This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Questa potrebbe sembrare una pila ordinata di numeri, ma in realtà è un vero tesoro matematico. I matematici indiani la chiamano la Scalinata del Monte Meru. In Iran è il Triangolo di Khayyam. E in Cina è il Triangolo di Yang Hui. In gran parte dell'occidente è noto come Triangolo di Pascal dal nome del matematico francese Blaise Pascal. Ad essere sinceri Pascal è arrivato in ritardo rispetto agli altri, ma ha comunque contribuito molto. Ma cos'è che ha affascinato così tanto i matematici di tutto il mondo? Per farla breve, è zeppo di schemi e segreti. Innanzitutto si costruisce con un algoritmo. Inizia con un uno, e accanto a esso immagina due zeri invisibili. Somma i numeri a coppie per generare la riga dopo. Ora rifai la stessa cosa più volte. Continua così e troverai qualcosa di simile, ma in realtà il Triangolo di Pascal va avanti all'infinito. In ogni riga ci sono i cosiddetti coefficienti di un'espansione binomiale della forma (x+y)^n, dove n è il numero della riga, e contiamo le righe a partire da zero. Quindi se scegli n=2 ottieni l'espansione: (x^2) + 2xy + (y^2). I coefficienti, cioè i numeri che vedi davanti alle variabili, sono i numeri nella riga corrispondente del Triangolo di Pascal. La stessa cosa è vera per n=3, che si espande così. Il Triangolo è un modo semplice e rapido per scoprire tutti questi coefficienti. Ma c'è di più. Ad esempio, sommando i numeri di ogni riga ottieni una dopo l'altra le potenze di 2. Oppure tratta i numeri di una riga come parte di un'espansione decimale. Praticamente, la riga numero due diventa: (1x1) + (2x10) + (1x100). Ottieni 121, che è proprio 11^2. E guarda che succede se fai lo stesso con la riga numero sei: ottieni 1 771 561, cioè 11^6, e così via. Ci sono anche applicazioni nel campo della geometria. Guarda le diagonali. Le prime due non sono interessanti: tutti uno, e poi gli interi positivi, noti anche come numeri naturali. Ma i numeri della diagonale successiva si chiamano numeri triangolari perché se prendi questo numero di punti puoi disporli a formare un triangolo equilatero. La diagonale successiva contiene i numeri tetraedrici perché con questo numero di sfere si può costruire un tetraedro. E ancora: prova ad annerire tutti i numeri dispari. Non succede nulla di interessante se il triangolo è piccolo, ma se aggiungi migliaia di righe, ottieni un frattale chiamato Triangolo di Sierpiński. Questo triangolo non solo è un capolavoro matematico. È anche piuttosto utile, soprattutto nel calcolo delle probabilità e nel calcolo combinatorio in generale. Mettiamo che tu voglia cinque figli, e voglia sapere quanto è probabile realizzare la famiglia dei tuoi sogni con tre femmine e due maschi. In termini di espansione binomiale ciò corrisponde a femmine più maschi alla quinta. Quindi guardiamo la riga cinque, in cui il primo numero corrisponde a 5 femmine, e l'ultimo numero a cinque maschi. Il terzo numero è quello che ci interessa. Quindi dieci, sul totale di tutte le possibilità della riga, cioè 10/32, ossia il 31,25%. O, volendo una squadra di pallacanestro composta scegliendo a caso 5 giocatori da un gruppo di 12 amici, quanti sono i possibili gruppi da cinque? Nel calcolo combinatorio questo problema si esprime come dodici sopra cinque, e si può calcolare con questa formula, oppure basta guardare il sesto elemento della dodicesima riga del triangolo per ottenere la risposta. Le proprietà del Triangolo di Pascal dimostrano quanto la matematica sia elegantemente interconnessa. E ancora oggi il triangolo rivela segreti sempre nuovi. Ad esempio, i matematici hanno da poco scoperto come estenderlo ai polinomi di questo tipo. Chissà cosa scopriremo ancora? Beh, questo dipende da te.