You’ve found Leonardo Da Vinci’s secret vault, secured by a series of combination locks. Fortunately, your treasure map has three codes: 1210, 3211000, and… hmm. The last one appears to be missing. Looks like you’re gonna have to figure it out on your own.
Vous avez trouvé la chambre forte de Léonard de Vinci, sécurisée par une série de cadenas à combinaison. Heureusement, votre carte au trésor contient trois codes : 1210, 3211000, et... euh. Le dernier semble être manquant. Apparemment, il va falloir le découvrir par vous-même.
There’s something those first two numbers have in common: they’re what’s called autobiographical numbers. This is a special type of number whose structure describes itself. Each of an autobiographical number’s digits indicates how many times the digit corresponding to that position occurs within the number. The first digit indicates the quantity of zeroes, the second digit indicates the number of ones, the third digit the number of twos, and so on until the end.
Il y a une particularité commune à ces deux premiers nombres : ils sont ce qu'on appelle des nombres autobiographiques. C'est un type de nombre spécial dont la structure se décrit elle-même. Chacun des chiffres d'un nombre autobiographique indique combien de fois on trouve le chiffre correspondant à sa position dans le nombre. Le premier chiffre indique la quantité de zéros, le deuxième indique la quantité de uns, le troisième, la quantité de deux, et ainsi de suite jusqu'à la fin.
The last lock takes a 10 digit number, and it just so happens that there’s exactly one ten-digit autobiographical number. What is it? Pause here if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1
Le dernier cadenas requiert un nombre à 10 chiffres, et il se trouve qu'il y a exactement un nombre autobiographique à 10 chiffres. Lequel ? [Mettez sur pause ici si vous voulez le découvrir par vous-même !] Réponse dans : 3 Réponse dans : 2 Réponse dans : 1
Blindly trying different combinations would take forever. So let’s analyze the autobiographical numbers we already have to see what kinds of patterns we can find. By adding all the digits in 1210 together, we get 4 – the total number of digits. This makes sense since each individual digit tells us the number of times a specific digit occurs within the total. So the digits in our ten-digit autobiographical number must add up to ten.
Essayer des combinaisons différentes à l'aveugle serait bien trop long. Analysons donc les nombres autobiographiques que nous avons déjà pour voir quels motifs récurrents on peut trouver. En faisant la somme de tous les chiffres de 1210, on obtient 4, le nombre total de chiffres. Cela a du sens car chaque chiffre indique le nombre total d’occurrences d'un chiffre en particulier. La somme des 10 chiffres de notre nombre autobiographique doit ainsi donner 10.
This tells us another important thing – the number can’t have too many large digits. For example, if it included a 6 and a 7, then some digit would have to appear 6 times, and another digit 7 times– making more than 10 digits. We can conclude that there can be no more than one digit greater than 5 in the entire sequence. So out of the four digits 6, 7, 8, and 9, only one – if any-- will make the cut. And there will be zeroes in the positions corresponding to the numbers that aren’t used. So now we know that our number must contain at least three zeroes – which also means that the leading digit must be 3 or greater.
Cela nous indique une autre chose importante : le nombre ne peut pas avoir trop de gros chiffres. Par exemple, s'il avait un 6 et un 7, un certain chiffre devrait apparaître 6 fois, et un autre 7 sept fois, ce qui ferait plus de 10 chiffres. Nous pouvons conclure qu'il ne peut pas y avoir plus d'un chiffre supérieur à 5 dans la séquence entière. Donc, entre les quatre chiffres 6, 7, 8, et 9, uniquement un seul sera qualifié, au plus. Et il y aura des zéros dans les positions correspondant aux nombres non-utilisés. Nous savons donc que notre nombre doit contenir au moins trois zéros, ce qui signifie que le premier chiffre doit être un 3 au minimum.
Now, while this first digit counts the number of zeroes, every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs. If we add together all the digits besides the first one – and remember, zeroes don’t increase the sum – we get a count of how many non-zero digits appear in the sequence, including that leading digit. For example, if we try this with the first code, we get 2 plus 1 equals 3 digits. Now, if we subtract one, we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit – two, in our example.
Ainsi, pendant que le premier chiffre compte le nombre de zéros, les suivants comptent les occurrences d'un chiffre non-nul spécifique. Si l'on ajoute tous les chiffres excepté le premier, - souvenez-vous, les zéros n'augmentent pas la somme - on obtient le nombre de chiffres non-nuls dans la séquence, le premier chiffre inclus. Par exemple, essayons ceci avec le premier code, nous avons 2 plus 1, égal 3 chiffres. Ainsi, si l'on soustrait 1, nous avons le nombre de chiffres non-nuls présents après le premier chiffre ; deux, dans notre exemple.
Why go through all that? Well, we now know something important: the total quantity of non-zero digits that occur after the first digit is equal to the sum of these digits, minus one. And how can you get a distribution where the sum is exactly 1 greater than the number of non-zero positive integers being added together? The only way is for one of the addends to be a 2, and the rest 1s. How many 1s? Turns out there can only be two – any more would require additional digits like 3 or 4 to count them.
Pourquoi passer tout cela en revue ? Bien, nous savons maintenant une chose importante : la quantité totale de chiffres non-nuls situés après le premier chiffre est égale à la somme de ces chiffres, moins un. Et comment obtenir une distribution dont la somme est juste supérieure de 1 au nombre d'entiers naturels non-nuls ajoutés ensemble ? La seule manière est qu'un des termes à ajouter soit 2, et que le reste soit des 1. Combien de 1 ? Il ne peut y en avoir que 2, - en avoir plus nécessiterait des chiffres en plus comme 3 ou 4 pour les compter -
So now we have the leading digit of 3 or greater counting the zeroes, a 2 counting the 1s, and two 1s – one to count the 2s and another to count the leading digit. And speaking of that, it’s time to find out what the leading digit is. Since we know that the 2 and the double 1s have a sum of 4, we can subtract that from 10 to get 6. Now it’s just a matter of putting them all in place: 6 zeroes, 2 ones, 1 two, 0 threes, 0 fours, 0 fives, 1 six, 0 sevens, 0 eights, and 0 nines.
Nous avons donc le premier chiffre, 3 ou plus, qui compte les zéros, un 2 qui compte les 1, et deux 1, un pour compter les 2, et l'autre pour compter le premier chiffre. En parlant de ça, il est temps de découvrir quel est le premier chiffre. Comme nous savons que le 2 et le double 1 ont leur somme égale à 4, nous pouvons soustraire ceci de 10 pour obtenir 6. Ainsi, il suffit maintenant de les placer correctement : six 0, deux 1, un 2, zéro 3, zéro 4, zéro 5, un 6, zéro 7, zéro 8, et zéro 9.
The safe swings open, and inside you find... Da Vinci’s long-lost autobiography.
Le coffre-fort s'ouvre et à l'intérieur, vous trouvez... l'autobiographie de Léonard de Vinci, perdue depuis longtemps.