This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.
Esto puede parecer una pila de números bien ordenados, pero en realidad es un tesoro matemático. Los matemáticos indios la llamaron escalera del Monte Meru. En Irán, es el triángulo de Khayyam. Y en China, es el triángulo de Yang Hui. Para gran parte del mundo occidental, se le conoce como el triángulo de Pascal por el matemático francés Blaise Pascal, lo que parece algo injusto ya que él llegó claramente tarde a la fiesta, pero todavía tenía mucho que aportar. ¿Qué es lo que tiene que ha intrigado a los matemáticos de todo el mundo? En resumen, está lleno de patrones y secretos. En primer lugar, está el patrón que lo genera. Comienza con 1 e imagina 0 invisibles a cada lado del mismo. Suma los pares, para generar la siguiente fila. Ahora, haz esto una y otra vez. Sigue adelante y terminarás con algo como esto, aunque en realidad el triángulo de Pascal continúa infinitamente. Cada fila corresponde a lo que se llama los coeficientes de un desarrollo binomial de la forma (x + y) ^ n, donde n es el número de la fila, empezando a contar desde cero. Así que si haces a n = 2 y lo expandes, te da (x ^ 2) + 2xy + (y ^ 2). Los coeficientes o números delante de las variables, son los mismos que los números en la fila del Triángulo de Pascal. Verás lo mismo con n = 3, que se expande a esto. El triángulo es una manera rápida y fácil de consultar todos estos coeficientes. Pero hay mucho más. Por ejemplo, suma los números en cada fila, y obtendrás sucesivas potencias de 2. O en una fila trata cada número como parte de una expansión decimal. En otras palabras, la fila dos es (1x1) + (2x10) + (1x100). Obtendrás 121, que es 11 ^ 2. Y echa un vistazo a lo que sucede cuando haces lo mismo a la fila 6. Suma 1.771.561, que es 11 ^ 6, y así sucesivamente. También hay aplicaciones geométricas. Mira las diagonales. Las dos primeras poco interesantes: todos uno, y luego los enteros positivos, también conocidos como números naturales. Pero los números en la siguiente diagonal son llamados los números triangulares porque al tomar muchos puntos, puedes apilarlos en triángulos equiláteros. La siguiente diagonal tiene los números tetraédricos porque del mismo modo, puedes apilar muchas esferas en tetraedros. O qué tal esto: sombreado en todos los números impares. No parece mucho con el triángulo pequeño, pero si se agregas miles de filas, obtienes un fractal conocido como triángulo de Sierpinski. Este triángulo no es solo un trabajo de arte matemático. También es muy útil, especialmente cuando se trata de probabilidad y cálculos en el dominio de la combinatoria. Digamos que quieres tener 5 hijos, y te gustaría saber la probabilidad de tener tu familia de ensueño de 3 niñas y 2 niños. En la expansión binomial, corresponde a chica más chico a la quinta potencia. Fijémonos en la fila cinco, donde el primer número corresponde a 5 chicas, y el último corresponde a 5 chicos. El tercer número es lo que estamos buscando. 10 de la suma de todas las posibilidades en la fila. de modo 10/32, o 31,25 %. O, si estás escogiendo al azar un equipo de baloncesto de 5 jugadores de un grupo de 12 amigos, ¿cuántos posibles grupos de 5 hay? En términos combinatorias, este problema se expresa como de 12 elegir 5, y podría calcularse con esta fórmula, o podrías mirar el sexto elemento de la fila doce en el triángulo y obtener tu respuesta. Los patrones en el triángulo de Pascal son un testimonio del elegante entretejido de las matemáticas. Y todavía está revelando secretos frescos a hoy. Por ejemplo, se descubrió recientemente una manera de ampliarlo a este tipo de polinomios. ¿Qué podemos encontrar a continuación? Bueno, eso depende de ti.