Your favorite band is great at playing music, but not so great at being organized. They keep misplacing their instruments on tour, and it's driving their manager mad. On the day of the big concert, the band wakes up to find themselves tied up in a windowless, soundproof practice room. Their manager explains what's happening. Outside, there are ten large boxes. Each contains one of your instruments, but don't be fooled by the pictures - they've been randomly placed. I'm going to let you out one at a time. While you're outside, you can look inside any five boxes before security takes you back to the tour bus. You can't touch the instruments or in any way communicate what you find to the others. No marking the boxes, shouting, nothing. If each one of you can find your own instrument, then you can play tonight. Otherwise, the label is dropping you. You have three minutes to think about it before we start. The band is in despair. After all, each musician only has a 50% chance of finding their instrument by picking five random boxes. And the chances that all ten will succeed are even lower - just 1 in 1024. But suddenly, the drummer comes up with a valid strategy that has a better than 35% chance of working. Can you figure out what it was? Pause the video on the next screen if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 Here's what the drummer said: Everyone first open the box with the picture of your instrument. If your instrument is inside, you're done. Otherwise, look at whatever's in there, and then open the box with that picture on it. Keep going that way until you find your instrument. The bandmates are skeptical, but amazingly enough, they all find what they need. And a few hours later, they're playing to thousands of adoring fans. So why did the drummer's strategy work? Each musician follows a linked sequence that starts with the box whose outside matches their instrument and ends with the box actually containing it. Note that if they kept going, that would lead them back to the start, so this is a loop. For example, if the boxes are arranged like so, the singer would open the first box to find the drums, go to the eighth box to find the bass, and find her microphone in the third box, which would point back to the first. This works much better than random guessing because by starting with the box with the picture of their instrument, each musician restricts their search to the loop that contains their instrument, and there are decent odds, about 35%, that all of the loops will be of length five or less. How do we calculate those odds? For the sake of simplicity, we'll demonstrate with a simplified case, four instruments and no more than two guesses allowed for each musician. Let's start by finding the odds of failure, the chance that someone will need to open three or four boxes before they find their instrument. There are six distinct four-box loops. One fun way to count them is to make a square, put an instrument at each corner, and draw the diagonals. See how many unique loops you can find, and keep in mind that these two are considered the same, they just start at different points. These two, however, are different. We can visualize the eight distinct three-box loops using triangles. You'll find four possible triangles depending on which instrument you leave out, and two distinct paths on each. So of the 24 possible combinations of boxes, there are 14 that lead to faliure, and ten that result in success. That computational strategy works for any even number of musicians, but if you want a shortcut, it generalizes to a handy equation. Plug in ten musicians, and we get odds of about 35%. What if there were 1,000 musicians? 1,000,000? As n increases, the odds approach about 30%. Not a guarantee, but with a bit of musician's luck, it's far from hopeless. Hi everybody, if you liked this riddle, try solving these two.
Tu banda favorita es genial tocando música, pero no tan genial organizándose. Siguen guardando mal sus instrumentos durante la gira, y esto enloquece a su manager. El día del gran concierto, la banda se despierta encerrada en una sala de ensayo insonorizada sin ventanas. Su manager les explica lo que está pasando. Afuera hay diez cajas grandes. Cada una contiene uno de sus instrumentos, pero no se dejen engañar por las imágenes, que han sido puestas al azar. Voy a dejar salir de a uno a la vez. Mientras esté fuera, puede observar el interior de las cinco cajas antes de que los de seguridad lo lleven de vuelta al bus de la gira. No puede tocar los instrumentos o usar cualquier otra forma de comunicar a los otros sobre lo que encuentra. Ni marcar las cajas, gritar, nada. Si cada uno de Uds. puede encontrar su instrumento, podrá tocar esta noche. De lo contrario, se caerá el cartel. Tienen tres minutos para pensar en ello antes de empezar. La banda está desesperada. Cada músico tiene solamente un 50 % de probabilidad de encontrar su instrumento escogiendo al azar cinco cajas. Y las posibilidades de que los diez tengan éxito son aún más bajas, solo 1 en 1024. Pero, de repente, el batería dice una estrategia válida que tiene una oportunidad mejor que un 35 % de servir. ¿Puedes adivinar cuál era? ¡Pausa el video en la pantalla siguiente si quieres averiguarlo por ti mismo! Respuesta en: 3 Respuesta en: 2 Respuesta en: 1 Esto es lo que dijo el tambor: Todo el mundo abre por primera vez la caja con la imagen de su instrumento. Si el instrumento está en el interior, hecho. De lo contrario, mira lo que sea esté allí, y luego abre la caja con la imagen en ella. Sigue así hasta que encuentre su instrumento. Los compañeros de banda están escépticos, pero, sorprendentemente, todos encuentran lo que necesitan. Y un par de horas más tarde, están tocando ante miles de fans. Y ¿por qué funciona la estrategia del batería? Cada músico sigue una secuencia unida que comienza con el cuadro cuyo exterior coincide con el instrumento y termina con la caja que lo contiene en realidad. Ten en cuenta que si seguían adelante, los llevaría de nuevo al comienzo, por lo que este es un bucle. Por ejemplo, si las cajas están dispuestas así, el cantante abriría la primera caja para encontrar los tambores, ir a la octava caja para encontrar el bajo, y encontrar su micrófono en la tercera caja, lo que apuntaría de nuevo a la primera. Esto funciona mucho mejor que adivinar al azar porque al partir de la caja con la imagen de su instrumento, cada músico restringe su búsqueda al bucle que contiene el instrumento, y hay probabilidades decentes, aproximadamente un 35 %, de que todos los bucles serán de longitud cinco o menos. ¿Cómo calculamos las probabilidades? En aras de la simplicidad, vamos a demostrarlo con un caso simplificado, cuatro instrumentos y no más de dos conjeturas permitidas a cada músico. Empecemos encontrando las probabilidades de fracaso, la posibilidad de que alguien tenga que abrir tres o cuatro cajas antes de encontrar su instrumento. Hay seis bucles de cuatro distintas caja. Una manera divertida de contarlos es hacer un cuadrado, poner un instrumento en cada esquina, y trazar las diagonales. Ver cuántos bucles únicos puedes encontrar, Y tener en cuenta que estos dos son considerados lo mismo, solo inician en diferentes puntos. Estos dos, sin embargo, son diferentes. Podemos visualizar los ocho bucles de tres cajas distintas utilizando triángulos. Encontrarás cuatro triángulos posibles dependiendo de qué instrumento se deja fuera, y dos caminos distintos en cada uno. Así que una de las 24 posibles combinaciones de cajas, hay 14 que conducen a falla, y diez que se traducen en éxito. Esa estrategia computacional funciona para cualquier número par de músicos, pero si quieres un atajo, se generaliza a una ecuación útil. Pon diez músicos, y obtenemos probabilidades de alrededor del 35 %. ¿Y si había 1000 músicos? ¿1 000 000? Conforme n aumenta, las probabilidades se acercan a aproximadamente 30 %. No hay garantía, pero con un poco de suerte de los músicos, está lejos de ser impoisible.