You’ve found Leonardo Da Vinci’s secret vault, secured by a series of combination locks. Fortunately, your treasure map has three codes: 1210, 3211000, and… hmm. The last one appears to be missing. Looks like you’re gonna have to figure it out on your own.
גיליתם את הכספת הסודית של לאונרדו דה וינצ'י, מאובטחת על ידי סדרה של מנעולי צופן. למרבה המזל, מפת האוצר שלכם מכילה שלושה קודים: 1210, 3211000, ו.... המממ. נראה שהאחרון חסר. נראה שתצטרכו לגלות אותו בעצמכם.
There’s something those first two numbers have in common: they’re what’s called autobiographical numbers. This is a special type of number whose structure describes itself. Each of an autobiographical number’s digits indicates how many times the digit corresponding to that position occurs within the number. The first digit indicates the quantity of zeroes, the second digit indicates the number of ones, the third digit the number of twos, and so on until the end.
יש משהו משותף לשני המספרים הראשונים: הם מה שנקרא מספרים אוטוביוגרפיים. זה סוג מיוחד של מספר שהמבנה שלו מתאר את עצמו. כל אחת מהספרות של המספרים האוטוביוגרפיים מעידה כמה פעמים הסיפרה המתאימה למיקום הזה מופיעה במספר הספרה הראשונה מעידה על מספר האפסים, הסניה על מספר האחדות, השלישית על מספר השתיים, וכך הלאה עד הסוף.
The last lock takes a 10 digit number, and it just so happens that there’s exactly one ten-digit autobiographical number. What is it? Pause here if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1
המנעול האחרון מקבל מספר בן 10 ספרות, ובמקרה יש בדיוק מספר אוטוביוגרפי אחד בן עשר ספרות. מה הוא? עצרו פה אם אתם רוצים לפתור בעצמכם! תשובה עוד: 3 תשובה עוד: 2 תשובה עוד: 1
Blindly trying different combinations would take forever. So let’s analyze the autobiographical numbers we already have to see what kinds of patterns we can find. By adding all the digits in 1210 together, we get 4 – the total number of digits. This makes sense since each individual digit tells us the number of times a specific digit occurs within the total. So the digits in our ten-digit autobiographical number must add up to ten.
נסיון צרופים שונים באופן עיוור יקח זמן רב. אז בואו ננתח את המספרים האוטוביוגרפיים שכבר יש לנו כדי לראות איזה סוגים של תבניות אנחנו יכולים לגלות. על ידי הוספת כל הספרות ב 1210 יחד, אנחנו מקבלים 4 - סך הספרות. זה הגיוני מאחר וכל ספרה אומרת לנו את מספר הפעמים שספרה מסויימת מופיעה בסך הכל. אז הספרות במספר האוטוביוגרפי בן 10 הספרות שלנו חייבות להסתכם ל 10.
This tells us another important thing – the number can’t have too many large digits. For example, if it included a 6 and a 7, then some digit would have to appear 6 times, and another digit 7 times– making more than 10 digits. We can conclude that there can be no more than one digit greater than 5 in the entire sequence. So out of the four digits 6, 7, 8, and 9, only one – if any-- will make the cut. And there will be zeroes in the positions corresponding to the numbers that aren’t used. So now we know that our number must contain at least three zeroes – which also means that the leading digit must be 3 or greater.
זה מספר לנו משהו חשוב נוסף - במספר לא יכולות להיות יותר מדי ספרות גדולות. לדוגמה, אם נכלול 6 ו 7, אז סיפרה מסויימת חייבות להופיע 6 פעמים, וספרה אחרת 7 פעמים - מה שנותן לנו יותר מ 10 ספרות. אנחנו יכולים להסיק שלא יכולה להיות יותר מספרה אחת גדולה מ 5 בכל הרצף. אז מתוך ארבע הספרות 6,7,8 ו 9, רק אחת - אם בכלל - יכולה להכנס. ויהיו אפסים במיקומים שמתאימים לספרות שלא בשימוש. אז עכשיו אנחנו יודעים שהמספר שלנו חייב להכיל לפחות שלושה אפסים - מה שאומר גם שהספרה המובילה חייבת להיות 3 או יותר.
Now, while this first digit counts the number of zeroes, every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs. If we add together all the digits besides the first one – and remember, zeroes don’t increase the sum – we get a count of how many non-zero digits appear in the sequence, including that leading digit. For example, if we try this with the first code, we get 2 plus 1 equals 3 digits. Now, if we subtract one, we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit – two, in our example.
עכשיו, בעוד הספרה הראשונה סופרת את כמות האפסים, כל ספרה אחריה סופרת כמה פעמים ספרה אחרת שהיא לא 0 מופיעה. אם נוסיף יחד את כל הספרות מלבד הראשונה וזכרו, אפסים לא מגדילים את הסכום - אנחנו מקבלים כמות של כמה ספרות שהן לא אפס מופיעות ברצף, כולל הספרה המובילה ההיא. לדוגמה, אם ננסה זאת עם הקוד הראשון, יש לנו 2 ועוד 1 שווה לשלוש ספרות. עכשיו, אם נפחית אחת, יש לנו כמות של כמה ספרות שהן לא אפס ישנן אחרי הספרה הראשונה - שתיים בדוגמה הזו.
Why go through all that? Well, we now know something important: the total quantity of non-zero digits that occur after the first digit is equal to the sum of these digits, minus one. And how can you get a distribution where the sum is exactly 1 greater than the number of non-zero positive integers being added together? The only way is for one of the addends to be a 2, and the rest 1s. How many 1s? Turns out there can only be two – any more would require additional digits like 3 or 4 to count them.
למה לעשות את כל זה? ובכן, אנחנו יודעים עכשיו משהו חשוב: סך כל הספרות שהן לא אפס שישנן אחרי הספרה הראשונה שווה לסכום הספרות האלה, פחות אחד. ואיך אתם יכולים לקבל התפלגות בה הסכום גדול בדיוק ממספר המספרים השלמים החיוביים שהם לא אפס שמוספים? הדרך היחידה היא שאחד המחוברים יהיה 2, והשאר 1-ים כמה 1-ים? מסתבר שיכולים להיות רק שניים - יותר מזה ידרוש ספרות נוספות כמו 3 או 4 לספור אותן.
So now we have the leading digit of 3 or greater counting the zeroes, a 2 counting the 1s, and two 1s – one to count the 2s and another to count the leading digit. And speaking of that, it’s time to find out what the leading digit is. Since we know that the 2 and the double 1s have a sum of 4, we can subtract that from 10 to get 6. Now it’s just a matter of putting them all in place: 6 zeroes, 2 ones, 1 two, 0 threes, 0 fours, 0 fives, 1 six, 0 sevens, 0 eights, and 0 nines.
אז עכשיו יש לנו את הספרה המובילה של 3 או יותר שסופרת את האפסים, 2 שסופרת את ה 1-ים, ושני 1-ים, אחד כדי לספור את ה 2 ואחר כדי לספור את הספרה המובילה. ואם מדברים עליה, הגיע הזמן לגלות מה הספרה המובילה. מאחר ואנחנו יודעים שסכום ה 2 ושני ה 1-ים הוא 4, אנחנו יכולים להפחית אותו מ 10 ולקבל 6. עכשיו זה רק עניין של לשים אותן במקום: 6 אפסים, 2 אחדים, שתיים אחד, 0 שלושים, 0 ארבע, 0 חמש, שש אחד, 0 שבע, 0 שמונה, ו 0 תשע.
The safe swings open, and inside you find... Da Vinci’s long-lost autobiography.
הכספת נפתחת, ובתוכה אתם מגלים.. את האוטוביוגרפיה האבודה של דה ווינצ'י.