Deine Lieblingsband spielt großartig Musik, ist aber weniger gut organisiert. Die Musiker verlegen andauernd ihre Instrumente, was ihren Manager in den Wahnsinn treibt. Am Tag ihres großen Konzerts wacht die Band gefesselt auf, in einem fensterlosen, schalldichten Übungsraum. Ihr Manager erklärt ihnen die Situation: "Draußen sind 10 große Boxen. In jeder ist eines eurer Instrumente, aber lasst euch nicht von den Bildern täuschen, die sind zufällig angebracht. Ich lasse jeweils einen von euch raus. Wenn ihr draußen seid, dürft ihr fünf Boxen öffnen, bevor der Sicherheitsdienst euch zurückbringt. Ihr dürft die Instrumente weder anfassen noch den anderen mitteilen, was ihr gefunden habt, noch die Boxen markieren, schreien, gar nichts. Wenn jeder von euch sein Instrument findet, dürft ihr heute Abend spielen. Wenn nicht, kündigt euch der Musikverlag. Ihr dürft 3 Minuten gemeinsam nachdenken bevor wir anfangen." Die Band ist verzweifelt. Jeder Musiker hat nur eine 50%-Chance, sein eigenes Instrument zu finden, wenn er zufällig 5 Boxen auswählt. Die Chance, dass alle 10 Musiker Erfolg haben, ist noch geringer -- nur 1 zu 1 024. Plötzlich fällt dem Schlagzeuger eine sinnvolle Strategie ein, deren Erfolgschance größer ist als 35 %. Weißt du, welche es ist? Halte das Video an, wenn du es selbst herausfinden willst! [Übersetzung der Regeln steht in der Videobeschreibung] Antwort in: 3 Antwort in: 2 Antwort in: 1 Hier ist die Idee des Schlagzeugers: "Jeder öffnet zuerst die Box mit dem Bild seines Instruments. Wenn euer Instrument darin ist, seid ihr fertig. Ansonsten schaut ihr euch an, welches Instrument darin liegt und öffnet die Box mit dem dazu passenden Bild. Macht so weiter, bis ihr euer Instrument findet." Die Musiker sind skeptisch, aber erstaunlicherweise finden alle ihre Instrumente und wenige Stunden später spielen sie vor mehreren tausend Fans. Warum hat die Idee des Schlagzeugers funktioniert? Jeder Musiker geht einer verknüpften Abfolge nach, die mit der Box beginnt, deren Außenseite seinem Instrument entspricht und mit der Box endet, in der das Instrument ist. Würden sie so weitermachen, würde es sie wieder bis zum Anfang führen. Es handelt sich um eine Schleife. Wenn die Boxen so angeordnet wären, würde die Sängerin in der 1. Box das Schlagzeug finden, dann zur 8. Box gehen, in der der Bass ist, und ihr Mikrophon in der 3. Box finden, was sie wieder zur ersten Box führen würde. Das funktioniert viel besser als zu raten. Wenn jeder Musiker mit der Box beginnt, die sein Instrument abbildet, begrenzt er seine Suche auf die Schleife, in der sich sein Instrument befindet und mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % haben alle Schleifen eine Länge von fünf oder weniger Boxen. Wie berechnen wir diese Wahrscheinlichkeit? Wir verdeutlichen es anhand eines vereinfachten Falls: Vier Instrumente und jeder Musiker darf nur zwei Boxen öffnen. Wie wahrscheinlich ist ein Misserfolg, d. h. dass jemand drei oder vier Boxen öffnen muss, um sein Instrument zu finden. Für vier Boxen gibt es sechs mögliche Schleifen. Um die Anzahl an Schleifen zu finden, nehmen wir ein Viereck mit einem Instrument in jeder Ecke und zeichnen die Diagonalen. Wie viele einzigartige Schleifen findest du? Bedenke, dass diese beiden gleich sind, sie beginnen nur an verschiedenen Punkten. Diese beiden sind allerdings verschieden. Bei einer Schleifenlänge von 3 gibt es 8 Möglichkeiten die wir mit Dreiecken darstellen können. Du findest vier mögliche Dreiecke, je nachdem, welche Instrumente du auslässt und zwei eigene Wege für jedes Instrument. Von den 24 möglichen Kombinationen der Boxen führen 14 zum Misserfolg und zehn zum Erfolg. Diese rechnerische Strategie funktioniert für jede gerade Anzahl an Musikern, aber dank dieser praktischen Gleichung geht es auch schneller. Bei zehn Musikern haben wir eine Erfolgswahrscheinlichkeit von ca. 35 %. Was, wenn es 1.000 Musiker gäbe? 1.000.000? Je größer n wird, desto mehr nähert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit 30 % an. Keine Garantie, aber mit ein wenig Musiker-Glück nicht hoffnungslos. Wenn dir dieses Rätsel gefallen hat, gefallen dir vielleicht auch diese beiden!
Your favorite band is great at playing music, but not so great at being organized. They keep misplacing their instruments on tour, and it's driving their manager mad. On the day of the big concert, the band wakes up to find themselves tied up in a windowless, soundproof practice room. Their manager explains what's happening. Outside, there are ten large boxes. Each contains one of your instruments, but don't be fooled by the pictures - they've been randomly placed. I'm going to let you out one at a time. While you're outside, you can look inside any five boxes before security takes you back to the tour bus. You can't touch the instruments or in any way communicate what you find to the others. No marking the boxes, shouting, nothing. If each one of you can find your own instrument, then you can play tonight. Otherwise, the label is dropping you. You have three minutes to think about it before we start. The band is in despair. After all, each musician only has a 50% chance of finding their instrument by picking five random boxes. And the chances that all ten will succeed are even lower - just 1 in 1024. But suddenly, the drummer comes up with a valid strategy that has a better than 35% chance of working. Can you figure out what it was? Pause the video on the next screen if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1 Here's what the drummer said: Everyone first open the box with the picture of your instrument. If your instrument is inside, you're done. Otherwise, look at whatever's in there, and then open the box with that picture on it. Keep going that way until you find your instrument. The bandmates are skeptical, but amazingly enough, they all find what they need. And a few hours later, they're playing to thousands of adoring fans. So why did the drummer's strategy work? Each musician follows a linked sequence that starts with the box whose outside matches their instrument and ends with the box actually containing it. Note that if they kept going, that would lead them back to the start, so this is a loop. For example, if the boxes are arranged like so, the singer would open the first box to find the drums, go to the eighth box to find the bass, and find her microphone in the third box, which would point back to the first. This works much better than random guessing because by starting with the box with the picture of their instrument, each musician restricts their search to the loop that contains their instrument, and there are decent odds, about 35%, that all of the loops will be of length five or less. How do we calculate those odds? For the sake of simplicity, we'll demonstrate with a simplified case, four instruments and no more than two guesses allowed for each musician. Let's start by finding the odds of failure, the chance that someone will need to open three or four boxes before they find their instrument. There are six distinct four-box loops. One fun way to count them is to make a square, put an instrument at each corner, and draw the diagonals. See how many unique loops you can find, and keep in mind that these two are considered the same, they just start at different points. These two, however, are different. We can visualize the eight distinct three-box loops using triangles. You'll find four possible triangles depending on which instrument you leave out, and two distinct paths on each. So of the 24 possible combinations of boxes, there are 14 that lead to faliure, and ten that result in success. That computational strategy works for any even number of musicians, but if you want a shortcut, it generalizes to a handy equation. Plug in ten musicians, and we get odds of about 35%. What if there were 1,000 musicians? 1,000,000? As n increases, the odds approach about 30%. Not a guarantee, but with a bit of musician's luck, it's far from hopeless. Hi everybody, if you liked this riddle, try solving these two.