You’ve found Leonardo Da Vinci’s secret vault, secured by a series of combination locks. Fortunately, your treasure map has three codes: 1210, 3211000, and… hmm. The last one appears to be missing. Looks like you’re gonna have to figure it out on your own.
Leonardo Da Vinci'nin gizli mahzenini buldunuz, bir dizi şifreli kilit ile korunuyor. Neyse ki define haritanızda üç kod var: 1210, 3211000 ve... hmm. Sonuncusu kaybolmuş. Onu sizin tahmin etmeniz gerekecek gibi gözüküyor.
There’s something those first two numbers have in common: they’re what’s called autobiographical numbers. This is a special type of number whose structure describes itself. Each of an autobiographical number’s digits indicates how many times the digit corresponding to that position occurs within the number. The first digit indicates the quantity of zeroes, the second digit indicates the number of ones, the third digit the number of twos, and so on until the end.
Bu ilk iki sayının ortak bir noktası var: Onlar, otobiyografik sayı adı verilen sayılar. Bu, yapısı kendisini tanımlayan özel bir sayı türüdür. Otobiyografik sayının her hanesi, sayı içerisinde o pozisyona tekabül eden hanenin kaç kez oluştuğunu belirtir. İlk hane, sıfırların miktarını belirtir, ikinci hane birlerin sayısını belirtir, üçüncü hane ise ikilerin ve sonuna dek böyle devam eder.
The last lock takes a 10 digit number, and it just so happens that there’s exactly one ten-digit autobiographical number. What is it? Pause here if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1
Son kilitte 10 haneli bir sayı var ve tesadüfe bakın ki tam anlamıyla bir tane on haneli otobiyografik sayı vardır. O nedir? Kendiniz çözmek istiyorsanız, burada durdurun! Cevap geliyor: 3 Cevap geliyor: 2 Cevap geliyor: 1
Blindly trying different combinations would take forever. So let’s analyze the autobiographical numbers we already have to see what kinds of patterns we can find. By adding all the digits in 1210 together, we get 4 – the total number of digits. This makes sense since each individual digit tells us the number of times a specific digit occurs within the total. So the digits in our ten-digit autobiographical number must add up to ten.
Körü körüne farklı kombinasyonlar denemek sonsuza dek sürer. Öyleyse, ne tür modeller bulabileceğimizi görmek için elimizdeki otobiyografik sayıları inceleyelim. 1210'daki tüm haneleri bir araya getirirsek, 4 elde ederiz - hanelerin toplamı. Her bireysel hane, toplam içerisinde belirli bir hanenin gerçekleşme sayısını belirttiği için, bu mantıklıdır. Yani, on haneli otobiyografik sayımızdaki haneler 10'a tamamlanmalıdır.
This tells us another important thing – the number can’t have too many large digits. For example, if it included a 6 and a 7, then some digit would have to appear 6 times, and another digit 7 times– making more than 10 digits. We can conclude that there can be no more than one digit greater than 5 in the entire sequence. So out of the four digits 6, 7, 8, and 9, only one – if any-- will make the cut. And there will be zeroes in the positions corresponding to the numbers that aren’t used. So now we know that our number must contain at least three zeroes – which also means that the leading digit must be 3 or greater.
Bu bize başka önemli bir şey söylüyor - sayı, çok büyük hanelere sahip olamaz. Örneğin, bir 6 ve bir 7 içerseydi, o zaman bir hane 6 kez ortaya çıkardı ve diğer hane de 7 kez - bu da 10'dan fazla hane demektir. Bütün bu dizide, 5'den büyük bir hanenin birden fazla olamayacağı sonucuna varabiliriz. Yani dört adet 6, 7, 8 ve 9 hanelerinden yalnızca birisi - varsa - kabul edilir. Ayrıca kullanılmayan sayılara tekabül eden pozisyonlarda sıfırlar olacaktır. Şimdi sayımızın en az üç sıfır içermesi gerektiğini biliyoruz - yani baştaki hane 3 veya üçten daha büyük olmalı.
Now, while this first digit counts the number of zeroes, every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs. If we add together all the digits besides the first one – and remember, zeroes don’t increase the sum – we get a count of how many non-zero digits appear in the sequence, including that leading digit. For example, if we try this with the first code, we get 2 plus 1 equals 3 digits. Now, if we subtract one, we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit – two, in our example.
Şimdi, ilk hane sıfırların sayısını sayarken, ondan sonraki her hane de sıfır olmayan özel bir hanenin kaç kez gerçekleştiğini sayar. Birincisi dışında bütün haneleri toplarsak - hatırlayın, sıfırlar toplamı yükseltmez - dizi içerisinde kaç sıfır-olmayan hanenin ortaya çıktığını buluruz, en baştaki hane de dâhil. Örneğin, ilk kodla bunu denersek, 2 artı 1 eşittir 3 hane elde ederiz. Şimdi, bir çıkarırsak, ilk haneden sonra kaç tane sıfır-olmayan hanenin bulunduğunu buluruz - örneğimiz için, iki.
Why go through all that? Well, we now know something important: the total quantity of non-zero digits that occur after the first digit is equal to the sum of these digits, minus one. And how can you get a distribution where the sum is exactly 1 greater than the number of non-zero positive integers being added together? The only way is for one of the addends to be a 2, and the rest 1s. How many 1s? Turns out there can only be two – any more would require additional digits like 3 or 4 to count them.
Peki bunları neden anlattık? Pekâlâ, şimdi önemli bir şey biliyoruz: İlk haneden sonra gerçekleşen sıfır-olmayan hanelerin toplam miktarı bu hanelerin toplamı eksi bire eşittir. Peki toplamın, sıfır olmayan pozitif tam sayıların toplamından tam olarak bir fazla olduğu bir dağılıma nasıl ulaşabilirsiniz? Bunun tek yolu, toplananlardan birisinin 2 olması ve geri kalanın da 1 olmasıdır. Kaç tane 1? Görünüşe göre yalnızca iki tane olabilir - daha fazlası için, onları saymak için gereken 3 veya 4 gibi ek hane gerekir.
So now we have the leading digit of 3 or greater counting the zeroes, a 2 counting the 1s, and two 1s – one to count the 2s and another to count the leading digit. And speaking of that, it’s time to find out what the leading digit is. Since we know that the 2 and the double 1s have a sum of 4, we can subtract that from 10 to get 6. Now it’s just a matter of putting them all in place: 6 zeroes, 2 ones, 1 two, 0 threes, 0 fours, 0 fives, 1 six, 0 sevens, 0 eights, and 0 nines.
Şimdi sıfırları sayan, 3 veya daha büyük bir baş hanemiz var, birleri sayan bir 2 ve iki tane 1 var - 2l'eri sayan bir ve baştaki haneyi sayan bir diğeri. Bundan söz etmişken, baştaki haneyi bulmanın vakti geldi. 2 ve çift birlerin toplamının 4 olduğunu bildiğimize göre, 6 elde etmek için 10'dan 4'ü çıkarabiliriz. Şimdi hepsini bir araya getirelim: 6 tane sıfır, 2 tane bir, 1 tane iki, sıfır tane üç, sıfır tane dört, sıfır tane beş, 1 tane altı, sıfır tane yedi, sıfır tane sekiz ve sıfır tane dokuz.
The safe swings open, and inside you find... Da Vinci’s long-lost autobiography.
Kilit açılıyor ve içinde bulduğunuz şey... Da Vinci'nin kayıp otobiyografisi.