You’ve found Leonardo Da Vinci’s secret vault, secured by a series of combination locks. Fortunately, your treasure map has three codes: 1210, 3211000, and… hmm. The last one appears to be missing. Looks like you’re gonna have to figure it out on your own.
Вы нашли тайник Леонардо да Винчи, но попасть туда можно, лишь зная комбинацию цифр к кодовому замкý. К счастью, у вас имеется карта сокровищ с тремя комбинациями цифр: 1210, 3211000 и...гм... На карте не указана последняя комбинация! Похоже, вам придётся разгадать её самостоятельно.
There’s something those first two numbers have in common: they’re what’s called autobiographical numbers. This is a special type of number whose structure describes itself. Each of an autobiographical number’s digits indicates how many times the digit corresponding to that position occurs within the number. The first digit indicates the quantity of zeroes, the second digit indicates the number of ones, the third digit the number of twos, and so on until the end.
Общим для первой и второй комбинации является то, что оба эти числа автобиографические. Это особый тип чисел, в которых заложено описание собственной структуры. Каждая цифра автобиографического числа указывает на то, сколько раз в числе встречается цифра, соответствующая порядковому номеру самой цифры. Первая цифра определяет количество нулей, вторая цифра указывает на количество единиц, третья — двоек и так далее.
The last lock takes a 10 digit number, and it just so happens that there’s exactly one ten-digit autobiographical number. What is it? Pause here if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1
Третий код состоит из последовательности десяти цифр, и эта последовательность представляет собой единственно возможное десятиразрядное автобиографическое число. Что это за число? Нажмите на паузу, если вы хотите разгадать загадку самостоятельно. Ответ появится через: 3 секунды, 2 секунды, 1 секунду.
Blindly trying different combinations would take forever. So let’s analyze the autobiographical numbers we already have to see what kinds of patterns we can find. By adding all the digits in 1210 together, we get 4 – the total number of digits. This makes sense since each individual digit tells us the number of times a specific digit occurs within the total. So the digits in our ten-digit autobiographical number must add up to ten.
Если наугад подбирать комбинации цифр, на разгадку уйдёт много времени. Поэтому давайте лучше проанализируем данные нам числа и попытаемся выявить закономерность. Суммируя цифры первого числа 1210, мы получаем 4 — количество цифр в данной комбинации. Это и понятно, ведь каждая цифра указывает на то, сколько раз эта цифра встречается в данной комбинации. Поэтому сумма цифр в десятиразрядном автобиографическом числе должна быть равна десяти.
This tells us another important thing – the number can’t have too many large digits. For example, if it included a 6 and a 7, then some digit would have to appear 6 times, and another digit 7 times– making more than 10 digits. We can conclude that there can be no more than one digit greater than 5 in the entire sequence. So out of the four digits 6, 7, 8, and 9, only one – if any-- will make the cut. And there will be zeroes in the positions corresponding to the numbers that aren’t used. So now we know that our number must contain at least three zeroes – which also means that the leading digit must be 3 or greater.
Это даёт нам важную информацию о том, что в разгадываемой комбинации не может быть много больши́х цифр. Например, если бы там присутствовали 6 и 7, это означало бы, что какая-то цифра должна повториться 6 раз, а какая-то — 7, в результате чего разрядов было бы больше 10. Таким образом, во всей последовательности не может быть больше одной цифры выше 5. То есть из четырёх цифр: 6, 7, 8 и 9 только одна может войти в состав искомой комбинации. А то и вовсе ни одной. А на месте незадействованных цифр будут стоять нули. Из чего мы делаем вывод, что в нашем числе содержится минимум три 0
Now, while this first digit counts the number of zeroes,
и что на первом месте стоит цифра, больше или равная 3.
every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs. If we add together all the digits besides the first one – and remember, zeroes don’t increase the sum – we get a count of how many non-zero digits appear in the sequence, including that leading digit. For example, if we try this with the first code, we get 2 plus 1 equals 3 digits. Now, if we subtract one, we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit – two, in our example.
Итак, первая цифра в искомой последовательности определяет количество нулей, а каждая последующая — количество ненулевых цифр. Если мы сложим все цифры, кроме первой, — а вы помните, что ноль не влияет на результат сложения, — мы получим число, определяющее количество ненулевых цифр в искомой комбинации, с учётом самой первой цифры в последовательности. Например, если мы сложим цифры в первой комбинации, то получим 2 плюс 1 равно 3. Теперь отнимем 1 и получим число, определяющее количество ненулевых цифр, стоящих после первой, лидирующей цифры — в нашем случае — 2.
Why go through all that? Well, we now know something important: the total quantity of non-zero digits that occur after the first digit is equal to the sum of these digits, minus one. And how can you get a distribution where the sum is exactly 1 greater than the number of non-zero positive integers being added together? The only way is for one of the addends to be a 2, and the rest 1s. How many 1s? Turns out there can only be two – any more would require additional digits like 3 or 4 to count them.
Зачем нам проделывать все эти вычисления? Это даст важную информацию о том, что количество ненулевых цифр, стоящих после первой цифры, равно сумме этих цифр минус 1. Как вычислить значения цифр, сумма которых на 1 больше, чем количество суммируемых ненулевых положительных целых чисел? Единственно возможный вариант — это когда одним из слагаемых является 2, а другие — 1. Сколько 1? Оказывается, их может быть только две — в противном случае в последовательности присутствовали бы цифры 3 и 4.
So now we have the leading digit of 3 or greater counting the zeroes, a 2 counting the 1s, and two 1s – one to count the 2s and another to count the leading digit. And speaking of that, it’s time to find out what the leading digit is. Since we know that the 2 and the double 1s have a sum of 4, we can subtract that from 10 to get 6. Now it’s just a matter of putting them all in place: 6 zeroes, 2 ones, 1 two, 0 threes, 0 fours, 0 fives, 1 six, 0 sevens, 0 eights, and 0 nines.
Теперь мы знаем, что первой цифрой должна стоять цифра 3 или выше — она определяет количество 0, цифра 2 для определения количества 1, и две 1 — одна указывает на количество 2, другая — на первую цифру. Кстати, пора бы определить значение первой цифры в искомой последовательности. Поскольку мы знаем, что сумма 2 и двух 1 равна 4, вычтем это значение из 10 и получим 6. Теперь остаётся лишь расположить все цифры в правильной последовательности: шесть 0, две 1, одна 2 ноль 3, ноль 4, ноль 5, одна 6, ноль 7, ноль 8 и ноль 9.
The safe swings open, and inside you find... Da Vinci’s long-lost autobiography.
Сейф открывается, а внутри вы обнаруживаете давно утерянную автобиографию Леонардо да Винчи.