Pick a card, any card. Actually, just pick up all of them and take a look. This standard 52-card deck has been used for centuries. Everyday, thousands just like it are shuffled in casinos all over the world, the order rearranged each time. And yet, every time you pick up a well-shuffled deck like this one, you are almost certainly holding an arrangement of cards that has never before existed in all of history. How can this be? The answer lies in how many different arrangements of 52 cards, or any objects, are possible. Now, 52 may not seem like such a high number, but let's start with an even smaller one. Say we have four people trying to sit in four numbered chairs. How many ways can they be seated? To start off, any of the four people can sit in the first chair. One this choice is made, only three people remain standing. After the second person sits down, only two people are left as candidates for the third chair. And after the third person has sat down, the last person standing has no choice but to sit in the fourth chair. If we manually write out all the possible arrangements, or permutations, it turns out that there are 24 ways that four people can be seated into four chairs, but when dealing with larger numbers, this can take quite a while. So let's see if there's a quicker way. Going from the beginning again, you can see that each of the four initial choices for the first chair leads to three more possible choices for the second chair, and each of those choices leads to two more for the third chair. So instead of counting each final scenario individually, we can multiply the number of choices for each chair: four times three times two times one to achieve the same result of 24. An interesting pattern emerges. We start with the number of objects we're arranging, four in this case, and multiply it by consecutively smaller integers until we reach one. This is an exciting discovery. So exciting that mathematicians have chosen to symbolize this kind of calculation, known as a factorial, with an exclamation mark. As a general rule, the factorial of any positive integer is calculated as the product of that same integer and all smaller integers down to one. In our simple example, the number of ways four people can be arranged into chairs is written as four factorial, which equals 24. So let's go back to our deck. Just as there were four factorial ways of arranging four people, there are 52 factorial ways of arranging 52 cards. Fortunately, we don't have to calculate this by hand. Just enter the function into a calculator, and it will show you that the number of possible arrangements is 8.07 x 10^67, or roughly eight followed by 67 zeros. Just how big is this number? Well, if a new permutation of 52 cards were written out every second starting 13.8 billion years ago, when the Big Bang is thought to have occurred, the writing would still be continuing today and for millions of years to come. In fact, there are more possible ways to arrange this simple deck of cards than there are atoms on Earth. So the next time it's your turn to shuffle, take a moment to remember that you're holding something that may have never before existed and may never exist again.
בחרו קלף, כל קלף. למעשה, פשוט תבחרו את כולם והביטו. החבילה הסטנדרטית של 52 קלפים היתה בשימוש במשך מאות שנים. כל יום, אלפים בדיוק כמוהה מעורבבות בבתי קזינו ברחבי העולם, הסדר משתנה כל פעם. ועדיין, כל פעם שאתם מרימים חפיסה מעורבבת היטב כמו זו, אתם כמעט בודאות מחזיקים סידור של קלפים שמעולם לא היה קיים בכל ההסטוריה. איך זה יכול להיות? התשובה נמצאת בכמה סידורים אפשריים של 52 קלפים, או כל חפץ, אפשריים. עכשיו, 52 אולי לא נשמע מספר כזה גבוה, אבל בואו נתחיל עם מספר אפילו קטן יותר. נגיד שיש לנו ארבעה אנשים שמנסים לשבת בארבעה כיסאות ממוספרים. בכמה דרכים הם יכולים לשבת? כדי להתחיל, כל אחד מהאנשים יכול לשבת בכיסא הראשון. ברגע שהבחירה הזו נעשתה, רק שלושה אנשים נותרו עומדים. אחרי שהאיש השני יושב, רק שני אנשים נותרו כמועמדים לכיסא השלישי. ואחרי שהאיש השלישי ישב, לאיש האחרון לא נותרה ברירה אלא לשבת בכיסא הרביעי. אם נכתוב ידנית את כל הסידורים האפשריים, או פרמוטציות, מסתבר שיש 24 דרכים שארבעה אנשים יכולים לשבת על ארבעה כיסאות, אבל כשמתעסקים עם מספרים גדולים, זה יכול לקחת די הרבה זמן. אז בואו נראה אם יש דרך מהירה יותר. נתחיל שוב מהתחלה, אתם יכולים לראות שכל אחת מארבע הבחירות הראשוניות לכיסא הראשון מובילה לשלוש בחירות נוספות לכיסא השני, וכל אחת מהבחירות האלו מובילה לשתי בחירות נוספות לכיסא השלישי. אז במקום לספור כל אחת מהאפשרויות בנפרד, אנחנו יכולים להכפיל את מספר האפשרויות לכל כיסא: ארבע כפול שלוש כפול שתיים כפול אחת כדי להגיע לתוצאה הזהה של 24. תבנית מעניינת מתגלה. אנחנו מתחילים עם מספר העצמים שאנחנו מארגנים, ארבעה במקרה הזה, ומכפילים במספרים שלמים עוקבים קטנים יותר עד שמגיעים לאחד. זו תגלית מרגשת. כל כך מרגשת שמתמטיקאים בחרו לסמל סוג כזה של חישוב, שידוע כעצרת, עם סימן קריאה. כחוק כללי, העצרת של כל מספר חיובי טבעי מחושבת כתוצאה של אותו מספר וכל המספרים הקטנים ממנו עד אחד. בדוגמה הפשוטה שלנו, מספר הדרכים בהן ארבעה אנשים יכולים להיות מאורגנים בכיסאות נכתבת כארבע עצרת, ששווה ל 24. אז בואו נחזור חזרה לחפיסה שלנו. כמו שיש ארבע עצרת דרכים לארגן ארבעה אנשים, יש 52 עצרת דרכים לארגן 52 קלפים. למזלנו, אנחנו לא צריכים לחשב את זה בראש. פשוט תכניסו את הפונקציה למחשבון, והוא יראה לכם שהמספר האפשרי של סידורים אפשריים הוא 8.07 כפול 67^10, או בערך שמונה עם 67 אפסים אחריו. כמה גדול המספר הזה? ובכן, אם סידור אפשרי של 52 קלפים היה נכתב כל שניה החל מלפני 13.8 מיליארד שנים, כשהמפץ הגדול התרחש כנראה, הכתיבה עדיין היתה ממשיכה היום ולעוד מליוני שנים. למעשה, יש יותר דרכים אפשריות לארגן את החפיסה הפשוטה הזו של קלפים מאשר אטומים בכדור הארץ. אז בפעם הבאה שתורכם לערבב, קחו רגע לזכור שאתם מחזיקים משהו שאולי לא היה קיים אי פעם ואולי לא יהיה קיים שוב.