This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Isto pode parecer uma pilha de números bem arrumados, mas, na verdade, é um rico manancial matemático. Os matemáticos indianos chamavam-lhe a Escadaria do Monte Meru. No Irão, é o Triângulo Khayyám. E na China, é o Triângulo de Yang Hui. Para grande parte do mundo ocidental é conhecido como o Triângulo de Pascal, do matemático francês Blaise Pascal, o que parece bastante injusto porque, obviamente, ele foi o último embora ainda tenha contribuído muito. O que é que tem de especial, que tanto intrigou matemáticos do mundo inteiro? Em poucas palavras, está cheio de padrões e de segredos. Primeiro e acima de tudo, há o padrão que o gera. Comecem com um e imaginem um zero invisível de cada lado. Somem-nos aos pares, gerando a linha seguinte. Voltem a fazer o mesmo, uma e outra vez. Continuem e vão acabar com uma coisa assim, embora o Triângulo de Pascal continue até ao infinito. Cada linha corresponde ao que se chama os coeficientes de expansão binomial da forma (x+y) elevado a n, em que n é o número da linha, e começamos a contar a partir do zero. Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos, temos (x^2) + 2xy + (y^2). Os coeficientes, ou números em frente das variáveis, são os mesmos que os números nessa linha do Triângulo de Pascal. Veremos a mesma coisa com n=3, que expande assim. Portanto, o triângulo é uma forma rápida e fácil de encontrar esses coeficientes. Mas há muito mais ainda. Por exemplo, somem os números em cada linha, e obtêm sucessivas potências de dois. Numa dada linha, tratem cada número como uma parte duma expansão decimal. Por outras palavras, a linha dois é (1x1) + (2x10) + (1x100). Obtemos 121, que é 11 elevado a 2. Vejam o que acontece, quando fazemos o mesmo na linha seis. Obtemos 1 771 561, que é 11 elevado a 6, e assim sucessivamente. Também há aplicações geométricas. Olhem para as diagonais. As duas primeiras não são muito interessantes: a primeira é tudo uns, a segunda, os inteiros positivos, também conhecidos por números naturais. Mas os números na diagonal seguinte, chamam-se os números triangulares porque, se agarrarmos nesses números, podemos empilhar os círculos em triângulos equiláteros. A diagonal seguinte tem os números tetraédricos porque, do mesmo modo, podemos empilhar as esferas em tetraedros. E agora isto: tapem todos os números ímpares. Não se vê grande coisa quando o triângulo é pequeno, mas se acrescentarmos milhares de linhas, obtemos um fractal, conhecido por Triângulo de Sierpinski. Este triângulo não é apenas uma obra de arte matemática. Também é muito útil, em especial no que se refere a probabilidades e cálculos no domínio da combinatória. Digamos que queremos ter cinco filhos, e gostaríamos de saber a probabilidade de ter uma família de sonho de três raparigas e dois rapazes. Na expansão binomial, isso corresponde a (rapariga mais rapaz) elevado à quinta potência. Portanto, olhemos para a linha cinco, em que o primeiro termo corresponde a cinco raparigas, e o último corresponde a cinco rapazes. O terceiro termo é aquele de que andamos à procura. A parcela 10, na soma de todas as possibilidades na linha. Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%. Se, ao acaso, escolhermos uma equipa de basquetebol de cinco jogadores num grupo de doze colegas, quantos grupos possíveis de cinco existem? Em termos combinatórios, este problema seria descrito como "cinco escolhidos em doze" e podia ser calculado com esta fórmula. Ou podíamos olhar para o sexto elemento da linha doze do triângulo e obter a resposta. Os padrões no Triângulo de Pascal são um testemunho do elegante tecido entretecido da matemática. E ainda continuam a revelar novos segredos, hoje em dia. Por exemplo, os matemáticos descobriram há pouco uma forma de o expandirem até este tipo de polinomiais. O que mais descobriremos a seguir? Bem, isso agora é convosco.