You’ve found Leonardo Da Vinci’s secret vault, secured by a series of combination locks. Fortunately, your treasure map has three codes: 1210, 3211000, and… hmm. The last one appears to be missing. Looks like you’re gonna have to figure it out on your own.
Hai trovato il caveau segreto di Leonardo Da Vinci, protetto da una serie di serrature a combinazione. Fortunatamente, la tua mappa del tesoro presenta tre codici: 1210, 3211000, e... mmm. Pare che l'ultimo sia scomparso. Sembra proprio che dovrai scoprirlo da solo.
There’s something those first two numbers have in common: they’re what’s called autobiographical numbers. This is a special type of number whose structure describes itself. Each of an autobiographical number’s digits indicates how many times the digit corresponding to that position occurs within the number. The first digit indicates the quantity of zeroes, the second digit indicates the number of ones, the third digit the number of twos, and so on until the end.
I primi due numeri hanno qualcosa in comune: si chiamano numeri autobiografici. È un tipo di numero particolare la cui struttura descrive il numero stesso. Ogni cifra di un numero autobiografico indica quante volte la cifra corrispondente a quella posizione compare all'interno del numero. La prima cifra indica la quantità di zero, la seconda si riferisce al numero di uno,
The last lock takes a 10 digit number, and it just so happens that there’s exactly one ten-digit autobiographical number. What is it? Pause here if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1
la terza alla quantità di due, e così via fino alla fine. L'ultima serratura richiede un numero di dieci cifre, e, guarda caso, c'è proprio un numero autobiografico di dieci cifre. Qual è? Metti in pausa qui se vuoi arrivarci da solo! Risposta tra 3, 2,
Blindly trying different combinations would take forever. So let’s analyze the autobiographical numbers we already have to see what kinds of patterns we can find. By adding all the digits in 1210 together, we get 4 – the total number of digits. This makes sense since each individual digit tells us the number of times a specific digit occurs within the total. So the digits in our ten-digit autobiographical number must add up to ten.
1 Per provare combinazioni a caso ci vorrebbe un'eternità. Quindi, analizziamo i numeri autobiografici che abbiamo già per vedere quali tipi di schemi possiamo trovare. Sommando tutte le cifre di 1210, otteniamo 4, il numero totale delle cifre. Ciò ha senso, visto che ogni cifra indica il numero di volte che una certa cifra compare nel totale. Sommando le cifre del nostro numero autobiografico di dieci cifre
This tells us another important thing – the number can’t have too many large digits. For example, if it included a 6 and a 7, then some digit would have to appear 6 times, and another digit 7 times– making more than 10 digits. We can conclude that there can be no more than one digit greater than 5 in the entire sequence. So out of the four digits 6, 7, 8, and 9, only one – if any-- will make the cut. And there will be zeroes in the positions corresponding to the numbers that aren’t used. So now we know that our number must contain at least three zeroes – which also means that the leading digit must be 3 or greater.
dobbiamo ottenere dieci. Ciò ci rivela un'altra cosa importante: il numero non può avere cifre troppo alte. Ad esempio, se comprendesse un 6 e un 7, una certa cifra dovrebbe apparire sei volte e un'altra sette, arrivando così a più di dieci cifre. Possiamo dedurre che non può comparire più di una cifra maggiore di 5 nell'intera sequenza. Quindi, solo una delle cifre 6, 7, 8 e 9, o anche nessuna, sarà presente. E ci saranno zero nelle posizioni corrispondenti ai numeri non utilizzati. Ora, quindi, sappiamo che il nostro numero deve contenere almeno tre zero. Ciò significa anche che la prima cifra deve essere pari o maggiore a 3.
Now, while this first digit counts the number of zeroes, every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs. If we add together all the digits besides the first one – and remember, zeroes don’t increase the sum – we get a count of how many non-zero digits appear in the sequence, including that leading digit. For example, if we try this with the first code, we get 2 plus 1 equals 3 digits. Now, if we subtract one, we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit – two, in our example.
Mentre la prima cifra specifica il numero di zero, ogni cifra successiva indica quante volte compare una certa cifra diversa da zero. Se sommiamo tutte le cifre successive alla prima – e, ricorda, gli zero non incrementano la somma – otteniamo il numero di quante cifre diverse da zero appaiono nella sequenza, compresa la cifra di testa. Ad esempio, se prendiamo il primo codice, abbiamo 2 più 1 uguale 3 cifre. Se sottraiamo uno, otteniamo il numero di cifre diverse da zero successive alla prima: due, nel nostro esempio.
Why go through all that? Well, we now know something important: the total quantity of non-zero digits that occur after the first digit is equal to the sum of these digits, minus one. And how can you get a distribution where the sum is exactly 1 greater than the number of non-zero positive integers being added together? The only way is for one of the addends to be a 2, and the rest 1s. How many 1s? Turns out there can only be two – any more would require additional digits like 3 or 4 to count them.
Perché fare tutti questi passaggi? Beh, adesso sappiamo una cosa importante: la quantità totale delle cifre diverse da zero che appaiono dopo la prima cifra è uguale alla somma di queste cifre meno uno. E come possiamo avere una distribuzione in cui la somma è maggiore di uno del numero di integrali positivi diversi da zero sommati insieme? L'unica possibilità è che uno degli addendi sia 2 e che gli altri numeri siano 1. Quanti 1? Si scopre che possono essercene solo due:
So now we have the leading digit of 3 or greater counting the zeroes, a 2 counting the 1s, and two 1s – one to count the 2s and another to count the leading digit. And speaking of that, it’s time to find out what the leading digit is. Since we know that the 2 and the double 1s have a sum of 4, we can subtract that from 10 to get 6. Now it’s just a matter of putting them all in place: 6 zeroes, 2 ones, 1 two, 0 threes, 0 fours, 0 fives, 1 six, 0 sevens, 0 eights, and 0 nines.
un numero maggiore richiederebbe altre cifre, come 3 o 4, per indicarli. Adesso abbiamo la prima cifra, che conta gli zero, pari a 3 o maggiore, un 2 che indica gli 1 e due 1: uno per indicare i 2 e un altro per la cifra di testa. A proposito di questo, è ora di scoprire il valore della prima cifra. Dato che sappiamo che il 2 e il doppio 1 danno come somma 4, possiamo sottrarlo da 10, ottenendo 6. Ora è solo questione di metterli tutti al loro posto: 6 zero, 2 uno, 1 due, 0 tre, 0 quattro, 0 cinque, 1 sei, 0 sette, 0 otto
The safe swings open, and inside you find... Da Vinci’s long-lost autobiography.
e 0 nove. La porta di sicurezza si apre e dentro trovi...