This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Trông như một tập hợp các số được sắp xếp theo thứ tự nhưng lại là một kho báu toán học. Những nhà toán học Ấn Độ gọi nó là Nấc thang lên đỉnh Tu Di. Ở Iran, nó có tên Tam giác Khayyam Và ở Trung Quốc, là Tam giác Dương Huy. Ở hầu hết các nước phương Tây, nó được biết đến với tên Tam giác Pascal, đặt theo tên nhà toán học người Pháp, Bryce Pascal, nghe có vẻ hơi bất công vì rõ ràng khám phá của ông muộn hơn những người khác nhưng ông vẫn có nhiều đóng góp. Vậy điều gì khiến nó hấp dẫn các nhà toán học trên thế giới đến vậy? Nói ngắn gọn, nó chứa đầy quy luật và bí ẩn. Trước nhất là quy tắc tạo thành. Bắt đầu với số một, hãy tưởng tượng những số không vô hình ở hai bên. Cộng chúng lại theo cặp, sẽ tạo thành dòng tiếp theo. Hãy lặp lại việc này. Cứ tiếp tục như vậy, bạn có được một tam giác như thế này, dù thực tế, Tam giác Pascal có thể đến vô tận. Mỗi dòng ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức có dạng (x+y)^n, trong đó n là số dòng, và bắt đầu tính từ số không. Do đó, nếu cho n=2 và khai triển nó, bạn sẽ được: (x^2) + 2xy + (y^2). Hệ số, hay số đứng trước biến, trùng với các con số của dòng tương ứng trong Tam giác Pascal. Bạn sẽ thấy điều tương tự với n=3, được khai triển thành thế này. Dùng tam giác này, ta có thể tra các hệ số này nhanh chóng và dễ dàng. Và hơn thế nữa. Ví dụ, tính tổng các số trên mỗi dòng ta được dãy lũy thừa cơ số 2. Hoặc trên một dòng, coi mỗi số là một phần của khai triển trong hệ thập phân. Nói cách khác, dòng hai được biểu diễn: (1x1)+(2x10)+(1x100). Bạn sẽ có 121, tức 11^2. Hãy xem điều gì xảy ra khi làm tương tự với dòng sáu. Tổng là 1.771.561, tức 11^6, và tiếp tục như vậy. Nó cũng có các ứng dụng trong hình học. Hãy nhìn vào các đường chéo. Hai đường đầu tiên không có gì thú vị: toàn số một, và các số nguyên dương, hay còn được gọi là số tự nhiên. Nhưng các số trên đường chéo tiếp theo được gọi là số tam giác vì bạn có thể lấy các điểm đó, xếp chúng thành các tam giác đều. Đường chéo kế tiếp chứa số tứ diện vì đơn giản, bạn có thể xếp chúng thành một tứ diện. Hoặc tô tất cả các số lẻ. Có vẻ như chẳng có gì đặc biệt nếu tam giác này quá nhỏ nhưng nếu thêm vào hàng ngàn dòng, bạn sẽ có một hệ chiết hình gọi là Tam giác Sierpinski. Tam giác này không chỉ là một kiệt tác toán học. Nó còn khá hữu dụng, nhất là với xác suất và tính toán trong ngành toán học tổ hợp. Giả sử bạn muốn có năm người con, và muốn biết xác suất của việc có được gia đình mơ ước với ba con gái và hai con trai. Trong khai triển nhị thức, nó tương ứng với tổng số con gái và con trai, tất cả mũ năm. Hãy cùng nhìn vào dòng thứ năm, số đầu tiên ứng với năm người con gái và số cuối ứng với năm người con trai. Số đứng thứ ba chính là con số ta muốn tìm. Lấy mười chia cho tổng các xác suất trong dòng. Vậy là 10/32, hay 31.25%. Hoặc nếu bạn chọn ngẫu nhiên năm người trong một đội bóng rổ trong một nhóm 12 người, có thể lập được tất cả bao nhiêu nhóm năm người? Trong toán tổ hợp, bài toán này sẽ được biểu diễn dưới dạng tổ hợp chập 5 của 12, và có thể dùng công thức này để tính, hay bạn có thể chỉ nhìn vào số thứ sáu trên dòng 12 của tam giác và tìm được đáp án. Quy luật trong Tam giác Pascal là minh chứng cho cấu trúc đan xen một cách tinh tế của toán học. Cho tới ngày nay, nó vẫn đang tiết lộ thêm những bí mật mới. Ví dụ, các nhà toán học gần đây phát hiện ra cách để khai triển nó cho tới loại đa thức này. Ta có thể tìm thấy gì tiếp theo?