This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Zarifçe düzenlenmiş bir yığın sayıya benziyor olabilir; fakat bu aslında matematiksel bir hazine sandığı. Hintli matematikçiler ona Meru Dağı'nın Merdivenleri der. İran'da Hayyam Üçgeni olarak bilinir. Çin'de ise Yang Hui'nin Üçgeni adı verilir. Batı dünyasının büyük bölümünde ise Pascal Üçgeni denir. Bu ad, Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın onuruna verilmiştir. Bu pek adil sayılmaz, çünkü Pascal'ın partiye geç kaldığı çok açık. Yine de pek çok katkıda bulunmuştur. Peki dünyanın her yanından matematikçinin ilgisini çeken ne var bunda? Kısaca söylemek gerekirse, desenler ve sırlarla dolu. Bunların ilki ve en önemlisi, onu üreten desenin kendisi. 1 ile başlayın ve iki tarafında görünmez sıfırlar olduğunu hayal edin. Bu sayıları ikişer ikişer toplayın ve toplamları bir alt satıra yazın. Ardından bunu tekrar tekrar yinelemeyi sürdürün. Devam ederseniz şuna benzer bir şey elde edersiniz. Tabii aslında Pascal Üçgeni sonsuza kadar böyle gider. Buradaki her satır, (x+y)^n biçimindeki binom açılımının katsayılarına denk gelir. n, saymaya sıfırdan başlandığında, satırın sıra numarasıdır. Yani eğer n=2 alıp açılımı yaparsanız, (x^2) + 2xy + (y^2) elde edersiniz. Katsayılar, yani değişkenlerin önündeki sayılar, Pascal Üçgeni'nin satırlarındaki sayıların aynısıdır. Şu şekilde açılımı yapılan n=3 için de aynısı geçerlidir. Dolayısıyla üçgen, bu katsayıların hepsini görmenin hızlı ve kolay bir yoludur. Dahası da var. Örneğin her bir satırdaki sayıları topladığınızda, 2'nin ardışık kuvvetlerini elde edersiniz. Ya da bir satırdaki her sayıyı ondalık bir açılımın parçası olarak alın. Yani ikinci satır şöyle olur: (1x1) + (2x10) + (1x100). 121 bulunur, ki o da 11^2 demektir. Şimdi aynı şeyi 6. satıra yapınca ne çıktığına bakın. Toplamda 1.771.561 eder. Bu 11^6 demektir ve böyle sürer. Ayrıca geometrik uygulamaları da var. Köşegenlere bakın. İlk ikisi pek ilginç değil: 1'ler ve pozitif tamsayılar, yani doğal sayılar. Fakat bir sonraki köşegendeki sayılara üçgensel sayılar denir. Çünkü bunlar kadar sayıda nokta alırsanız, eşkenar üçgen şeklinde dizebilirsiniz. Sonraki köşegende ise dörtyüzlü sayılar vardır. Benzer biçimde, bunlar kadar sayıda küreyi dörtyüzlü dizebilirsiniz. Bir de şuna bakın: Tüm tek sayıları gölgeleyelim. Üçgen küçükken pek bir şeye benzemiyor. Ama binlerce satır eklediğinizde, Sierpinski Üçgeni olarak bilinen bir fraktal elde edersiniz. Bu üçgen matematiksel bir sanattan ibaret değildir. Aynı zamanda çok yararlıdır; özellikle de olasılık ve kombinetorik hesaplamaları konusunda. Diyelim 5 çocuk sahibi olmak istiyorsunuz. Hayalinizdeki gibi 3 kızınızın ve 2 oğlunuzun olma olasılığını merak ediyorsunuz. Binom açılımında, bunun karşılığı kız artı erkek üssü 5 olur. Şimdi 5. satıra bakalım. Buradaki ilk sayı 5 kıza, son sayı ise 5 erkeğe karşılık gelir. Bizim aradığımız ise üçüncü sayı olur. Satırdaki tüm olasılıkların toplamı içinden 10, yani 10/32 veya %31,25. Eğer 12 arkadaşınız arasından basketbol takımı için rastgele 5 kişi seçiyorsanız, kaç tane olası 5 kişilik grup çıkarabilirsiniz? Kombinetorik terimleriyle, bu probleme 12'den 5 seçmek denir. Şu formülle hesaplanabilir veya üçgenin 12. satırındaki 6. elemana bakarak da yanıtı bulabilirsiniz. Pascal Üçgeni'ndeki şablonlar matematiğin zarif dokusunun vasiyeti. Üstelik bugün hâlâ yeni sırları açığa çıkıyor. Örneğin matematikçiler yakın zamanda bu tür polinomlara onu açmanın yolunu buldu. Acaba başka neler bulabiliriz? Bu size bağlı.