This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Esta pode parecer uma pilha ordenada de números, mas, na verdade, é um valioso tesouro matemático. Os matemáticos indianos o chamavam de Escadaria do Monte Meru. No Irã, é o Triângulo Khayyam. E na China, é o Triângulo de Yang Hui. Em grande parte do mundo ocidental, é conhecido como Triângulo de Pascal devido ao matemático francês Blaise Pascal, o que parece um pouco injusto visto que cuidou deste assunto bem depois, mas ele ainda tinha muito no que contribuir. Então o que tem nisso que intrigou tanto os matemáticos no mundo inteiro? Em resumo, é cheio de padrões e segredos. Antes de mais nada, há o padrão que o gera. Comecem com um e imaginem zeros invisíveis de cada lado. Somem os números aos pares, e gere a próxima fileira. Então façam isso repetidas vezes. Continuem e acabarão com algo assim, embora o verdadeiro Triângulo de Pascal continue infinitamente. Cada fileira corresponde ao que é chamado de coeficientes de uma equação binomial da forma de (x+y) elevado a n, onde n é o número da linha, começando a contar a partir do zero. Se fizermos n=2 e a desenvolvermos, temos (x^2) + 2xy + (y^2). Os coeficientes, ou números que antecedem as variáveis, são os mesmos números daquela linha do triângulo. A mesma coisa vai acontecer para n=3, que se desenvolve assim. O triângulo é uma forma rápida e fácil para checar todos esses coeficientes. Porém há muito mais. Por exemplo, somem os números em cada fileira, e serão formadas potências de dois consecutivas. Ou em uma dada fileira, considere cada número como parte de uma expansão decimal. Em outras palavras, a linha dois é (1x1) + (2x10) + (1x100). Obtemos 121, que é 11 elevado a 2. E veja o que acontece quando fazemos a mesma coisa com a linha seis. Obtemos 1.771.561, que é 11 elevado a 6, e assim por diante. Também há aplicações geométricas. Olhem para as diagonais. As duas primeiras não são muito interessantes: todos uns, e depois inteiros positivos, também conhecidos como números naturais. Mas os números da diagonal seguinte são chamados de números triangulares porque se pegarmos todos esses números, podemos agrupá-los em triângulos equiláteros. A próxima diagonal é formada por números tetraédricos pois, analogamente, podemos agrupá-los em tetraedros. E o que acham disto? Ocultem todos os números ímpares. Não é grande coisa já que o triângulo é pequeno, mas se acrescentarmos milhares de linhas, obtemos um fractal, conhecido por Triângulo de Sierpinski. Esse triângulo não é apenas uma obra de arte matemática. Também é bastante útil, especialmente quando se trata de probabilidade e cálculos no domínio da análise combinatória. Digamos que queremos ter cinco filhos, e desejamos saber a probabilidade de ter a família dos sonhos com três meninas e dois meninos. Na expressão binomial, isso corresponde a (menina + menino) elevado a quinta potência. Portando, olhemos para a fileira cinco, onde o primeiro número corresponde a cinco meninas, e o último a cinco meninos. O terceiro número é o que estamos procurando. Dez do total da soma de todas as possibilidades na linha. Portanto 10 sobre 32, ou seja, 31,25%. Se, ao acaso, estivermos escolhendo times de basquete de cinco jogadores de um grupo de 20 amigos, quantos times de cinco é possível formar? Em análise combinatória, esse problema seria descrito como cinco escolhidos em doze, e poderia ser calculado com esta fórmula, ou poderíamos simplesmente olhar para o sexto elemento da linha 12 do triângulo, e obter a resposta. Os padrões no Triângulo de Pascal constituem uma evidência elegante do intrincado tecido da matemática. Até hoje ainda revela novos segredos. Por exemplo, os matemáticos recentemente descobriram uma forma de os expandirem para estes tipos de polinômios. O que podemos encontrar em seguida? Bem, isso é com vocês.