This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Isto pode parecer un amoreamento de números ben ordenados, pero en realidade é unha mina matemática. Os matemáticos indios chamábanlle Escaleira do Monte Meru. En Irán, é o triángulo de Khayyam. E na China é o triángulo de Yang Hui. En boa parte do mundo occidental é coñecido como o triángulo de Pascal, polo matemático francés Blaise Pascal, o que parece algo inxusto pois non foi dos primeiros en abordalo, con todo, fixo grandes contribucións. Que é o que ten para intrigar a matemáticos do mundo enteiro? Resumindo, está cheo de padróns e segredos. En primeiro lugar, está o padrón que o xera. Comeza cun 1 e imaxina ceros invisibles a cada lado. Súmaos de dous en dous, para xerar a seguinte fila. Agora, faino unha e outra vez. Continúa e acabarás con algo así, aínda que o triángulo de Pascal continúe indefinidamente. En cada fila temos os coeficientes do desenvolvemento do binomio (x+y) elevado a n, onde n é o número da fila, se comenzamos a contar a partir do cero. Polo que se n=2 e desenvolvemos, obtemos (x^2)+2xy+(y^2). Os coeficientes, ou números que preceden ás variables, son os mesmos que os números da fila do triángulo de Pascal. Veremos o mesmo con n=3, que se desenvolve así. O triángulo é unha forma rápida e sinxela de obter todos eses coeficientes. Pero hai moito máis. Por exemplo, sumando os enteiros en cada fila, obteremos as sucesivas potencias de dous. Ou nunha fila dada considera cada número como parte dun desenvolvemento decimal. Noutras palabras, a liña dous é (1x1) + (2x10) + (1x100). Obtemos 121, que é 11^2. Mira o que pasa cando fas o mesmo na liña seis. Obteremos 1.771.561, que é 11 elevado a 6, e así sucesivamente. Tamén hai aplicacións xeométricas. Observa as diagonais. As dúas primeiras non son moi interesantes: a primeira só ten uns, a segunda, os enteiros positivos, tamén coñecidos como números naturais. Mais os números da diagonal seguinte son os chamados números triangulares porque, se collemos todos eses puntos, podemos amorealos en triángulos equiláteros. A seguinte diagonal ten os números tetraédricos porque, do mesmo xeito, podemos amorear as esferas en tetraedros. E que che parece isto? Marcamos todos os números impares. Non parece gran cousa cando o triángulo é pequeno, porén se ampliamos miles de filas, obtemos un fractal, coñecido como triángulo de Sierpinski. Ese triángulo non é só unha obra de arte matemática. Tamén é moi útil, especialmente cando falamos de probabilidade e cálculos no ámbito da combinatoria. Digamos que queremos ter cinco fillos, e desexamos saber a probabilidade de termos unha familia con tres nenas e dous nenos. No desenvolvemento binomial, iso corresponde a (nena máis neno) elevado á quinta potencia. Velaí que se miramos para a fila 5 o primeiro número corresponde a 5 nenas, e o último corresponde a 5 nenos. O terceiro número é o que estamos a buscar. Son 10 de entre todas as posibilidades da fila. Así que 10/32, ou o 31,25%. Ou se estás escollendo ao chou un equipo de baloncesto de 5 xogadores dun grupo de 12 amigos, cantos grupos posibles de 5 podes formar? En termos combinatorios este problema enunciaríase como "5 sobre 12", e calcularíase con esta fórmula, ou senón procurariamos o sexto elemento da fila 12 do triángulo, obtendo así a resposta. Os padróns no Triángulo de Pascal son un testemuño elegante entretecido que forman as matemáticas. E aínda continúan a revelar novos segredos hoxe en día. Por exemplo, os matemáticos descubriron hai pouco unha forma de desenvolvelo a esta clase de polinomios. Que máis atoparemos no futuro? Ben, iso depende de ti.