This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
این ممکن است تنها تعدادی از اعداد مرتب پشت سرهم باشد، اما عملاً گنجینه ای در ریاضی محسوب می شوند. ریاضی دانان هندی آن را «پلکان کوه مِرو» می نامند. در ایران «مثلث خیام» نام دارد. در چین، به مثلث «یانگ هُوی» معروف است. در دنیای غرب البته، بیشتر به مثلث پاسکال معروف است به نام ریاضی دان فرانسوی «بلیز پاسکال» که به نظر غیر عادلانه است چرا که در میان تمام نام ها او آخرین هست. با این وجود خدمات زیادی به بشریت کرده است. خب چه چیزی راجع به این موضوع جالب است که ریاضیدانان را به وجد می آورد؟ به طور خلاصه، این پر از الگوها و رازهاست. اولین و مهمترین آن، الگویی است که آن را می سازد. با یک شروع کنید و صفرهای نامرئی را در هر طرف از آن تصور کنید. جفت جفت آن ها را باهم جمع کنید، خط دوم ساخته خواهد شد. حال دوباره و دوباره این کار را بکنید. ادامه دهید تا به چیزی مثل این برسید، البته مثلث پاسکال تا بینهایت ادامه می یابد. حال، هر سطر معادل ضرایب بسط دو جمله ای می باشد که باز شده عبارت زیر است: (x+y) به توان n که عدد n شماره سطر است، و ما از صفر شروع می کنیم. خوب اگر n برابر با ۲ باشد، و آن را بسط دهیم، به x^2+2xy+y^2 می رسیم. این ضرایب، یا اعداد کنار متغیرها، همان اعداد سطرهای مثلث پاسکال هستند. شما مورد مشابهی را برای n=۳ خواهید دید. پس این مثلث روشی سریع و ساده برای یافتن این ضرایب است. اما چیزهای بیشتری نیز هست. برای مثال، اعداد در هر سطر را جمع کنید، و شما به توان های متوالی ۲ می رسید. یا در هر سطر مشخص، هر عدد را به عنوان بسط ده دهی ببینید. به عبارت دیگر، سطر دوم عبارتست از: (۱x۱)+(۲x۱۰)+(۱x۱۰۰) شما به ۱۲۱ می رسید، که همان مربع ۱۱ است. و ببینید چه اتفاقی می افتد وقتی به سطر ششم می رسید. مقدار آن به ۱٫۷۷۱٫۵۶۱ می رسد که همان ۱۱ به توان ۶ است، و ادامه دارد. کاربردهای هندسی نیز وجود دارد. به این قطرها نگاه کنید. دوتای اول خیلی جالب نیستند: هردو یک هستند، و سپس اعداد مثبت می آیند. که به اعداد طبیعی معروف هستند. ولی اعداد در قطر بعدی را اعداد مثلثی می نامند چرا که اگر آن ها نقطه لحاظ کنی، می توانید آن را به عنوان مثلث متساوی الاضلاع ببینید. قطر بعدی اعدادی چهاروجهی هستند. چرا که به طور مشابه، شما می توانید کره های زیادی را درون چهار وجهی جای دهید. یا درباره این مطلب: تمامی اعداد فرد را بپوشانید. وقتی مثلث کوچک است، خیلی زیاد به نظر نمی رسد اما اگر هزاران سطر را باهم جمع کنید، شما به الگوهای همسانی به نام «مثلث سیرپینسکی» می رسید. این مثلث فقط نتیجه هنر ریاضیاتی نیست. بسیار پرکاربرد است، به خصوص وقتی بحث محاسبات و احتمالات در حوزه ترکیبیات پیش می آید. فرض کنید می خواهید پنج بچه داشته باشید، می خواهم احتمال این را بدانم که خانواده رویایی شما با سه دختر و دو پسر چگونه است. این همان بسط دو جمله ای است، که مرتبط با مجموع پسر و دختر به توان پنج است. خب، نگاهی به سطر پنج می اندازیم، که عدد اول مرتبط با پنج دختر است، و عدد آخر مرتبط با پنج پسر است. عدد سوم چیزی است که دنبال آن هستیم. ۱۰ تا از تمام حالات ممکن در این سطر. که حاصل آن ۱۰/۳۲ یا ۳۱/۲۵٪ می شود. یا اگر شما به طور تصادفی تیم پنج نفره از بسکتبال را از میان ۱۲ نفر انتخاب کنید، چند گروه پنج نفره در آنجا خواهد بود؟ در زبان ترکیبیاتی، این مسأله همان انتخاب ۵ از ۱۲ است، و با این فرمول محاسبه می شود، یا شما کافی است که به عدد ششم از سطر ۱۲ مثلث نگاه کنید و جواب را بیابید. الگوها در مثلث پاسکال همان اصول موجود در تار و پود ریاضی هستند. و هنوز اسرار تازه ای از این کشف می شوند. برای مثال، ریاضی دانان به تازگی روشی برای بسطِ این چند جمله ها کشف کردند. ممکن است چه چیزی را بعداً بیابید؟ خب، این به عهده شماست.