This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
これは整然と並んだ数字の山にしか 見えないかもしれませんが 実は 数学の至宝なのです インドの数学者はこれを 須弥山の階段 イランでは ハイヤームの三角形 中国では 楊輝の三角と呼んでいました 西洋では フランスの数学者 ブレーズ・パスカルにちなみ パスカルの三角形として知られています 後からこの輪に加わったのに名前がついて ちょっとずるい気もしますが でも パスカルは それだけの貢献をしています ではなぜ そんなにも数学者たちを 魅了してきたのでしょうか? それは パターンと 秘密の宝庫だからです まず何と言っても 生成パターンがあります まず1とその両側を囲む 目には見えない0から始めます その2つを足して 次の行を生成します そして これを繰り返していきます さらに続けていけば このように― パスカルの三角形は無限に続きます この各行は(x+y)^nという形で表される 二項展開の係数に対応しています ここで n は列の数を表し 0から数え始めます n=2で展開すると (x^2) + 2xy + (y^2)となります 係数 つまり変数の前にある数は パスカルの三角形のその列の数字と 同じになっています n=3 も同様で このように展開します このように全ての係数を探すのに この三角形は手軽な方法です しかし これだけではありません 例えば 各行の数字を足していくと 次々に 2の累乗が得られます 任意の行で 各数字を 十進法展開にあてはめてみると 例えば 2行目の場合 (1x1) + (2x10) + (1x100)で これは121ですから 11の二乗です 6行目で同じことを行うと 合計は1,771,561で これは 11^6です 幾何学的な応用もあります この対角線を見てみましょう 最初の2列は 単なる1の羅列ですが 次は正の整数で 自然数としても知られています しかし 次の対角線の数は 三角数と呼ばれています それは 点をいくつも積み上げていくと この数の正三角形の形に 積み上げられるからです 次の対角線は正四面体数と呼ばれています 先程と同じように 正四面体に積み重なるからです 今度は奇数に影を 付けていったらどうでしょうか 三角形が小さい時は 大したことはありませんが 何千もの列になってくると シェルピンスキーの三角形という フラクタルが得られます この三角形は 数学の賜物であるだけでなく なかでも とりわけ 確率や組み合わせの領域の計算では 大変便利なものです 例えば あなたが子供を 5人欲しいと思ったとして 理想の家族である 女の子3人と男の子2人になる 確率を知りたいと思ったとしましょう 2項展開で表すと 女の子+男の子の五乗です では 5列目を見てみましょう 最初の数字は女の子5人 最後の数字は男の子が5人の場合です 3番目の数字を求めます すべての可能性の内10ですから 10/32 つまり 31.25% です または 無作為に12人の友人の中から 5人をバスケットボールの選手に 選ぶとしましょう 5人のグループは 幾通り考えられるでしょうか? 組み合わせでは 12 C 5 この方程式を使って計算するか 三角形の12列目の 6つ目の要素を見ればいいのです すると 答えが出ます パスカルの三角形のパターンは 数学の織りなす美しさの証なのです そして 今なお 新たな秘密が途切れることはありません 例えば 最近では こういった種類の多項式の 展開方法が発見されました この次は何が見つかるのでしょうか? それは あなた次第です