You’ve found Leonardo Da Vinci’s secret vault, secured by a series of combination locks. Fortunately, your treasure map has three codes: 1210, 3211000, and… hmm. The last one appears to be missing. Looks like you’re gonna have to figure it out on your own.
شما سردابه مخفی لئوناردو داوینچی را پیدا کردهاید، که با مجموعهای از قفلهای ترکیبی بسته شده است. خوشبختانه، نقشه گنج شما سه رمز دارد: ۱۲۱۰، ۳۲۱۱۰۰۰، و ... همم. انگار آخری پاک شده است. مثل اینکه باید خودتان آخری را پیدا کنید.
There’s something those first two numbers have in common: they’re what’s called autobiographical numbers. This is a special type of number whose structure describes itself. Each of an autobiographical number’s digits indicates how many times the digit corresponding to that position occurs within the number. The first digit indicates the quantity of zeroes, the second digit indicates the number of ones, the third digit the number of twos, and so on until the end.
چیزی بین آن دو عدد اول مشترک است: آنها اعداد خودیادآور هستند. این گونه خاصی از اعداد است که ساختار آن خودش را توصیف میکند. هر رقم یک عدد خودیادآور نشان دهنده تعداد باری است که رقم مربوط به آن جایگاه در کل عدد تکرار شده است. اول رقم تعداد صفرها را نشان میدهد، دومین عدد تعداد یکها را نشان میدهد، و سومین رقم تعداد دوها را و به همین ترتیب تا انتها.
The last lock takes a 10 digit number, and it just so happens that there’s exactly one ten-digit autobiographical number. What is it? Pause here if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1
آخرین قفل یک عدد ۱۰ رقمی میخواهد، و از قضا فقط یک عدد خودیادآور ده رقمی وجود دارد. آن چیست؟ اگر میخواهید خودتان آن را پیدا کنید ویدیو را اینجا توقف کنید! جواب در: ۳ جواب در: ۲ جواب در: ۱
Blindly trying different combinations would take forever. So let’s analyze the autobiographical numbers we already have to see what kinds of patterns we can find. By adding all the digits in 1210 together, we get 4 – the total number of digits. This makes sense since each individual digit tells us the number of times a specific digit occurs within the total. So the digits in our ten-digit autobiographical number must add up to ten.
اگر بخواهید کورکورانه ترکیبها را امتحان کنید تا ابد طول میکشد. پس بیایید عددهایی که داریم را تحلیل کنیم ببینیم چه الگوهایی پیدا میکنیم. با جمع کردن تمام ارقام ۱۲۱۰، به ۴ میرسیم - تعداد رقمها. جور در میآید چون هر رقم مجزا به ما میگوید یک عدد خاص چند بار تکرار شده است. پس جمع ارقام عدد خودیادآور ده رقمی ما باید برابر با ده شود.
This tells us another important thing – the number can’t have too many large digits. For example, if it included a 6 and a 7, then some digit would have to appear 6 times, and another digit 7 times– making more than 10 digits. We can conclude that there can be no more than one digit greater than 5 in the entire sequence. So out of the four digits 6, 7, 8, and 9, only one – if any-- will make the cut. And there will be zeroes in the positions corresponding to the numbers that aren’t used. So now we know that our number must contain at least three zeroes – which also means that the leading digit must be 3 or greater.
این یک نکته مهم دیگر را روشن میکند - عدد نمیتواند تعداد زیادی رقم بالا داشته باشد. برای مثال، اگر هم ۶ داشته باشد هم ۷، آنگاه یک رقم باید ۶ بار، و دیگری ۷ بار تکرار شده باشد - که بیشتر از ۱۰ میشود. پس میتوانیم نتیجه بگیریم که فقط یک رقم بیشتر از ۵ میتواند در کل دنباله وجود داشته باشد. پس از بین ۶، ۷، ۸، و ۹، فقط یکی -- آن هم شاید -- در عدد ما میآید. و به جای اعدادی که استفاده نمیشوند صفر قرار میگیرید. پس حالا میدانیم که عدد ما باید حداقل سه صفر داشته باشد - که یعنی عدد اول هم باید ۳ یا بیشتر باشد.
Now, while this first digit counts the number of zeroes, every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs. If we add together all the digits besides the first one – and remember, zeroes don’t increase the sum – we get a count of how many non-zero digits appear in the sequence, including that leading digit. For example, if we try this with the first code, we get 2 plus 1 equals 3 digits. Now, if we subtract one, we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit – two, in our example.
حالا، از آنجا که این رقم اول شمارنده صفرها است، هر رقم بعد از آن نشان میدهد یک عدد غیر صفر چند بار تکرار شده است. اگر باهم جمع بزنیم همه رقمها غیر از اولی - و یادتان باشد ، صفرها جمع را زیاد نمیکنند - تعداد ارقام غیر صفر موجود در دنباله را خواهیم داشت، از جمله همان رقم اول. برای مثال، ۲ به اضافه ۱ میشود ۳ رقم. حالا اگر یک را کم کنیم، تعداد ارقام غیر صفر بعد از رقم اول را خواهیم داشت - دو، در اینجا.
Why go through all that? Well, we now know something important: the total quantity of non-zero digits that occur after the first digit is equal to the sum of these digits, minus one. And how can you get a distribution where the sum is exactly 1 greater than the number of non-zero positive integers being added together? The only way is for one of the addends to be a 2, and the rest 1s. How many 1s? Turns out there can only be two – any more would require additional digits like 3 or 4 to count them.
چرا این همه را گفتیم؟ خوب، حالا چیز خیلی مهمی میدانیم: جمع کل ارقام غیر صفر که بعد از رقم اول قرار میگیرند برابر با جمع آن ارقام است منهای یک. و چطور میتوانید توزیعی داشته باشید که مجموع دقیقا یکی بیشتر از مجموع تعداد ارقام مثبت غیر صفر باشد؟ تنها راه این است که یکی از اعدادی که با هم جمع میشوند ۲، و بقیه ۱ باشند. چند ۱؟ مشخص میشند که فقط دو تا میتواند باشد - و بیشتر مستلزم وجود ارقامی مانند ۳ یا ۴ است.
So now we have the leading digit of 3 or greater counting the zeroes, a 2 counting the 1s, and two 1s – one to count the 2s and another to count the leading digit. And speaking of that, it’s time to find out what the leading digit is. Since we know that the 2 and the double 1s have a sum of 4, we can subtract that from 10 to get 6. Now it’s just a matter of putting them all in place: 6 zeroes, 2 ones, 1 two, 0 threes, 0 fours, 0 fives, 1 six, 0 sevens, 0 eights, and 0 nines.
پس حالا رقم اول را داریم که ۳ یا بیشتر از آن است که تعداد صفرها را نشان میدهد، یک ۲ که ۱ ها را میشمارد، و دو ۱ - یکی برای شمردن ۲ ها و دیگری برای شمردن رقم ابتدایی. و حالا که حرف آن شد، وقت آن رسیده که رقم ابتدایی را پیدا کنیم. از آنجا که میدانیم مجموع ۲ و دو تا ۱ میشود ۴، میتوانیم آن را از ۱۰ کم کنیم و به ۶ برسیم. حالا فقط این مانده که آنها را سر جای خود بگذاریم: ۶ صفر، ۲ یک، ۱ دو، ۰ سه، ۰ چهار، ۰ پنج، ۱ شش، ۰ هفت، ۰ هشت، و ۰ نه.
The safe swings open, and inside you find... Da Vinci’s long-lost autobiography.
در باز میشود و پشت آن ... خودزیستنامه داوینچی را پیدا میکنید که مدتها بود گم شده بود.