Your favorite band is great at playing music, but not so great at being organized. They keep misplacing their instruments on tour, and it's driving their manager mad. On the day of the big concert, the band wakes up to find themselves tied up in a windowless, soundproof practice room. Their manager explains what's happening. Outside, there are ten large boxes. Each contains one of your instruments, but don't be fooled by the pictures - they've been randomly placed. I'm going to let you out one at a time. While you're outside, you can look inside any five boxes before security takes you back to the tour bus. You can't touch the instruments or in any way communicate what you find to the others. No marking the boxes, shouting, nothing. If each one of you can find your own instrument, then you can play tonight. Otherwise, the label is dropping you. You have three minutes to think about it before we start. The band is in despair. After all, each musician only has a 50% chance of finding their instrument by picking five random boxes. And the chances that all ten will succeed are even lower - just 1 in 1024. But suddenly, the drummer comes up with a valid strategy that has a better than 35% chance of working. Can you figure out what it was? Pause the video on the next screen if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 Here's what the drummer said: Everyone first open the box with the picture of your instrument. If your instrument is inside, you're done. Otherwise, look at whatever's in there, and then open the box with that picture on it. Keep going that way until you find your instrument. The bandmates are skeptical, but amazingly enough, they all find what they need. And a few hours later, they're playing to thousands of adoring fans. So why did the drummer's strategy work? Each musician follows a linked sequence that starts with the box whose outside matches their instrument and ends with the box actually containing it. Note that if they kept going, that would lead them back to the start, so this is a loop. For example, if the boxes are arranged like so, the singer would open the first box to find the drums, go to the eighth box to find the bass, and find her microphone in the third box, which would point back to the first. This works much better than random guessing because by starting with the box with the picture of their instrument, each musician restricts their search to the loop that contains their instrument, and there are decent odds, about 35%, that all of the loops will be of length five or less. How do we calculate those odds? For the sake of simplicity, we'll demonstrate with a simplified case, four instruments and no more than two guesses allowed for each musician. Let's start by finding the odds of failure, the chance that someone will need to open three or four boxes before they find their instrument. There are six distinct four-box loops. One fun way to count them is to make a square, put an instrument at each corner, and draw the diagonals. See how many unique loops you can find, and keep in mind that these two are considered the same, they just start at different points. These two, however, are different. We can visualize the eight distinct three-box loops using triangles. You'll find four possible triangles depending on which instrument you leave out, and two distinct paths on each. So of the 24 possible combinations of boxes, there are 14 that lead to faliure, and ten that result in success. That computational strategy works for any even number of musicians, but if you want a shortcut, it generalizes to a handy equation. Plug in ten musicians, and we get odds of about 35%. What if there were 1,000 musicians? 1,000,000? As n increases, the odds approach about 30%. Not a guarantee, but with a bit of musician's luck, it's far from hopeless. Hi everybody, if you liked this riddle, try solving these two.
گروه مورد علاقه شما خیلی خوب موسیقی اجرا میکند، اما نظم و ترتیب ندارند. در طول تور سازهایشان را جابجا میگذارند، و این اعصاب مدیر را خرد کرده است. در روز کنسرت بزرگ، گروه بیدار میشوند و خود را در اتاق تمرین بدون پنجره عایق صدایی گرفتار میبینند. مدیر برایشان توضیح میدهد چه اتفاقی افتاده است. بیرون، ده جعبه بزرگ قرار دارد. در هرکدام یکی از سازهایتان قرار دارد، اما گول عکس روی جعبهها را نخورید، سازها اتفاقی در جعبهها قرارداده شدهاند. تک تک اجازه میدهم بیرون بیایید. وقتی بیرون آمدید، میتوانید داخل پنج جعبه را نگاه کنید پیش از آنکه مأموران امنیتی شما را به اتوبوس برگردانند. نمیتوانید به سازها دست بزنید و به هر طریقی به بقیه بگویید چی پیدا کردهاید. هیچ علامتی روی جعبهها نمیگذارید، داد و بیداد نمیکنید، هیچی. هرکس که ساز خودش را پیدا کرد میتواند امشب اجرا کند. در غیر این صورت، برچسب حذفتان میکند. پیش از اینکه شروع کنیم سه دقیقه وقت دارید فکر کنید. گروه ناامید شدهاند. در نهایت، هر نوازنده ۵۰٪ شانس دارد که سازش را با انتخاب پنج جعبه پیدا کند. و احتمال موفقیت هر ده نفر از این هم کمتر است - فقط ۱ در ۱۰۲۴. اما ناگهان، نوازنده درام روش خوبی ارائه میدهد که با احتمال بیش از ۳۵٪ کار میکند. میتوانید راه حل را پیدا کنید؟ اگر میخواهید خودتان جواب را پیدا کنید ویدیو را روی تصویر بعدی متوقف کنید! جواب در: ۳ جواب در: ۲ جواب در: ۱ نوازنده درام گفت: هر کس اول جعبه با عکس ساز خودش را باز کند. اگر سازتان درون آن بود که هیچ. اگر نبود، ببینید چه در آن است، و سپس جعبهای که عکس آن ساز روی آن است را باز کنید. همین طور ادامه دهید تا سازتان را پیدا کنید. اعضای گروه تردید دارند، اما به طرز شگفت انگیزی، همگی سازشان را پیدا میکنند. و چند ساعت بعد برای هزاران طرفدار مشتاق اجرا میکنند. خوب روش نوازنده درام چطور جواب داد؟ هر نوازنده دنبالهای پیوسته را دنبال میکند که با جعبهای که عکس سازشان روی آن است شروع و با جعبهای که خود ساز در آن است تمام میشود. دقت کنید که اگر همین طور ادامه بدهند به نقطه شروع برمیگردند، پس این یک حلقه است. به طور مثال، اگر جعبهها این طور چیده شده باشند، خواننده جعبه اول را باز میکند و درامز را پیدا میکند، سپس در جعبه هشتم بیس را پیدا میکند، و میکروفونش را در جعبه سوم پیدا میکند، که او را به جعبه اول برمیگرداند. این روش خیلی بهتر از اتفاقی حدس زدن است زیرا با شروع از جعبهای که عکس سازشان روی آن است، هر نوازنده جستجوی خود را به حلقهای معطوف میکند که سازش جزئی از آن است، و احتمال خیلی بهتری دارد، حدود ۳۵٪، که تمام حلقهها به طول پنج جعبه یا کمتر باشند. چطور این احتمالات را محاسبه میکنیم؟ برای ساده شدن موضوع، شرایط سادهتری را شرح میدهیم، چهار ساز داریم و هر نوازنده تنها دو حدس میتواند بزند. بیایید با محاسبه احتمال شکست شروع کنیم، احتمال اینکه کسی بخواهد سه یا چهار جعبه را پیش از پیدا کردن سازش باز کند. شش حلقه متمایز چهار جعبهای وجود دارد. یک راه جالب برای شمردن آنها ساختن یک مربع است، در هر گوشه یک ساز قرار دهید، و قطرها را بکشید. ببینید چند حلقه منحصر به فرد میتوانید پیدا کنید، و به یاد داشته باشید که این دوتا یکی هستند، فقط از نقاط متفاوتی شروع شدهاند. اما این دوتا با هم فرق دارند. میتوانیم هشت حلقه سه تایی متمایز را هم با مثلث نشان دهیم. میبینید که هر سازی را کنار بگذارید چهار مثلث متمایز، و در هرکدام دو مسیر متمایز خواهید داشت. پس از بین ۲۴ ترکیب ممکن جعبهها، ۱۴ تا به شکست منجر میشود، و دهتا موفقیتآمیز هستند. این روش محاسباتی برای هر تعداد زوج نوازنده کار میکند، اما اگر میانبری میخواهید، به معادلهای کارآمد منجر میشود. ده نوازنده وارد آن کنید و احتمال ۳۵٪ خواهد بود. اگر ۱٫۰۰۰ نوازنده بود چطور؟ ۱٫۰۰۰٫۰۰۰ چطور؟ همین طور که تعداد n زیاد میشود، احتمال به حدود ۳۰٪ میرسد. تضمینی وجود ندارد، اما با کمی اقبال نوازندگان جای امیدواری هست. سلام به همه، اگر این معما را دوست داشتید، این دو تا را هم ببینید.