existir seis diferentes caminhos com quatro caixas. Um jeito divertido de contá-los é fazer um quadrado, colocar um instrumento em cada canto, e desenhar as diagonais. Olhe quantos caminhos únicos são possíveis de encontrar, e tenha em mente que estes dois são considerados o mesmo, eles só começam em pontos diferentes. Estes dois, no entanto, são diferentes. Conseguimos visualizar oito diferentes caminhos de três caixas, usando triângulos. Você encontrará quatro triângulos possíveis, dependendo do instrumento que deixar de fora, e dois caminhos diferentes em cada um. Das 24 possíveis combinações de caixas, 14 levam ao fracasso, e 10 resultam em sucesso. Essa estratégia computacional funciona para qualquer número par de músicos, mas se você quer um atalho, ela se resume a uma equação prática. Coloque 10 músicos, e as chances são de 35%. E se fossem mil músicos? Um milhão? À medida que n aumenta, as chances se aproximam de 30%. Não é garantido, mas com um pouco de sorte do músico, está longe de ser impossível. Se você gostou desse enigma, tente resolver estes dois.