This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
זה אולי נראה כמו ערמה מסודרת היטב של מספרים, אבל זו למעשה תיבת אוצר מתמטית. המתמטיקאים ההודים קראו לזה המדרגות להר מרו. באירן, זה נקרא משולש קיהיים. ובסין, זה משולש יאנג הוי. לרבים מהעולם המערבי הוא ידוע כמשולש פסקל על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל, מה שנראה לא הוגן מאחר שהוא בהחלט איחר למסיבה, אבל עדיין היה לו הרבה לתרום. אז מה בנוגע לזה כל כך עניין את העולם המתמטי? בקיצור, הוא מלא בתבניות וסודות. ראשית, יש תבנית שמייצרת אותו. התחילו עם אחד ודמיינו אפסים בלתי נראים בכל צד שלו. חברו אותם בזוגות, ותייצרו את השורה הבאה. עכשיו, תעשו את זה שוב ושוב. המשיכו ותקבלו משהו כזה, למרות שמשולש פסקל באמת ממשיך עד אינסוף. עכשיו, כל שורה מתייחסת למה שנקרא מקדם ההרחבה הבינומיאלי מהצורה (x+y)^ח, בה n הוא מספר השורות, ואנחנו מתחילים לספור מאפס. אז אם אתם עושים n=2 ומרחיבים את זה, אתם מקבלים (x^2) + 2xy + (y^2). המקדמים, או מספרים לפני המשתנים, הם זהים למספרים בשורה הזו של משולש פסקל. אתם תראו את אותו הדבר עם n=3, שמתרחב לזה. אז המשולש הוא דרך קלה ומהירה לחפש את כל המקדמים האלה. אבל יש הרבה יותר. לדוגמה, חברו את המספרים בכל שורה, ויהיו לכם חזקות עוקבות של שתיים. או בשורה נתונה, התייחסו לכל מספר כחלק מהרחבה דצימלית, במילים אחרות, שורה שתיים היא (1x1) + (2x10) + (1x100). אתם מקבלים 121, שזה 2^11. והביטו במה שקורה כשאתם עושים את אותו הדבר לשורה השישית. היא מתחברת ל 1,771,561, שזה 6^11, וכך הלאה. יש גם אפליקציות גאומטריות. הביטו באלכסון. השניים הראשונים לא מאוד מעניינים: הכל אחדים, ואז מספרים שלמים חיוביים, שידועים גם כמספרים טבעיים. אבל המספרים באלכסון הבא נקראים המספרים המשולשים מפני שאם אתם לוקחים כמות כזו של נקודות, אתם יכולים לערום אותן למשולשים שווי צלעות. לאלכסון הבא יש מספרים טטרהדרליים מפני שבדומה, אתם יכולים לערום מספר כזה של ספירות בטטרהדר. או מה בנוגע לזה: כסו את כל המספרים האי זוגיים. זה לא נראה משהו כשהמשולש קטן, אבל אם תוסיפו אלפי שורות, אתם מקבלים פרקטל שידוע כמשולש סירפינסקי. המשולש הזה הוא לא רק אמנות מתמטית. הוא גם מאוד יעיל, בעיקר כשזה מגיע להסתברות וחישובים בתחום של קומבינטוריקה. נגיד שאתם רוצים חמישה ילדים, והייתם רוצים לדעת את ההסתברות שתהיה לכם משפחת חלום של שלוש בנות ושני בנים. בהרחבה בינומיאלית, שמשייכת לבן ועוד בת בחזקה החמישית. אז אנחנו מביטים בשורה החמישית, שם המספר הראשון משתייך לחמש בנות, והאחרון לחמישה בנים. המספר השלישי הוא מה שאנחנו מחפשים. עשר מתוך הסכום של כל ההסתברויות בשורה. אז 10/32, או 31.25%. או, אם אתם בוחרים באקראיות קבוצת כדורסל של חמישה שחקנים מתוך קבוצה של שנים עשר חברים, כמה קבוצות אפשריות של חמש יש שם? במונחים קומבינטוריים, הבעיה הזו תנוסח כשתיים עשר בחירת חמש, ויכולים להיות מחושבים עם נוסחה, או שתוכלו פשוט להביט באלמנט השישי של שורה שתיים עשר במשולש ולקבל את התשובה. התבניות של משולש פסקל הן עדות לאלגנטיות שארוגה במארג של המתמטיקה. והוא עדיין מגלה סודות חדשים עד היום. לדוגמה, מתמטיקאים לאחרונה גילו דרך להרחיב אותו לסוגים אלה של פולינומיאלים. מה אולי נמצא בהמשך? ובכן, זה תלוי בכם.