Zieh irgendeine Karte. Genauer gesagt, nimm alle und schau sie dir an. Dieses normale Deck mit 52 Karten wird seit Jahrhunderten verwendet. Täglich werden Tausende wie dieses in Casinos auf der ganzen Welt gemischt, wobei sie stets neu angeordnet werden. Doch bei jedem gut gemischten Kartendeck, wie z. B. diesem, bekommst du fast sicher eine Anordnung an Karten, die vorher noch nie existiert hat. Wie ist das möglich? Die Antwort liegt in der Anzahl möglicher verschiedener Anordnungen von 52 Karten oder anderen Objekten. Die Zahl 52 klingt zwar nicht sehr groß, aber fangen wir mit einer noch kleineren an. Angenommen, wir möchten 4 Personen auf 4 nummerierte Stühle setzen. Auf wie viele Arten geht das? Anfangs kann jede Person auf Stuhl 1 sitzen. Nach dieser Entscheidung bleiben nur noch 3 Personen. Setzt sich die zweite Person, sind nur noch 2 Kandidaten für Stuhl 3 übrig. Sobald die dritte Person sitzt, kann sich die letzte Person nur noch auf Stuhl 4 setzen. Schreibt man alle denkbaren Anordnungen oder Permutationen von Hand heraus, ergeben sich 24 Möglichkeiten, um 4 Personen auf 4 Stühle zu setzen. Doch bei größeren Zahlen kann das eine ganze Weile dauern. Mal sehen, ob das auch schneller geht. Also noch mal von vorn: Jede der 4 anfänglichen Entscheidungen für Stuhl 1 führt zu 3 weiteren Entscheidungen für Stuhl 2 und jede dieser Entscheidungen führt zu 2 weiteren für Stuhl 3. Anstatt alle Situationen einzeln zu zählen, multiplizieren wir die Anzahl der Möglichkeiten für jeden Stuhl, also 4 x 3 x 2 x 1, und erhalten dasselbe Ergebnis: 24. Es entsteht ein interessantes Muster. Wir beginnen mit der Anzahl der gegebenen Objekte, in diesem Fall 4, und multiplizieren sie mit fortlaufend kleineren ganzen Zahlen, bis wir 1 erreichen. Das ist eine spannende Entdeckung -- so spannend, dass Mathematiker entschieden haben, diese als Fakultät bekannte Berechnung mit einem Ausrufezeichen zu versehen. Grundsätzlich gilt: Die Fakultät jeder beliebigen natürlichen Zahl wird durch das Produkt derselben Zahl und allen kleineren ganzen Zahlen bis zur Zahl 1 berechnet. In unserem Beispiel schreibt man die Anzahl der Anordnungen von 4 Personen auf 4 Stühlen als "4 Fakultät", was 24 ergibt. Zurück zu unserem Kartendeck. So wie es 4 Fakultät verschiedene Möglichkeiten gab, 4 Personen zu setzen, gibt es 52 Fakultät Möglichkeiten, 52 Karten anzuordnen. Zum Glück müssen wir das nicht von Hand ausrechnen. Gib die Funktion in einen Taschenrechner ein und du siehst: Die Anzahl möglicher Anordnungen beträgt 8,07 x 10^67, grob gesagt, eine 8 gefolgt von 67 Nullen. Wie groß ist diese Zahl eigentlich? Schriebe man jede Sekunde eine neue Permutation von 52 Karten aus und hätte man damit vor 13,8 Milliarden Jahren begonnen, als sich der Urknall ereignet haben soll, dann schriebe man noch heute und weitere Jahrmillionen daran. Tatsächlich gibt es mehr Möglichkeiten, dieses einfache Kartendeck anzuordnen, als Atome auf der Erde. Wenn du das nächste Mal die Karten mischst, denk kurz daran, dass du etwas nie Dagewesenes in der Hand halten könntest, das es vielleicht nie wieder gibt.
Pick a card, any card. Actually, just pick up all of them and take a look. This standard 52-card deck has been used for centuries. Everyday, thousands just like it are shuffled in casinos all over the world, the order rearranged each time. And yet, every time you pick up a well-shuffled deck like this one, you are almost certainly holding an arrangement of cards that has never before existed in all of history. How can this be? The answer lies in how many different arrangements of 52 cards, or any objects, are possible. Now, 52 may not seem like such a high number, but let's start with an even smaller one. Say we have four people trying to sit in four numbered chairs. How many ways can they be seated? To start off, any of the four people can sit in the first chair. One this choice is made, only three people remain standing. After the second person sits down, only two people are left as candidates for the third chair. And after the third person has sat down, the last person standing has no choice but to sit in the fourth chair. If we manually write out all the possible arrangements, or permutations, it turns out that there are 24 ways that four people can be seated into four chairs, but when dealing with larger numbers, this can take quite a while. So let's see if there's a quicker way. Going from the beginning again, you can see that each of the four initial choices for the first chair leads to three more possible choices for the second chair, and each of those choices leads to two more for the third chair. So instead of counting each final scenario individually, we can multiply the number of choices for each chair: four times three times two times one to achieve the same result of 24. An interesting pattern emerges. We start with the number of objects we're arranging, four in this case, and multiply it by consecutively smaller integers until we reach one. This is an exciting discovery. So exciting that mathematicians have chosen to symbolize this kind of calculation, known as a factorial, with an exclamation mark. As a general rule, the factorial of any positive integer is calculated as the product of that same integer and all smaller integers down to one. In our simple example, the number of ways four people can be arranged into chairs is written as four factorial, which equals 24. So let's go back to our deck. Just as there were four factorial ways of arranging four people, there are 52 factorial ways of arranging 52 cards. Fortunately, we don't have to calculate this by hand. Just enter the function into a calculator, and it will show you that the number of possible arrangements is 8.07 x 10^67, or roughly eight followed by 67 zeros. Just how big is this number? Well, if a new permutation of 52 cards were written out every second starting 13.8 billion years ago, when the Big Bang is thought to have occurred, the writing would still be continuing today and for millions of years to come. In fact, there are more possible ways to arrange this simple deck of cards than there are atoms on Earth. So the next time it's your turn to shuffle, take a moment to remember that you're holding something that may have never before existed