قد يبدو لك هذا الشكل أشبه بكومة من الأرقام المرتبة ، لكنه في الواقع، كنز رياضي قيّم جداً. علماء الرياضيات الهنود يسمونه سُلّم "جبل ميرو". وفي إيران يسمى مثلث "الخيّام". وفي الصين يسمى مثلث "يانغ واي". أما بالنسبة للغرب فهو معروف باسم مثلث "باسكال"، نسبةً لعالم الرياضيات الفرنسي بلايز باسكال. هذا يبدو غير عادل بعض الشيء بما أن باسكال كان متأخراً بكثيرعن باقي العلماء. ومع ذلك فقد كان لديه الكثير ليقدّمه. لكن ما هو السرّ في هذا المثلث لكي يأسر علماء الرياضيات في كافة أنحاء العالم ؟ باختصار، إنّه مليء بالأنماط والأسرار. أول هذه الأنماط وأهمها يكمن في النمط الذي يولده هذا المثلث : تخيل الرقم 1 وبجانبه أصفار غير مرئية من الطرفين. اجمعها معا كأزواج ، سيتولد لديك السطر التالي. والآن، افعل ذلك المرة تلو الأخرى. استمر في العملية نفسها، و سيتشكل لديك في نهاية المطاف هذا الشكل. إنّ مثلث باسكال في الواقع يتجه نحو اللانهاية. الآن تجد أن كل سطر يتطابق مع ما نسميه "مُعامِل (أمثال) التوسع ثنائي الحدّ"، من الشكل (س+ع) مرفوعًا للأس ن ، حيث ن هو عدد الأسطر، ونبدأ العدّ من الصفر. فعلى سبيل المثال، إذا جعلنا ن= 2 و وسعناه ، فسنحصل على (س ^2) +2(س ع)+(ع^2)، الأمثال، أو الأرقام التي تكون أمام المتغيرات، هي ذاتها الأرقام في ذاك السطر الموجود في مثلث باسكال. ستجد نفس النتيجة إذا جعلتَ ن = 3 الذي ستيوسع كما في الشكل. لذلك يعطي هذا المثلث طريقة سريعة وسهلة للبحث عن كل هذه الأمثال. ولكن هناك المزيد أيضاً ، على سبيل المثال اجمع الأرقام في كل سطر، سوف تحصل على الرقم 2 مرفوعاً إلى قوى متتالية. أو في أي سطر مُعطى، قم بتجربة كل رقم في توسعه العشري. بمعنى آخر, السطر الثاني هو (1x1) + (2x10) + (1x100). والجواب هو 121, أو 11 مرفوعا للأس 2. والآن ألق نظرة على ما سيحدث لو قمت بنفس العملية على السطر السادس. سنحصل على 1,771,561 أو 11 مرفوعاً للقوة 6 , وهلّم جرّاً. لهذا المثلث أيضا تطبيقات هندسية. انظر إلى الأقطار،أول قطرين ليسا مهمين،باعتبارهما مؤلفين من الرقم 1 فقط، بعدها تجد الصحيحة الموجبة،والتي تعرف أيضا بالأعداد الطبيعية. لكن الأرقام في القطر التالي تسمى الأرقام المثلثية، لأنّك لو أخذت تلك النقاط الكثيرة، فسوف تستطيع أن تشكل من خلالها مثلثًا متساوي الأضلاع. القطر التالي يأخذ شكلًا رباعي الوجوه، لأنك، بشكل مماثل، تستطيع أن تكدّس تلك الكريات على شكل رباعي الوجوه. وماذا عن هذا أيضا: ظلّل كافة الأرقام الفردية، لا يبدو الشكل واضحاً عندما يكون المثلث صغيرا، لكن إذا أضفتَ آلاف الأسطر، فسوف تحصل على نمط هندسي متكرر معروف باسم مثلث "سييربنسكي". هذا المثلث ليس عملاً رياضيّا فنيا فحسب، بل هو أيضاً على قدر كبير من الأهمية، خصوصاً فيما يتعلق بالاحتمالات والعمليات الحسابية، في مجال "التوافقيات". افترضْ أنك تريد أن يكون لديك خمسة أطفال، ورغبتَ أن تعرف احتمال أن يكون لديك العائلة التي تحلم بها، والمؤلفة من ثلاثة فتيات وصبيين. حسب التوسع ثنائي الحد، فإن ذلك يكافئ (فتاة + صبي) مرفوعا إلى الأس 5 . لذلك ننظر إلى السطر الخامس، حيث العدد الأول يكافئ 5 فتيات، والعدد الأخير يكافئ 5 فتيان. الرقم الثالث هو الرقم الذي نبحث عنه. وهو الرقم 10 مقسوماً على مجموع كافة الاحتمالات في السطر. لذلك نكتب 32\10 أو 31.25%. أو إذا اخترتَ عشوائيا فريق كرة سلة مؤلف من خمسة لاعبين ، ضمن مجموعة مؤلفة من 12 صديقا، ما عدد المجموعات المحتملة المؤلفة من 5 أشخاص ؟ بحسب "التوافقية" فإنّ هذه المسألة يتم صياغتها كاثني عشر شخصا يختارون خمسة أشخاص. ويمكن حسابها عن طريق هذه المعادلة، أو تستطيع النظر إلى العنصر السادس من السطر الثاني عشر في المثلث وسوف تحصل على الإجابة. هذه الأنماط في مثلث باسكال، هي شهادة على بنية الرياضيات المتشابكة مع بعضها بشكل أنيق. والتي ما تزال تكشف عن أسرار جديدة حتى هذا اليوم. على سبيل المثال, اكتشف الرياضيّون مؤخراً طريقا لتوسيع هذا المثلث إلى هذه الأشكال من كثيرات الحدود. ما الذي قد نجده مستقبلاً ؟ حسنٌ, هذا الأمر متروكٌ لك.
This may look like a neatly arranged stack of numbers, but it's actually a mathematical treasure trove. Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru. In Iran, it's the Khayyam Triangle. And in China, it's Yang Hui's Triangle. To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle after French mathematician Blaise Pascal, which seems a bit unfair since he was clearly late to the party, but he still had a lot to contribute. So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? In short, it's full of patterns and secrets. First and foremost, there's the pattern that generates it. Start with one and imagine invisible zeros on either side of it. Add them together in pairs, and you'll generate the next row. Now, do that again and again. Keep going and you'll wind up with something like this, though really Pascal's Triangle goes on infinitely. Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion of the form (x+y)^n, where n is the number of the row, and we start counting from zero. So if you make n=2 and expand it, you get (x^2) + 2xy + (y^2). The coefficients, or numbers in front of the variables, are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle. You'll see the same thing with n=3, which expands to this. So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. But there's much more. For example, add up the numbers in each row, and you'll get successive powers of two. Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion. In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100). You get 121, which is 11^2. And take a look at what happens when you do the same thing to row six. It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on. There are also geometric applications. Look at the diagonals. The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers, also known as natural numbers. But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers because if you take that many dots, you can stack them into equilateral triangles. The next diagonal has the tetrahedral numbers because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra. Or how about this: shade in all of the odd numbers. It doesn't look like much when the triangle's small, but if you add thousands of rows, you get a fractal known as Sierpinski's Triangle. This triangle isn't just a mathematical work of art. It's also quite useful, especially when it comes to probability and calculations in the domain of combinatorics. Say you want to have five children, and would like to know the probability of having your dream family of three girls and two boys. In the binomial expansion, that corresponds to girl plus boy to the fifth power. So we look at the row five, where the first number corresponds to five girls, and the last corresponds to five boys. The third number is what we're looking for. Ten out of the sum of all the possibilities in the row. so 10/32, or 31.25%. Or, if you're randomly picking a five-player basketball team out of a group of twelve friends, how many possible groups of five are there? In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five, and could be calculated with this formula, or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle and get your answer. The patterns in Pascal's Triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. And it's still revealing fresh secrets to this day. For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. What might we find next? Well, that's up to you.