You’ve found Leonardo Da Vinci’s secret vault, secured by a series of combination locks. Fortunately, your treasure map has three codes: 1210, 3211000, and… hmm. The last one appears to be missing. Looks like you’re gonna have to figure it out on your own.
Bạn tìm ra căn hầm bí mật của Leornardo Da Vinci, bị khóa bởi một loạt các mã số. May thay, bản đồ kho báu của bạn có ba mã số 1210, 3211000, và... hmmm. Số cuối cùng dường như bị thiếu. Có vẻ như bạn sẽ tự mình tìm ra nó.
There’s something those first two numbers have in common: they’re what’s called autobiographical numbers. This is a special type of number whose structure describes itself. Each of an autobiographical number’s digits indicates how many times the digit corresponding to that position occurs within the number. The first digit indicates the quantity of zeroes, the second digit indicates the number of ones, the third digit the number of twos, and so on until the end.
Bạn nhận ra hai số đầu có điểm chung: chúng đều được gọi là các số tự truyện. Đây là một loại số đặc biệt có kết cấu tự mô tả Mỗi chữ số của số tự truyện cho biết số lần chữ số tương ứng với vị trí đó được lặp lại. Chữ số đầu tiên cho biết số lượng các chữ số 0, Chữ số thứ hai cho biết số lượng các chữ số 1, Chữ số thứ ba cho biết số lượng các chữ số 2, và như thế cho đến hết.
The last lock takes a 10 digit number, and it just so happens that there’s exactly one ten-digit autobiographical number. What is it? Pause here if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1
Ổ khóa cuối cùng gồm mười chữ số, và chỉ mở khi số tự truyện có chính xác mười chữ số. Đó là gì? Dừng ở đây nếu bạn muốn tự tìm ra đáp án! Trả lời trong: 3 2 1 Nếu đoán đại một con số, bạn sẽ mãi không tìm ra đáp án.
Blindly trying different combinations would take forever. So let’s analyze the autobiographical numbers we already have to see what kinds of patterns we can find. By adding all the digits in 1210 together, we get 4 – the total number of digits. This makes sense since each individual digit tells us the number of times a specific digit occurs within the total. So the digits in our ten-digit autobiographical number must add up to ten.
Vậy hãy cùng phân tích các số tự truyện mà ta có để tìm điểm chung, từ đó, suy ra đáp án. Bằng cách cộng tất cả các chữ số của 1210 với nhau, chúng ta sẽ được 4 là tổng các chữ số. Điều này là hợp lí vì mỗi chữ số riêng lẻ cho ta biết số lần cụ thể mà các chữ số xuất hiện. Vậy nên các chữ số có trong số tự truyện mười chữ số đó phải có tổng là 10 Điều này cũng cho ta biết một điểm quan trọng khác:
This tells us another important thing – the number can’t have too many large digits. For example, if it included a 6 and a 7, then some digit would have to appear 6 times, and another digit 7 times– making more than 10 digits. We can conclude that there can be no more than one digit greater than 5 in the entire sequence. So out of the four digits 6, 7, 8, and 9, only one – if any-- will make the cut. And there will be zeroes in the positions corresponding to the numbers that aren’t used. So now we know that our number must contain at least three zeroes – which also means that the leading digit must be 3 or greater.
một số thì không thể có quá nhiều chữ số lớn. Ví dụ, nếu bao gồm 6 và 7, thì một chữ số sẽ phải xuất hiện sáu lần, và một chữ số khác phải xuất hiện bảy lần tạo ra một số có hơn mười chữ số. Ta có thể kết luận rằng không thể có nhiều hơn một chữ số lớn hơn 5 trong toàn bộ dãy số. Vậy trong 6, 7, 8 và 9, chỉ có thể có một chữ số. Và sẽ có các chữ số 0 ở các vị trí tương ứng với các chữ số không sử dụng. Giờ, ta biết rằng số này phải chứa ít nhất ba chữ số 0 cũng có nghĩa là chữ số đầu phải từ 3 trở lên.
Now, while this first digit counts the number of zeroes, every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs. If we add together all the digits besides the first one – and remember, zeroes don’t increase the sum – we get a count of how many non-zero digits appear in the sequence, including that leading digit. For example, if we try this with the first code, we get 2 plus 1 equals 3 digits. Now, if we subtract one, we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit – two, in our example.
Bây giờ, khi chữ số đầu đếm số chữ số 0 có trong dãy số, mỗi chữ số sau nó sẽ đếm số lần xuất hiện của một chữ số khác 0. Nếu cộng tất cả các chữ số sau chữ số đầu tiên và nhớ rằng, số 0 sẽ không được tính trong tổng, ta biết được có bao nhiêu chữ số khác 0 xuất hiện trong dãy số, bao gồm cả chữ số đầu. Ví dụ, nếu thử với mã số đầu tiên, ta được 2 cộng 1 bằng 3 chữ số. Nếu trừ đi một, ta sẽ có số lượng các chữ số khác 0 sau chữ số đầu tiên là 2, như trong ví dụ.
Why go through all that? Well, we now know something important: the total quantity of non-zero digits that occur after the first digit is equal to the sum of these digits, minus one. And how can you get a distribution where the sum is exactly 1 greater than the number of non-zero positive integers being added together? The only way is for one of the addends to be a 2, and the rest 1s. How many 1s? Turns out there can only be two – any more would require additional digits like 3 or 4 to count them.
Tại sao phải làm tất cả những điều đó? Vì giờ ta đã biết vài điều quan trọng: tổng các chữ số khác 0 xuất hiện sau chữ số đầu tiên bằng tổng của các chữ số này trừ đi 1. Và làm thế nào để phân bố khi biết tổng lớn hơn 1 đơn vị so với tổng các số nguyên dương khác 0? Cách duy nhất là một trong các số hạng phải là 2, và những số còn lại là 1. Vậy có bao nhiêu số 1? Hóa ra chỉ có thể có hai số 1 thêm nữa thì sẽ phải có thêm các chữ số bổ sung như 3 hoặc 4 để đếm chúng.
So now we have the leading digit of 3 or greater counting the zeroes, a 2 counting the 1s, and two 1s – one to count the 2s and another to count the leading digit. And speaking of that, it’s time to find out what the leading digit is. Since we know that the 2 and the double 1s have a sum of 4, we can subtract that from 10 to get 6. Now it’s just a matter of putting them all in place: 6 zeroes, 2 ones, 1 two, 0 threes, 0 fours, 0 fives, 1 six, 0 sevens, 0 eights, and 0 nines.
Giờ, ta có chữ số đầu là 3 hoặc lớn hơn để đếm số lượng các chữ số 0 trong dãy số, chữ số 2 để đếm số lượng chữ số 1, và có hai chữ số 1: một chữ số 1 để đếm số chữ số 2 và chữ số 1 còn lại để đếm chữ số đầu tiên. Nói tới đây, cũng là lúc ta tìm ra chữ số đầu tiên. Biết rằng 2+1+1 có kết quả là 4, ta có thể lấy 10 trừ đi 4 để có được 6. Bây giờ, vấn đề là đặt chúng vào vị trí nào: sáu chữ số 0 hai chữ số 1 một chữ số 2 không chữ số 3 không chữ số 4 không chữ số 5 một chữ số 6 không chữ số 7 không chữ số 8 và không chữ số 9.
The safe swings open, and inside you find... Da Vinci’s long-lost autobiography.
Cửa hầm được mở và bạn tìm thấy... cuốn tự truyện bị thất lạc từ lâu của Da Vinci.