This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Возможно, это выглядит, как куча аккуратно расположенных чисел, но на самом деле это драгоценный клад математики. Индийские математики называли это лестницей на гору Меру. В Иране это треугольник Хайяма. А в Китае это треугольник Ян Хуэя. Большей части западного мира это известно как треугольник Паскаля, в честь французского математика Блеза Паскаля, что кажется слегка несправедливым, так как он явно опоздал на «вечеринку», но он всё-таки внёс большой вклад. Так что же в этом такого, что так увлекало математиков по всему миру? Вкратце, в этом треугольнике скрыто множество закономерностей и секретов. Прежде всего, это тот принцип, по которому он получается. Начните с единицы и представьте невидимые нули по обе стороны от неё. Сложите числа попарно, и получите следующий ряд. Далее, делайте так снова и снова. Продолжайте эту операцию, и перед вами развернётся что-то вроде этого, хотя на самом деле треугольник Паскаля продолжается до бесконечности. Каждый ряд соответствует так называемым коэффициентам биномиального разложения, выражения вида (x+y)^n, где n — номер ряда, а нумерация их начинается с нуля. Так что, если мы примем n=2 и разложим данное выражение, то получим (x^2) + 2xy + (y^2). Коэффициенты, то есть числа, стоящие перед переменными, совпадают с числами во втором ряду треугольника Паскаля. То же самое можно увидеть при n=3, что даёт такое разложение. Итак, треугольник — это быстрый и лёгкий способ нахождения этих коэффициентов. Но это ещё не всё. Например, сложите все числа в каждом ряду, и вы получите последовательность степеней двойки. Или в каком-либо из рядов каждое число будем считать цифрой десятичного числа. Иначе говоря, второй ряд даёт (1 x 1) + (2 x 10) + (1 x 100), и мы получаем 121, что равно 11^2. Посмотрим, что произойдёт, если то же самое сделать с шестым рядом. Это даст 1 771 561, что равняется 11^6, и так далее. Есть и геометрические применения этого треугольника. Взгляните на диагонали. Первые две не очень интересны: только единицы, а потом целые положительные числа, известные также как натуральные числа. Но числа на следующей диагонали называются треугольными числами, так как если взять столько кружков, то из них можно построить равносторонние треугольники. На следующей диагонали располагаются тетраэдрические числа, так как, аналогично, из такого числа сфер можно сложить тетраэдры. А как насчёт такого: затеним все чётные числа — не так уж и много, когда треугольник мал, если же добавить тысячи рядов, то получим фрактал, известный как треугольник Серпинского. Этот треугольник — не просто математическое произведение искусства. Он ещё весьма полезен, особенно когда речь заходит о вероятностях и вычислениях в области комбинаторики. Скажем, вы хотите, чтобы у вас было пятеро детей, и желали бы узнать вероятность того, что у вас будет семья вашей мечты с тремя девочками и двумя мальчиками. В биномиальном разложении этому соответствует (девочка + мальчик) в пятой степени. Итак, мы смотрим на пятый ряд, в котором первое число соответствует пяти девочкам, а последнее — пяти мальчикам. Нам же нужно третье число. Десять из суммы всех вероятностей в этом ряду. В итоге получаем 10/32, то есть 31,25%. Или же, если вы случайно выбираете в баскетбольную команду пять игроков из группы двенадцати друзей, то сколько возможно различных групп пяти игроков? На языке комбинаторики эта задача формулировалась бы как 5 из 12 и могла бы решаться по такой формуле, или же можно просто посмотреть на 6-й элемент 12-го ряда в треугольнике и сразу получить ответ. Закономерности, имеющиеся в треугольнике Паскаля, свидетельствуют об изящном переплетении основ математики. И он по сей день продолжает открывать новые секреты. К примеру, недавно математики обнаружили, как его можно расширить для полиномов такого вида. Что ещё мы сможем открыть? Что ж, это зависит от вас.