Your favorite band is great at playing music, but not so great at being organized. They keep misplacing their instruments on tour, and it's driving their manager mad. On the day of the big concert, the band wakes up to find themselves tied up in a windowless, soundproof practice room. Their manager explains what's happening. Outside, there are ten large boxes. Each contains one of your instruments, but don't be fooled by the pictures - they've been randomly placed. I'm going to let you out one at a time. While you're outside, you can look inside any five boxes before security takes you back to the tour bus. You can't touch the instruments or in any way communicate what you find to the others. No marking the boxes, shouting, nothing. If each one of you can find your own instrument, then you can play tonight. Otherwise, the label is dropping you. You have three minutes to think about it before we start. The band is in despair. After all, each musician only has a 50% chance of finding their instrument by picking five random boxes. And the chances that all ten will succeed are even lower - just 1 in 1024. But suddenly, the drummer comes up with a valid strategy that has a better than 35% chance of working. Can you figure out what it was? Pause the video on the next screen if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 Here's what the drummer said: Everyone first open the box with the picture of your instrument. If your instrument is inside, you're done. Otherwise, look at whatever's in there, and then open the box with that picture on it. Keep going that way until you find your instrument. The bandmates are skeptical, but amazingly enough, they all find what they need. And a few hours later, they're playing to thousands of adoring fans. So why did the drummer's strategy work? Each musician follows a linked sequence that starts with the box whose outside matches their instrument and ends with the box actually containing it. Note that if they kept going, that would lead them back to the start, so this is a loop. For example, if the boxes are arranged like so, the singer would open the first box to find the drums, go to the eighth box to find the bass, and find her microphone in the third box, which would point back to the first. This works much better than random guessing because by starting with the box with the picture of their instrument, each musician restricts their search to the loop that contains their instrument, and there are decent odds, about 35%, that all of the loops will be of length five or less. How do we calculate those odds? For the sake of simplicity, we'll demonstrate with a simplified case, four instruments and no more than two guesses allowed for each musician. Let's start by finding the odds of failure, the chance that someone will need to open three or four boxes before they find their instrument. There are six distinct four-box loops. One fun way to count them is to make a square, put an instrument at each corner, and draw the diagonals. See how many unique loops you can find, and keep in mind that these two are considered the same, they just start at different points. These two, however, are different. We can visualize the eight distinct three-box loops using triangles. You'll find four possible triangles depending on which instrument you leave out, and two distinct paths on each. So of the 24 possible combinations of boxes, there are 14 that lead to faliure, and ten that result in success. That computational strategy works for any even number of musicians, but if you want a shortcut, it generalizes to a handy equation. Plug in ten musicians, and we get odds of about 35%. What if there were 1,000 musicians? 1,000,000? As n increases, the odds approach about 30%. Not a guarantee, but with a bit of musician's luck, it's far from hopeless. Hi everybody, if you liked this riddle, try solving these two.
A vossa banda preferida é ótima a tocar música... mas não é tão boa em organizar-se. Andam sempre a trocar os instrumentos nas digressões, o que deixa o agente deles furioso. No dia do grande concerto, a banda acorda e descobre que está manietada numa sala de ensaios, sem janelas e à prova de som. O agente explica-lhes o que está a acontecer. Lá fora, há 10 grandes caixas. Cada uma delas contém um dos vossos instrumentos, mas não se fiem nos desenhos — foram colocados ao acaso. Vou levar lá para fora um de cada vez. Quando estiverem lá fora, podem abrir cinco caixas quaisquer antes de a segurança vos levar para o autocarro. Não podem tocar nos instrumentos nem, de qualquer modo, comunicar aos outros o que viram. Não podem marcar as caixas, nem gritar, nada. Se todos conseguirem encontrar os vossos instrumentos, podem tocar esta noite. De contrário, a editora abandona-vos. Têm três minutos para pensar, antes de começarmos. A banda fica desesperada. Cada músico só tem 50% de hipóteses de encontrar o seu instrumento escolhendo cinco caixas ao acaso. E as hipóteses de todos os 10 acertarem ainda são mais baixas — apenas uma em 1024. Mas, de repente, o baterista aparece com uma estratégia válida que tem mais de 35% de hipóteses de funcionar. Conseguem descobrir qual foi? [Parem o vídeo no próximo ecrã se quiserem descobrir sozinhos.] Resposta em: 3 Resposta em: 2 Resposta em: 1 O baterista disse isto: "Cada um abre primeiro a caixa com o desenho do seu instrumento. "Se o vosso instrumento estiver lá dentro, estão safos. "Caso contrário, vejam o que é que está lá dentro "depois abram a caixa que tem essa mesma imagem. "Continuem a fazer isso, até descobrirem o vosso instrumento". Os colegas da banda estão céticos, mas o que é espantoso é que todos encontraram o que queriam. Umas horas depois, estão a tocar para milhares de fãs em delírio. Então, porque é que a estratégia do baterista funcionou? Cada músico segue uma sequência interligada que começa com a caixa cujo exterior corresponde ao seu instrumento e acaba na caixa que o contém. De notar que, se continuassem a fazer o mesmo, iriam parar ao princípio. Trata-se de um ciclo fechado. Por exemplo, se as caixas estivessem organizadas deste modo, o cantor abria a primeira caixa e encontrava a bateria, ia à oitava caixa e encontrava a viola baixo, e encontrava o microfone na terceira caixa, que voltava a apontar para a primeira. Isto funciona muito melhor do que um palpite ao acaso, porque, ao começar com a caixa com a imagem do seu instrumento, cada músico restringe a sua pesquisa ao ciclo que contém o seu instrumento e há boas probabilidades, — cerca de 35% — de que todos os ciclos terão um comprimento de cinco ou menos. Como calculamos essas probabilidades? Por uma questão de simplificação, vamos demonstrar um caso simplificado, com quatro instrumentos e apenas dois palpites para cada músico. Comecemos por encontrar as probabilidades de fracasso, a hipótese de que alguém precise de abrir três ou quatro caixas, antes de encontrar o seu instrumento. Há seis ciclos distintos em quatro caixas. Uma forma engraçada de os contar é fazer um quadrado, colocar um instrumento em cada canto, e desenhar as diagonais. Vejam quantos ciclos únicos encontram e reparem que estes dois consideram-se o mesmo, só que começam em pontos diferentes. Mas estes dois são diferentes. Podemos visualizar os 8 ciclos distintos das três caixas, usando triângulos. Encontramos quatro triângulos possíveis consoante qual o instrumento que deixarmos de fora e dois caminhos distintos para cada um deles. Portanto, das 24 combinações de caixas possíveis há 14 que levam ao fracasso, e 10 que acabam no êxito. Esta estratégia matemática funciona para qualquer número par de músicos mas, se quisermos um atalho, generalizamos para uma equação prática. Se houver 10 músicos, as probabilidades são cerca de 35%. E se fossem mil músicos? Um milhão? À medida que o número aumenta, a probabilidade aproxima-se de 30%. Não é uma garantia, mas com um pouco de sorte, está longe de ser impossível. Olá, se gostaram deste enigma, tentem resolver estes dois.