Das sieht zwar aus wie ein sauber angeordneter Stapel Zahlen, aber es ist eine mathematische Schatzkiste. Indische Mathematiker nannten es "Stufen des Berges Meru". Im Iran heißt es "Chayyām-Dreieck". In China ist es das "Yang-Hui-Dreieck". In der westlichen Welt ist es meist als Pascalsches Dreieck bekannt. Es nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal zu benennen, scheint etwas unfair, da er deutlich zu spät dran war; doch er hatte noch viel beizutragen. Was fasziniert Mathematiker aus aller Welt also so sehr daran? Kurz gesagt: Es ist voller Muster und Geheimnisse. Zunächst ist da das Muster, nach dem es entsteht. Beginne mit Eins und stell dir unsichtbare Nullen auf beiden Seiten vor. Addiere sie paarweise und schon bildest du die nächste Reihe. Das wiederholst du immer wieder. Mach weiter, bis so etwas Ähnliches entsteht, auch wenn sich das Pascalsche Dreieck eigentlich unendlich fortsetzt. Jede Zeile entspricht den sogenannten Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes in der Form (x+y)^n, bei dem n die Nummer der Zeile ist und man bei Null anfängt zu zählen. Wenn man also n=2 nimmt und es erweitert, erhält man (x^2) + 2xy + (y^2). Die Koeffizienten oder Zahlen vor den Variablen sind dieselben wie die Zahlen in dieser Zeile des Pascalschen Dreiecks. Mit n=3 passiert das Gleiche, was dann so aussieht. Mit dem Dreieck kann man die Koeffizienten also schnell und einfach ermitteln. Aber da ist noch viel mehr. Zähle etwa die Zahlen in jeder Zeile zusammen und du erhältst nacheinander alle Potenzen von Zwei. Oder nimm jede Zahl einer beliebigen Zeile als Teil einer Dezimalentwicklung. Anders gesagt, Zeile zwei ist (1x1) + (2x10) + (1x100). Man erhält 121, was 11^2 entspricht. Sieh dir an, was passiert, wenn man dasselbe in Zeile sechs macht. Die Summe ist 1.771.561, was 11^6 entspricht, usw. Es gibt auch geometrische Anwendungen. Sieh die Diagonalen an. Die ersten beiden sind eher uninteressant: alles Einsen, dann die positiven Zahlen, auch als natürliche Zahlen bekannt. Doch die Zahlen in der nächsten Diagonale nennt man Dreieckszahlen. Denn mit dieser Anzahl Punkte lassen sie sich als gleichseitige Dreiecke anordnen. Die nächste Diagonale hat vierflächige Zahlen, weil man ebenso viele Kugeln als Tetraeder anordnen kann. Oder wie wäre es damit: Markiere alle ungeraden Zahlen. Es sieht nach wenig aus wenn das Dreieck klein ist, doch wenn man tausende Zeilen addiert erhält man ein Fraktal, das man Sierpinski-Dreieck nennt. Dieses Dreieck ist nicht nur ein mathematisches Kunstwerk. Es ist vor allem sehr nützlich, wenn es um Wahrscheinlichkeit und Berechnungen in der Kombinatorik geht. Sagen wir, du willst fünf Kinder und möchtest wissen, wie wahrscheinlich deine Traumfamilie von drei Mädchen und zwei Jungen ist. Beim binomischen Lehrsatz entspricht das "Mädchen plus Junge hoch fünf". Schauen wir uns also Zeile fünf an, wo die erste Zahl fünf Mädchen und die letzte fünf Jungen entspricht Die dritte Zahl ist, was wir suchen. Zehn geteilt durch die Summe aller Möglichkeiten der Zeile, also 10/32 oder 31,25%. Oder wenn du aus einer Gruppe von 12 Freunden zufällig fünf Spieler für ein Basketballteam wählst, wie viele Fünfergruppen sind dann möglich? Auf dem Gebiet der Kombinatorik hieße dieses Problem "fünf aus zwölf" und ließe sich mit dieser Formel berechnen. Oder man sieht sich das sechste Element von Zeile zwölf des Dreiecks an und erhält so die Antwort. Die Muster im Pascalschen Dreieck sind ein Beleg für die elegant verwobenen Strukturen der Mathematik. Und es enthüllt bis heute neue Geheimnisse. So haben Mathematiker kürzlich einen Weg gefunden, es zu dieser Art Polynome zu erweitern. Was finden wir wohl als Nächstes? Nun, das liegt an dir.
This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.