This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Ini mungkin tampak seperti tumpukan bilangan yang rapi, tetapi nyatanya ini adalah tumpukan harta karun matematika. Matematikawan India menyebutnya Tangga Gunung Meru. Di Iran, ia disebut Segitiga Khayyam. Adapun di Cina, ini dikenal sebagai Segitiga Yang Hui. Di kebanyakan negara Barat, ia dikenal sebagai Segitiga Pascal, yang dinamai mengikuti matematikawan Perancis, Blaise Pascal, yang agak tidak adil, sebab ia jelas datang belakangan, tetapi ia tetap memiliki peran besar. Lalu apa sebenarnya yang membuat banyak matematikawan dunia tertarik akan segitiga Pascal ini? Singkatnya, segitiga ini dipenuhi pola dan rahasia. Pertama dan yang paling utama, ada suatu pola yang membentuknya. Mulai dengan ‘satu’ dan bayangkan ada ‘nol’ tak terlihat di kedua sisinya. Jumlahkan semua dua angka yang berdekatan untuk menghasilkan baris selanjutnya. Lalu, ulangi langkah ini terus-menerus. Teruskan sampai kamu mendapatkan bentuk seperti ini, meski sebenarnya Segitiga Pascal tak berhingga. Nah, tiap baris mewakili koefisien-koefisien dari ekspansi binomial bebentuk (x+y)^n, dimana n adalah jumlah baris, dan kita mulai menghitung dari nol. Sehingga, jika kamu mengambil n=2 lalu menguraikannya, akan menjadi (x^2) + 2xy + (y^2). Koefisien, atau bilangan di depan variabel, sama dengan bilangan di baris yang bersesuaian dalam Segitiga Pascal. Begitu pun dengan n=3, yang persamaannya seperti ini. Segitiga ini adalah cara cepat dan mudah untuk mencari semua koefisien tersebut. Namun, ada lebih dari itu. Misalnya, jumlahkan semua bilangan di masing-masing baris, maka akan kamu temukan urutan hasil perpangkatan dari ‘dua’. Atau pada baris tertentu, uraikan tiap bilangan sesuai nilai tempatnya. Dengan kata lain, baris kedua adalah (1x1) + (2x10) + (1x100). Hasilnya 121, yang merupakan 11^2. Lalu, amati apa yang terjadi jika hal yang sama dilakukan pada baris ke-6. Hasilnya adalah 1.771.561, yang merupakan 11^6, dan seterusnya. Terdapat pula unsur geometri di dalamnya. Amati semua diagonalnya. Dua diagonal pertama tidak begitu menarik, barisan satu dan bilangan bulat positif, yang juga disebut bilangan asli. Tetapi, bilangan di diagonal berikutnya disebut bilangan segitiga, karena jika ada titik sebanyak itu, kamu bisa menyusunnya menjadi segitiga sama sisi. Diagonal berikutnya terdiri atas bilangan tetrahedral, sebab kamu juga dapat menyusun titik sebanyak itu menjadi tetrahedral. Atau ini: arsir semua bilangan ganjil. Tidak tampak begitu jelas jika segitiganya kecil, tetapi jika kamu menambahkan ribuan baris, maka akan terbentuk sebuah bidang yang bernama Segitiga Sierpinski. Segitiga ini bukan hanya sebuah karya seni matematika. Ia juga cukup berguna, khususnya terkait peluang dan perhitungan dalam bidang kombinatorik. Misalkan kamu ingin memiliki lima anak, dan ingin mengetahui peluang memiliki keluarga impian dengan tiga putri dan dua putra. Dalam ekspansi binomial, itu berarti ‘putri’ tambah ‘putra’ pangkat lima. Kita amati baris kelima, dimana bilangan pertama ewakili lima putri, dan bilangan terakhir berarti lima putra. Bilangan ketigalah yang kita cari. 10 bagi jumlah semua kemungkinan pada baris tersebut. sehingga 10/32, atau 31.25%. Atau, jika kamu memilih secara acak sebuah tim basket berisi lima orang pemain dari 12 orang, berapa kelompok berisi lima orang yang dapat dibentuk? Dalam istilah kombinatorik, masalah ini dinyatakan sebagai ‘pilih 5 dari 12’, yang dapat dihitung dengan rumus ini, atau kamu bisa langsung melihat unsur ke-6 pada baris ke-12 untuk memperoleh jawabannya. Berbagai pola dalam Segitiga Pascal adalah tanda bahwa kerangka matematika terjalin dengan anggun. Ia juga tetap mengungkapkan berbagai rahasia baru sampai sekarang. Misalnya, matematkawan baru saja menemukan cara untuk menguraikannya menjadi polinomial seperti ini. Apa yang bisa ditemukan selanjutnya? Nah, itu terserah kamu.