Your favorite band is great at playing music, but not so great at being organized. They keep misplacing their instruments on tour, and it's driving their manager mad. On the day of the big concert, the band wakes up to find themselves tied up in a windowless, soundproof practice room. Their manager explains what's happening. Outside, there are ten large boxes. Each contains one of your instruments, but don't be fooled by the pictures - they've been randomly placed. I'm going to let you out one at a time. While you're outside, you can look inside any five boxes before security takes you back to the tour bus. You can't touch the instruments or in any way communicate what you find to the others. No marking the boxes, shouting, nothing. If each one of you can find your own instrument, then you can play tonight. Otherwise, the label is dropping you. You have three minutes to think about it before we start. The band is in despair. After all, each musician only has a 50% chance of finding their instrument by picking five random boxes. And the chances that all ten will succeed are even lower - just 1 in 1024. But suddenly, the drummer comes up with a valid strategy that has a better than 35% chance of working. Can you figure out what it was? Pause the video on the next screen if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 Here's what the drummer said: Everyone first open the box with the picture of your instrument. If your instrument is inside, you're done. Otherwise, look at whatever's in there, and then open the box with that picture on it. Keep going that way until you find your instrument. The bandmates are skeptical, but amazingly enough, they all find what they need. And a few hours later, they're playing to thousands of adoring fans. So why did the drummer's strategy work? Each musician follows a linked sequence that starts with the box whose outside matches their instrument and ends with the box actually containing it. Note that if they kept going, that would lead them back to the start, so this is a loop. For example, if the boxes are arranged like so, the singer would open the first box to find the drums, go to the eighth box to find the bass, and find her microphone in the third box, which would point back to the first. This works much better than random guessing because by starting with the box with the picture of their instrument, each musician restricts their search to the loop that contains their instrument, and there are decent odds, about 35%, that all of the loops will be of length five or less. How do we calculate those odds? For the sake of simplicity, we'll demonstrate with a simplified case, four instruments and no more than two guesses allowed for each musician. Let's start by finding the odds of failure, the chance that someone will need to open three or four boxes before they find their instrument. There are six distinct four-box loops. One fun way to count them is to make a square, put an instrument at each corner, and draw the diagonals. See how many unique loops you can find, and keep in mind that these two are considered the same, they just start at different points. These two, however, are different. We can visualize the eight distinct three-box loops using triangles. You'll find four possible triangles depending on which instrument you leave out, and two distinct paths on each. So of the 24 possible combinations of boxes, there are 14 that lead to faliure, and ten that result in success. That computational strategy works for any even number of musicians, but if you want a shortcut, it generalizes to a handy equation. Plug in ten musicians, and we get odds of about 35%. What if there were 1,000 musicians? 1,000,000? As n increases, the odds approach about 30%. Not a guarantee, but with a bit of musician's luck, it's far from hopeless. Hi everybody, if you liked this riddle, try solving these two.
I membri della tua band preferita sono fantastici nel fare musica, ma non così fantastici nell'essere organizzati. Continuano a perdere i loro strumenti in tour, e questo sta facendo impazzire il loro manager. Nel giorno del grande concerto i membri della band si svegliano per trovarsi legati in una stanza per le prove, insonorizzata e senza finestre. I loro manager spiega cosa sta succedendo. Fuori, ci sono dieci grandi scatole. Ciascuna contiene uno dei vostri strumenti, ma non fatevi ingannare dalle immagini - sono state collocate in maniera casuale. Vi farò uscire uno per volta. Mentre siete fuori, potete guardare dentro cinque scatole prima che la sicurezza vi riporti indietro al tour bus. Non potete toccare gli strumenti o in qualunque modo comunicare agli altri ciò che trovate. Non si marchiano le scatole, non si urla, niente. Se ognuno di voi riesce a trovare il proprio strumento, allora potete suonare questa sera. Altrimenti, l'etichetta discografica vi abbandonerà. Avete tre minuti per pensarci prima di iniziare. La band si dispera. Dopo tutto, ogni musicista ha solo il 50% di possibilità di trovare il suo strumento scegliendo cinque scatole in maniera casuale. E le possibilità che tutti e dieci ci riescano sono ancora di meno, solo 1 su 1024. Ma d'improvviso, il batterista propone una strategia valida che ha più del 35% di possibilità di funzionare. Riesci a capire qual era? Metti il video in pausa sul prossimo frame se vuoi scoprirlo da solo! Risposta in: 3 Risposta in: 2 Risposta in: 1 Ecco cosa ha detto il batterista: Tutti prima aprite la scatola con l'immagine del vostro strumento. Se il vostro strumento è dentro, avete fatto. Altrimenti, guardate qualunque cosa sia lì dentro, e poi aprite la scatola con quell'immagine sopra. Continuate così fino a quando non trovate il vostro strumento. I compagni della band sono scettici, ma sorprendentemente, tutti trovano ciò di cui hanno bisogno. E poche ore dopo, stanno suonando per migliaia di fan in adorazione. Quindi perché la strategia del batterista ha funzionato? Ogni musicista segue una sequenza collegata che comincia con la scatola il cui esterno si abbina al proprio strumento e finisce con la scatola che lo contiene effettivamente. Notate che se continuassero ad andare avanti, tornerebbero all'inizio quindi questo è un ciclo. Per esempio, se le scatole sono sistemate così, il cantante aprirebbe la prima scatola per trovare la batteria, andrebbe all'ottava scatola per trovare il basso, e troverebbe il suo microfono nella terza scatola, che punterebbe indietro alla prima. Questo funziona molto meglio che indovinare casualmente perché iniziando con la scatola con l'immagine del proprio strumento, ogni musicista restringe la sua ricerca al ciclo che contiene il suo strumento, e ci sono buone possibilità, circa il 35% che tutti i cicli siano di cinque elementi o meno . Come calcoliamo quelle possibilità? Per amore di semplicità, lo dimostreremo in un caso facilitato: quattro strumenti e non più di due tentativi permessi a ogni musicista. Iniziamo col trovare le probabilità di fallire, le possibilità che qualcuno abbia bisogno di aprire tre o quattro scatole prima di trovare il suo strumento. Ci sono sei distinti cicli da quattro scatole. Una maniera divertente di contarli è di fare un quadrato, mettere uno strumento in ogni angolo, e disegnare le diagonali. Guarda quanti cicli unici puoi trovare, e tieni a mente che questi due sono considerati uguali, iniziano solamente in punti diversi. Questi due, tuttavia, sono diversi. Possiamo visualizzare gli otto distinti cicli da tre scatole usando i triangoli. Troverai quattro possibili triangoli a seconda di quale strumento lasci fuori, e due distinti percorsi per ciascuno. Perciò tra le 24 possibili combinazioni di scatole, ce ne sono 14 che portano al fallimento e 10 che risultato di successo. Quella strategia computazionale funziona per ogni numero pari di musicisti, ma se vuoi una scorciatoia, si generalizza con una pratica equazione. Inserisci dieci musicisti e otterrai una probabilità di circa 35%. Che succederebbe se ci fossero 1000 musicisti? 1.000.000? Quando n cresce, la probabilità si avvicina al 30%. Non una garanzia, ma con un po' di fortuna da musicista, è lontano dal disperato. Ciao a tutti, se vi è piaciuto quest'indovinello,