Your favorite band is great at playing music, but not so great at being organized. They keep misplacing their instruments on tour, and it's driving their manager mad. On the day of the big concert, the band wakes up to find themselves tied up in a windowless, soundproof practice room. Their manager explains what's happening. Outside, there are ten large boxes. Each contains one of your instruments, but don't be fooled by the pictures - they've been randomly placed. I'm going to let you out one at a time. While you're outside, you can look inside any five boxes before security takes you back to the tour bus. You can't touch the instruments or in any way communicate what you find to the others. No marking the boxes, shouting, nothing. If each one of you can find your own instrument, then you can play tonight. Otherwise, the label is dropping you. You have three minutes to think about it before we start. The band is in despair. After all, each musician only has a 50% chance of finding their instrument by picking five random boxes. And the chances that all ten will succeed are even lower - just 1 in 1024. But suddenly, the drummer comes up with a valid strategy that has a better than 35% chance of working. Can you figure out what it was? Pause the video on the next screen if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 Here's what the drummer said: Everyone first open the box with the picture of your instrument. If your instrument is inside, you're done. Otherwise, look at whatever's in there, and then open the box with that picture on it. Keep going that way until you find your instrument. The bandmates are skeptical, but amazingly enough, they all find what they need. And a few hours later, they're playing to thousands of adoring fans. So why did the drummer's strategy work? Each musician follows a linked sequence that starts with the box whose outside matches their instrument and ends with the box actually containing it. Note that if they kept going, that would lead them back to the start, so this is a loop. For example, if the boxes are arranged like so, the singer would open the first box to find the drums, go to the eighth box to find the bass, and find her microphone in the third box, which would point back to the first. This works much better than random guessing because by starting with the box with the picture of their instrument, each musician restricts their search to the loop that contains their instrument, and there are decent odds, about 35%, that all of the loops will be of length five or less. How do we calculate those odds? For the sake of simplicity, we'll demonstrate with a simplified case, four instruments and no more than two guesses allowed for each musician. Let's start by finding the odds of failure, the chance that someone will need to open three or four boxes before they find their instrument. There are six distinct four-box loops. One fun way to count them is to make a square, put an instrument at each corner, and draw the diagonals. See how many unique loops you can find, and keep in mind that these two are considered the same, they just start at different points. These two, however, are different. We can visualize the eight distinct three-box loops using triangles. You'll find four possible triangles depending on which instrument you leave out, and two distinct paths on each. So of the 24 possible combinations of boxes, there are 14 that lead to faliure, and ten that result in success. That computational strategy works for any even number of musicians, but if you want a shortcut, it generalizes to a handy equation. Plug in ten musicians, and we get odds of about 35%. What if there were 1,000 musicians? 1,000,000? As n increases, the odds approach about 30%. Not a guarantee, but with a bit of musician's luck, it's far from hopeless. Hi everybody, if you liked this riddle, try solving these two.
あなたのお気に入りの バンドの演奏は素晴らしいのに 整理整頓は苦手です ツアー中も楽器を目茶苦茶に置いて マネージャーをカンカンに怒らせます 大きなコンサートの日に 目が覚めると バンドのメンバーは 窓のない防音の稽古場に 拘束されていることに気づきます マネージャーが状況を説明します 「外に10個の大きな箱がある 各箱には君たちの楽器が 1個ずつ入っている でも絵に騙されるなよ 目茶苦茶なんだからな 俺が1人ずつ外に出ることを許可する 外にいる間 どの箱でも 5個だけ中身を見ていいが 警備員にツアーバスに 連れ戻されるまでだ 楽器に触れてもダメ 何を見たか メンバーに話してもダメ 箱に印をつけてもダメ 大声を出してもダメ 全員が自分の楽器を見つけたら 今晩演奏できる 見つけられなければ レーベルとの契約は解除だ 考える時間を3分やろう」 バンドのメンバーは絶望します 結局1人のメンバーが 無作為に5個の箱を選んで 自分の楽器を見つける確率は 50%にすぎないのですから 10人全員が成功する確率は さらに低くなり わずか1024分の1です でも突然 ドラマーが 良い方法を思いつきました その確率は35%を超えます どんな方法か分かりますか? 自分で考える場合は次の画面で ビデオを止めてください 3 2 1 ドラマーはこう言いました 「全員自分の楽器の絵の箱を 最初に開けるんだ 自分の楽器があれば成功だよね なければ箱の中の楽器を見て その楽器の絵の箱を開ける それを自分の楽器を 見つけるまで繰り返すんだ」 メンバーは半信半疑ですが 驚いたことに 全員自分の楽器を見つけます 数時間後に数千人の 熱狂的ファンの前で演奏します なぜドラマーの方法が 上手く行ったのでしょうか? メンバーは 自分の楽器が描かれた箱から始め 一連の手順に従い 自分の楽器が入った箱に 辿りつきます 続けていけば最初の箱に 戻ることにも注意しましょう つまり これはループなのです 例えば もし箱がそういう風に 配置されているなら ボーカルは最初の箱を開けて ドラムを見つけ 8番目の箱でベースを見つけ 3番目の箱でマイクを見つけ 最初の箱に戻ります この方法は無作為に開けるよりも ずっと上手くいきます なぜなら 自分の楽器の絵が描かれた 箱から始めるので 全員が自分の楽器を含むループに 限定して探すことになり すべてのループの長さが 5つ以下となる確率― 35%という そこそこの確率になるからです この確率の計算方法をみてみましょう 簡単にするために 単純な事例で説明します 楽器が4つで各ミュージシャンが 2回しかチャンスが与えられない場合です 失敗する確率を計算してみましょう つまり 自分の楽器を見つける前に 3~4個箱を開ける可能性です 4個の箱のループは 6通りあります 組合わせを数える面白い方法は 四角を描いて 角に楽器を置いて 対角線を引きます 互いに異なるループが いくつあるか数えます この2つは同じものであることに 注意してください 違う点から始めているだけだからです しかしこの2つは違います 三角形を使うと3個の箱のループは 8通りあるのが視覚化できます 除外する楽器を考えることで 4通りの三角形があることが 分かります さらに それぞれに 2通りの経路があります 結局 24通りの 箱の組合わせのうち 14通りが失敗となり 10通りが成功となります この計算方法はミュージシャンの数が 偶数の時に有効です でも簡単に確率を知りたいのなら 便利な一般式があります 10人のミュージシャンの場合に適用すると 確率は約35%となります 千人のミュージシャンなら? 百万人では? nが増えると 確率は30%に近づきます 成功は保証されませんが 絶望的ではなく ちょっとした運さえあればいい程度です 皆さん このクイズが気に入ったのなら この2つにも挑戦してください