This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Ово можда изгледа као уредно слагање гомиле бројева, али то је у ствари математички ковчег са благом. Индијски математичари су га називали степеништем планине Меру. А у Ирану Кајамов троугао. У Кини Јанг Хуиев троугао. За већину западног света, познат је каo Паскалов троугао по француском математичару Блезу Паскалу, што је прилилично нефер, с обзиром да је он закаснио на журку, али је ипак доста допринео. О чему се овде ради, када је толико заинтригирало математичаре широм света? Укратко, препуно је правила и и тајни. Прво и најважније, постоји образац који га ствара. Почиње са јединицом и замишљеним нулама са обе стране. Сабирамо их по паровима, и добијамо следећи ред. Сада то поновите, и опет поновите. Наставите даље и завршићете са нечим као што изледа овако, а у ствари Паскалов троугао је бесконачан. Сада, сваки ред одговара такозваним биноним коефицијентима у развоју израза (x + y)^n, где n означава број реда, а почињемо бројање од нуле. Ако је n = 2 развијањем израза добијамо (x^2) + 2xy + (y^2). Коефицијенти, тј. бројеви испред промењивих, су исти као и бројеви у том реду у Паскаловом троуглу. Исто ће се догодити и за n = 3, где ћемо добити овакав израз. Троугао је брзи и лак начин да одредимо све ове коефицијенте. Али постоји много више. На пример, сабирањем бројева у сваком реду, добићете узастопне степене броја 2. Или у датом реду, посматрате сваки број као део декадног записа. Другим речима, други ред представља (1x1) + (2x10) + (1x100). Добијате 121, што је 11^2. Погледајте шта ће се догодити када урадите исто у шестом реду. Збир је 1 771 561, што је 11^6, и тако даље. Постоји и геометријска примена. Погледајте дијагоналу. Прва два нису претерано занимљива, јер су све јединице и позитивни бројеви, познати и као природни бројеви. Али бројеви на следећој дијагонали, називају се троугаони бројеви, јер ако узмете толико тачака, можете их сместити у једнакостраничан троугао. Следећа дијагонала, има тетраедалне бројеве, јер их на сличан начин, можете сместити у тетраедар. А шта мислите о овоме, осенчите све непарне бројеве. То не изгледа ништа посебно, када је мали троугао, али ако додате хиљаде редова, добићете фрактал, познатији као Троугао Серпинског. Овај троугао није само део математичке уметности. Такође је користан, поготово када је у питању вероватноћа и сложенији рачун у области комбинаторике. На пример, желите да имате петоро деце, и желите да знате са којом вероватноћом ћете имати вашу породицу из снова са три девојчице и два дечака. То је биномни израз, који одговара броју девојчица и дечака на пети степен. Погледајмо пети ред, где први број одговара случају када је пет девојчица, а последњи ако је пет дечака. Трећи број је онај који ми тражимо. Десет је сума свих могућих догађаја у реду. Дакле 10/32 је 31,25%. Или ако бирате насумично пет играча кошаркашког тима од 12 пријатеља, колико група од по петоро можете направити? У комбинаторици, овај проблем би се свео на то да од 12 бирамо 5, и може се израчунати помоћу ове формуле, или можете погледати само у шести члан 12. реда у троуглу и добићете одговор. Шаблони у Паскаловом троуглу су доказ елегантно испреплетене математичке тканина . А и данас откривамо нове тајне. На пример, математичари су недавно открили начин да га прошире на овакве полиноме. Шта бисмо могли још да откријемо? То зависи од вас.