Τραβήξτε ένα χαρτί, οποιοδήποτε χαρτί. Βασικά, απλώς πάρτε τα όλα και ρίξτε μια ματιά. Αυτή η τράπουλα 52 χαρτιών χρησιμοποιείται εδώ και αιώνες. Κάθε μέρα, χιλιάδες σαν κι αυτές ανακατεύονται στα καζίνο σε όλον τον κόσμο, με διαφορετική διάταξη κάθε φορά. Και όμως, κάθε φορά που παίρνετε μια καλοανακατεμένη τράπουλα όπως αυτήν, είναι σχεδόν σίγουρο ότι κρατάτε μια διάταξη χαρτιών που δεν υπήρξε ποτέ πριν στην ιστορία. Πώς είναι δυνατόν; Η απάντηση βρίσκεται στο πόσες διαφορετικές διατάξεις 52 χαρτιών, ή οποιονδήποτε αντικειμένων, είναι δυνατές. Ίσως το 52 να μην ακούγεται τόσο μεγάλος αριθμός, αλλά ας ξεκινήσουμε με έναν μικρότερο. Έστω ότι 4 άτομα προσπαθούν να κάτσουν σε τέσσερις αριθμημένες καρέκλες. Με πόσους τρόπους μπορούν να κάτσουν; Αρχικά, καθένας από αυτούς μπορεί να καθίσει στην πρώτη καρέκλα. Μόλις γίνει η επιλογή, μένουν μόνο τρία άτομα όρθια. Μόλις κάτσει το δεύτερο άτομο, μόνο δύο άτομα παραμένουν ως υποψήφιοι για την τρίτη καρέκλα. Αφού κάτσει και το τρίτο άτομο, ο τελευταίος όρθιος δεν έχει επιλογή παρά να κάτσει στην τέταρτη καρέκλα. Αν γράψουμε με το χέρι όλες τις πιθανές διατάξεις, ή μεταθέσεις, αποδεικνύεται ότι υπάρχουν 24 τρόποι που μπορούν να κάτσουν τέσσερα άτομα σε τέσσερις καρέκλες, αλλά όταν έχουμε μεγάλους αριθμούς, αυτό μπορεί να πάρει χρόνο. Ας δούμε λοιπόν αν υπάρχει γρηγορότερος τρόπος. Ξεκινώντας πάλι από την αρχή, βλέπετε ότι και οι τέσσερις αρχικές επιλογές για την πρώτη καρέκλα οδηγούν σε τρεις ακόμη πιθανές επιλογές για τη δεύτερη καρέκλα, και κάθε επιλογή από αυτές οδηγεί σε δύο ακόμη για την τρίτη καρέκλα. Έτσι αντί να μετράμε κάθε τελικό σενάριο μεμονωμένα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό των επιλογών για κάθε καρέκλα: τέσσερα επί τρία επί δύο επί ένα για να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα του 24. Αναδύεται ένα ενδιαφέρον μοτίβο. Ξεκινάμε με τον αριθμό των αντικειμένων που βάζουμε σε σειρά, τέσσερα σε αυτή την περίπτωση, και το πολλαπλασιάζουμε με διαδοχικώς μικρότερους ακέραιους μέχρι να φτάσουμε στο ένα. Αυτή είναι μια συναρπαστική ανακάλυψη. Τόσο συναρπαστική που οι μαθηματικοί επέλεξαν να συμβολίσουν τέτοιου είδους υπολογισμών, γνωστούς και ως παραγοντικό, με ένα θαυμαστικό. Κατά κανόνα, το παραγοντικό οποιουδήποτε θετικού ακεραίου υπολογίζεται ως το γινόμενο του ίδιου του ακέραιου και όλων τον μικρότερων ακεραίων έως το ένα. Στο απλό μας παράδειγμα, ο αριθμός των τρόπων που μπορούν να κάτσουν τέσσερα άτομα σε καρέκλες γράφεται ως τέσσερα παραγοντικό, που ισοδυναμεί με το 24. Ας επιστρέψουμε στην τράπουλά μας λοιπόν. Όπως υπάρχουν τέσσερις παραγοντικοί τρόποι για την τοποθέτηση τεσσάρων ατόμων, υπάρχουν 52 παραγοντικοί τρόποι για την τοποθέτηση 52 χαρτιών. Ευτυχώς δεν χρειάζεται να το υπολογίσουμε με το χέρι. Απλώς βάλτε τη συνάρτηση σε ένα κομπιουτεράκι, και θα σας δείξει ότι ο αριθμός των πιθανών διατάξεων είναι 8.07 x 10^67, ή περίπου 8 που ακολουθείται από 67 μηδενικά. Πόσο μεγάλος είναι αυτός ο αριθμός; Αν γραφόταν μια νέα διάταξη των 52 χαρτιών κάθε δευτερόλεπτο ξεκινώντας πριν από 13.8 δισεκατομμύρια χρόνια, όταν θεωρείται πως συνέβη η Μεγάλη Έκρηξη, το γράψιμο αυτό θα συνεχιζόνταν σήμερα και για εκατομμύρια χρόνια ακόμη. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν περισσότεροι πιθανοί τρόποι διάταξης μιας απλής τράπουλας απ' ότι άτομα χημικών στοιχείων στη Γη. Έτσι, την επόμενη φορά που θα είναι η σειρά σας να ανακατέψετε, σκεφτείτε για μια στιγμή ότι κρατάτε κάτι που μπορεί να μην έχει υπάρξει πριν και μπορεί να μην ξαναυπάρξει ποτέ.
Pick a card, any card. Actually, just pick up all of them and take a look. This standard 52-card deck has been used for centuries. Everyday, thousands just like it are shuffled in casinos all over the world, the order rearranged each time. And yet, every time you pick up a well-shuffled deck like this one, you are almost certainly holding an arrangement of cards that has never before existed in all of history. How can this be? The answer lies in how many different arrangements of 52 cards, or any objects, are possible. Now, 52 may not seem like such a high number, but let's start with an even smaller one. Say we have four people trying to sit in four numbered chairs. How many ways can they be seated? To start off, any of the four people can sit in the first chair. One this choice is made, only three people remain standing. After the second person sits down, only two people are left as candidates for the third chair. And after the third person has sat down, the last person standing has no choice but to sit in the fourth chair. If we manually write out all the possible arrangements, or permutations, it turns out that there are 24 ways that four people can be seated into four chairs, but when dealing with larger numbers, this can take quite a while. So let's see if there's a quicker way. Going from the beginning again, you can see that each of the four initial choices for the first chair leads to three more possible choices for the second chair, and each of those choices leads to two more for the third chair. So instead of counting each final scenario individually, we can multiply the number of choices for each chair: four times three times two times one to achieve the same result of 24. An interesting pattern emerges. We start with the number of objects we're arranging, four in this case, and multiply it by consecutively smaller integers until we reach one. This is an exciting discovery. So exciting that mathematicians have chosen to symbolize this kind of calculation, known as a factorial, with an exclamation mark. As a general rule, the factorial of any positive integer is calculated as the product of that same integer and all smaller integers down to one. In our simple example, the number of ways four people can be arranged into chairs is written as four factorial, which equals 24. So let's go back to our deck. Just as there were four factorial ways of arranging four people, there are 52 factorial ways of arranging 52 cards. Fortunately, we don't have to calculate this by hand. Just enter the function into a calculator, and it will show you that the number of possible arrangements is 8.07 x 10^67, or roughly eight followed by 67 zeros. Just how big is this number? Well, if a new permutation of 52 cards were written out every second starting 13.8 billion years ago, when the Big Bang is thought to have occurred, the writing would still be continuing today and for millions of years to come. In fact, there are more possible ways to arrange this simple deck of cards than there are atoms on Earth. So the next time it's your turn to shuffle, take a moment to remember that you're holding something that may have never before existed and may never exist again.