Pick a card, any card. Actually, just pick up all of them and take a look. This standard 52-card deck has been used for centuries. Everyday, thousands just like it are shuffled in casinos all over the world, the order rearranged each time. And yet, every time you pick up a well-shuffled deck like this one, you are almost certainly holding an arrangement of cards that has never before existed in all of history. How can this be? The answer lies in how many different arrangements of 52 cards, or any objects, are possible. Now, 52 may not seem like such a high number, but let's start with an even smaller one. Say we have four people trying to sit in four numbered chairs. How many ways can they be seated? To start off, any of the four people can sit in the first chair. One this choice is made, only three people remain standing. After the second person sits down, only two people are left as candidates for the third chair. And after the third person has sat down, the last person standing has no choice but to sit in the fourth chair. If we manually write out all the possible arrangements, or permutations, it turns out that there are 24 ways that four people can be seated into four chairs, but when dealing with larger numbers, this can take quite a while. So let's see if there's a quicker way. Going from the beginning again, you can see that each of the four initial choices for the first chair leads to three more possible choices for the second chair, and each of those choices leads to two more for the third chair. So instead of counting each final scenario individually, we can multiply the number of choices for each chair: four times three times two times one to achieve the same result of 24. An interesting pattern emerges. We start with the number of objects we're arranging, four in this case, and multiply it by consecutively smaller integers until we reach one. This is an exciting discovery. So exciting that mathematicians have chosen to symbolize this kind of calculation, known as a factorial, with an exclamation mark. As a general rule, the factorial of any positive integer is calculated as the product of that same integer and all smaller integers down to one. In our simple example, the number of ways four people can be arranged into chairs is written as four factorial, which equals 24. So let's go back to our deck. Just as there were four factorial ways of arranging four people, there are 52 factorial ways of arranging 52 cards. Fortunately, we don't have to calculate this by hand. Just enter the function into a calculator, and it will show you that the number of possible arrangements is 8.07 x 10^67, or roughly eight followed by 67 zeros. Just how big is this number? Well, if a new permutation of 52 cards were written out every second starting 13.8 billion years ago, when the Big Bang is thought to have occurred, the writing would still be continuing today and for millions of years to come. In fact, there are more possible ways to arrange this simple deck of cards than there are atoms on Earth. So the next time it's your turn to shuffle, take a moment to remember that you're holding something that may have never before existed and may never exist again.
好きなカードを一枚引いて下さい 残りも全部引いてみて下さい この52枚組みのトランプというものは 何世紀にもわたり使われてきました 毎日 何千ものトランプが 世界中のカジノでシャッフルされ その度にカードの順番は入れ替わります よくシャッフルされたトランプを引く度に 殆どのケースは 今までに存在したことのない 初めての配列のカードを 手にしているのです これはどういうことでしょうか? 答えは52枚のカード もしくは 他のものでもいいですが 何種類の配列が可能かを考える事です 52はさして大きな数とは 思えないかもしれませんが まずはもっと小さな数から 始めてみましょう 例えば 4人が番号のついた 4つの椅子に座ろうとすると 何通りの座り方が可能でしょうか? まず初めは 4人のうち誰でも 最初の椅子に座れます この椅子が埋まると 残りは3人になります 2番目の人が着席すると 3番目の椅子に対して 2人が残ります 3人目が座ると 最後に残った1人は 4つ目の椅子に 座るしかありません 何通りのアレンジが可能なのか つまり順列を ひとつひとつ書き出していくと 4人が4つの椅子に座るには 24通りの座り方があることになります しかしもっと大きな数の場合は この方法は時間がかかります もっと早い方法は無いのでしょうか 最初からやり直してみましょう 1つ目の椅子には 4通りの選択肢があります すると2番目の椅子には 3通りの選択肢があるわけです そして3番目の椅子には 2通りの選択肢があります 最後の選択肢をひとつずつ数えるのではなく 各椅子に座れる選択肢の数を 掛け算してみましょう 4x3x2x1 同じく24になります 興味深いパターンが表れました まず配列するものの数を数えます この場合4つになりますね そして1ずつ小さい整数を 1になるまで掛けていきます 驚くべき発見ですね それゆえ数学者は 階乗として知られるこの計算を 表す記号として 感嘆符(!)を選びました 原則として正の整数の階乗は 同じ整数と1までの全ての整数の 同じ整数と1までの全ての整数の 積として計算されます このシンプルな例だと 4人の人たちが 椅子に座っていく事を 4の階乗で表せるので 24になります さて トランプに戻りましょう 4人が着席する際には 4の階乗を計算したので 52枚のカードを配置するには 52の階乗を計算すればよいのです 幸い計算機を使えば 自分で計算をせずに済みます その結果から 可能な配列の数は 8.07 x 10^67で 8の後に0が67個並びます どれぐらい大きな数なのでしょうか? 仮に52枚のカードの順列を 毎秒書き出していくのを ビッグバンが起きたとされる 138億年前に開始したとすると 未だに終わることはなく これからとてつもなく 長い時間がかかります 実はカードの順列は 地球上にある原子の数より多いとされます 地球上にある原子の数より多いとされます 今度 カードをシャッフルする時には 今までに存在せず これからも存在しないであろう 何かを手にしているのだと 思い起こしてみて下さい