This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Cela peut ressembler à un empilement de nombres bien rangés, mais c'est en fait un trésor mathématique. Les mathématiciens indiens l'appelaient « l'escalier du mont Meru ». En Iran, il est appelé « Triangle de Khayyam ». Et en Chine, il s'appelle « Triangle de Yang Hui ». Pour une grande partie du monde occidental, il est connu sous le nom de « Triangle de Pascal », d'après le mathématicien français Blaise Pascal, ce qui semble un peu injuste car il est clairement arrivé après la bataille, même s'il avait encore beaucoup à apporter. Alors, qu'est-ce qui a tant intrigué les mathématiciens du monde entier ? En bref, il regorge de motifs et de secrets. Tout d'abord, il y a le modèle qui le génère. Commencez avec un un et imaginez-le encadré de zéros. Additionnez les chiffres par paires et vous obtenez la ligne suivante. Maintenant, recommencez encore et encore. Continuez ainsi et vous aboutirez à quelque chose comme ça, bien que le triangle de Pascal se poursuive à l'infini. Chaque ligne correspond à ce qu'on appelle les coefficients du développement binomial de la forme (x+y)^n où n représente le rang de la ligne, en commençant par 0 pour la première ligne. Et donc, pour n= 2, en développant on obtient : (x^2) + 2xy + (y^2) Les coefficients, ou nombres devant les variables, sont les mêmes que les nombres de la ligne correspondante du triangle de Pascal. Vous pouvez voir la même chose pour n=3 qui se développe ainsi. Ainsi ce triangle est un moyen simple et rapide de retrouver tous ces coefficients. Mais il y a beaucoup plus. Par exemple, en additionnant les nombres de chaque ligne vous obtenez les puissances successives de 2. Ou, pour une ligne donnée, traitez chaque nombre comme une décomposition décimale, en d'autres termes, la deuxième ligne égale (1x1) + (2x10) + (1x100). Vous obtenez 121, soit 11^2. De la même manière, voyez ce qui se passe avec la sixième ligne. La décomposition donne 1 771 561, soit 11^6 et ainsi de suite. Il y a aussi des applications géométriques. Prenez les diagonales. Les deux premières ne sont pas très intéressantes : une suite de uns, puis les nombres entiers positifs appelés entiers naturels. Mais dans la diagonale suivante, les nombres sont appelés nombres triangulaires parce qu’en prenant ce nombre de points, vous pouvez les empiler en formant des triangles équilatéraux. La diagonale suivante contient les nombres tétraédriques parce que vous pouvez également empiler ce même nombre de billes dans un tétraèdre. Ou encore ceci : grisez tous les nombres impairs. Ça ne ressemble à rien quand le triangle est petit, mais en considérant des milliers de lignes vous obtenez une fractale connue sous le nom de « Triangle de Sierpinski ». Ce triangle n'est pas seulement une œuvre d'art mathématique. Il est aussi très utile dans les calculs et les probabilités dans le domaine de la combinatoire. Disons que vous voulez avoir 5 enfants, et que vous voulez connaître la probabilité d'avoir votre famille rêvée de 3 filles et 2 garçons. Dans le développement du binôme, cela correspond à fille plus garçon le tout à la puissance 5. Regardons la cinquième ligne, ou le premier nombre correspond à 5 filles, et le dernier à 5 garçons. Le troisième correspond à ce que nous cherchons. 10 sur la totalité des possibilités de la ligne. Donc 10 sur 32, soit 31,5 %. Ou, si vous tirez au sort 5 joueurs de basket pour former une équipe parmi un groupe de 12 amis, combien d'équipes différentes pouvez-vous former ? En combinatoire, ce problème s’énonce comme un tirage de 5 parmi 12, et pourrait être calculé avec cette formule, ou vous pouvez simplement regarder le 6eme élément de la 12eme ligne du triangle pour avoir votre réponse. Les motifs contenus dans le triangle de Pascal témoignent de l'élégance du tissu des mathématiques. Des secrets sont encore révélés de nos jours. Par exemple, des mathématiciens ont découvert récemment comment l'étendre à ce genre de polynômes. Qu'est-ce qui viendra ensuite ? Eh bien, ça dépend de vous !