This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Może to i wygląda na ładnie poukładany stos cyferek, ale dla matematyka to stos skarbów. Matematycy indyjscy zwali go "schodami na górę Meru". Irańscy "trójkątem Chajjama". W Chinach użyczył mu imienia Yang Hui. Świat zachodni zna go jako trójkąt Pascala, od nazwiska francuskiego matematyka Błażeja Pascala, co wydaje się ciut nieuczciwe, skoro Pascal żył dużo później, niż tamci. Sporo za to odkrył. Co takiego fascynuje w trójkącie matematyków na całym świecie? Pełno w nim wzorów i tajemnic. Po pierwsze - wzór, który go wytwarza. Zacznij od jedynki z zerami po obu stronach. Dodaj cyfry parami - powstanie drugi rząd. Powtórz tę operację. I jeszcze raz. Po kilku powtórzeniach otrzymasz coś takiego, chociaż w zasadzie trójkąt Pascala ciągnie się w nieskończoność. Każdy jego rząd zawiera tak zwane współczynniki dwumianu Newtona czyli (x+y)^n, gdzie n to numer rzędu, liczony od zera. Więc jeśli weźmiemy n = 2 i rozpiszemy wzór, wyjdzie (x^2) + 2xy + (y^2). Współczynniki, czyli liczby przy zmiennych, odpowiadają liczbom w n-tym rzędzie trójkąta Pascala. Przy n =3 wzór rozwija się tak. Dzięki trójkątowi można łatwo i szybko sprawdzić współczynniki. Ale to dopiero początek. Spróbuj na przykład zsumować liczby w jednym rzędzie, a otrzymasz odpowiednią potęgę dwójki. Albo potraktuj każdą liczbę jako cyfrę w rozwinięciu dziesiętnym. Czyli w drugim rzędzie: (1x1) + (2x10) + (1x100). To wynosi 121, czyli 11^2. Spójrz, co będzie, kiedy zrobisz to samo z rzędem szóstym. Po przeliczeniu wychodzi 1,771,561, tj. 11^6, i tak dalej. Są też zastosowania w geometrii. Spójrz na rzędy po bokach. Dwa pierwsze są nieciekawe: jedynki, potem całkowite liczby dodatnie, czyli liczby naturalne. Ale następny rząd zawiera liczby trójkątne: kiedy weźmiesz tyle kropek, możesz je ułożyć w trójkąt równoboczny. W następnym rzędzie są liczby piramidalne, czyli ilość kul, z których można ułożyć czworościan. Teraz zaciemnij wszystkie liczby nieparzyste. Na małym trójkącie nie wygląda to ciekawie, ale kiedy wypełnisz tysiące rzędów, zobaczysz fraktal - trójkąt Sierpińskiego. Trójkąt jest nie tylko matematycznym dziełem sztuki, ale też użytecznym narzędziem szczególnie przy obliczeniach prawdopodobieństwa i tych, które należą do dziedziny kombinatoryki. Powiedzmy, że chcesz mieć pięcioro dzieci i ciekawi cię prawdopodobieństwo wymarzonego układu trzech dziewczynek i dwóch chłopców. Możesz to przedstawić dwumianem: (dziewczynka + chłopiec) ^5. A więc spójrzmy na rząd piąty, którego pierwsza liczba odpowiada pięciu dziewczynkom, a ostatnia - pięciu chłopcom. Trzecia liczba to ta, której szukamy. Dziesięć szans spośród wszystkich w rzędzie, to znaczy 10/32, czyli 31,25%. A może losowo wybierasz pięć osób do gry w koszykówkę spośród dwanaściorga kolegów i chcesz wiedzieć, ile można utworzyć grup po pięć osób? W kombinatoryce nazywa się to 5-elementową kombinacją ze zbioru 12-elementowego, i oblicza tym oto wzorem, ale równie dobrze można wziąć szósty element z dwunastego rzędu trójkąta i gotowe. Wzory w trójkącie Pascala świadczą o elegancji, z jaką splatają się wątki w tkaninie matematyki. Po dziś dzień odkrywamy jego tajemnice. Całkiem niedawno matematycy odkryli, jak rozszerzyć zastosowanie trójkąta na takie wielomiany. Co jeszcze odkryjemy? To już twoje zadanie.