Открили сте тайната съкровищница на Леонардо да Винчи, обезопасенa от серия ключалки с код. За щастие, картата към съкровището ви има три кода: 1210, 3211000 и ...ъъъм. Последният изглежда липсва. Изглежда ще трябва да го измислите сами.
You’ve found Leonardo Da Vinci’s secret vault, secured by a series of combination locks. Fortunately, your treasure map has three codes: 1210, 3211000, and… hmm. The last one appears to be missing. Looks like you’re gonna have to figure it out on your own.
Първите две числа имат нещо общо: те са така наречените автобиографични числа. Това са специален тип числа, чиято структура ги описва. Всяка от цифрите на автобиографичните числа, показва колко пъти цифрата на тази позиция се повтаря в числото. Първата цифра показва броя на нулите, втората цифра показва броя на единиците, третата цифра броя на двойките и така нататък до края.
There’s something those first two numbers have in common: they’re what’s called autobiographical numbers. This is a special type of number whose structure describes itself. Each of an autobiographical number’s digits indicates how many times the digit corresponding to that position occurs within the number. The first digit indicates the quantity of zeroes, the second digit indicates the number of ones, the third digit the number of twos, and so on until the end.
Последната ключалка е за десетцифрено число, и така се оказва, че има точно едно десет цифрено автобиографично число. Кое е то? Спрете видеото тук ако искате сами да помислите! Отговор след: 3 Отговор след: 2 Отговор след: 1
The last lock takes a 10 digit number, and it just so happens that there’s exactly one ten-digit autobiographical number. What is it? Pause here if you want to figure it out for yourself! Answer in: 3 Answer in: 2 Answer in: 1
Сляпото пробване нa различни комбинации ще отнеме цяла вечност. Така че нека анализираме автобиографичните числа, които имаме, за да видим какви модели можем да намерим. Чрез събиране на всички цифри в 1210 заедно, получаваме 4 - тоталния брой на цифрите. В това има логика, тъй като всяка индивидуална цифра ни казва броя пъти конкретна цифра се среща в цялото. Така че цифрите в нашето десетцифрено автобиографично число трябва да се сумират до десет.
Blindly trying different combinations would take forever. So let’s analyze the autobiographical numbers we already have to see what kinds of patterns we can find. By adding all the digits in 1210 together, we get 4 – the total number of digits. This makes sense since each individual digit tells us the number of times a specific digit occurs within the total. So the digits in our ten-digit autobiographical number must add up to ten.
Това ни казва друго важно нещо - числото не може да има твърде много големи цифри. Например, ако включва 6 или 7, тогава някоя цифра ще трябва да се появи 6 пъти, а друга цифра 7 пъти - което е повече от 10 цифри. Можем да заключим, че може да има не повече от една цифра, по-голяма от 5 в цялото число. Така че от четирите числа 6, 7, 8 и 9, само едно - ако изобщо - би могло да влезе. И ще има нули на позициите отговарящи на тези числа, които не се ползват. Така че сега знаем, че нашето число, трябва да съдържа поне три нули - което значи, че първата цифра трябва да е 3 или по-голяма.
This tells us another important thing – the number can’t have too many large digits. For example, if it included a 6 and a 7, then some digit would have to appear 6 times, and another digit 7 times– making more than 10 digits. We can conclude that there can be no more than one digit greater than 5 in the entire sequence. So out of the four digits 6, 7, 8, and 9, only one – if any-- will make the cut. And there will be zeroes in the positions corresponding to the numbers that aren’t used. So now we know that our number must contain at least three zeroes – which also means that the leading digit must be 3 or greater.
И така, ако първата цифра брои нулите, всяка цифра след това, брои колко пъти конкретна ненулева цифра се среща. Ако съберем всички цифри без първата - и спомнете си, нулите не увеличават сумата - ще получим колко ненулеви цифри ще се появят в числото, включително първата цифра. Например, ако пробваме това с първия код, имаме 2 плюс 1 прави 3 цифри. Сега, ако извадим едно, получаваме броя на ненулевите цифри, след първата цифра - две, в нашия пример.
Now, while this first digit counts the number of zeroes, every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs. If we add together all the digits besides the first one – and remember, zeroes don’t increase the sum – we get a count of how many non-zero digits appear in the sequence, including that leading digit. For example, if we try this with the first code, we get 2 plus 1 equals 3 digits. Now, if we subtract one, we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit – two, in our example.
Защо да минаваме през всичко това? Ами сега вече знаем нещо важно: че сумарния брой ненулеви цифри, които се срещат след първата цифра, е равен на сумата от тези цифри, минус едно. А как можем да получим разпределение, в което сумата е точно с едно по-голяма от сбора на ненулевите положителни цели числа? Единственият вариант е едно от събираемите да е 2, а останалите 1-ци. Колко единици? Оказва се, че могат да са само две - всяка повече ще изиска допълнителни цифри като 3 и 4, за да се преброят.
Why go through all that? Well, we now know something important: the total quantity of non-zero digits that occur after the first digit is equal to the sum of these digits, minus one. And how can you get a distribution where the sum is exactly 1 greater than the number of non-zero positive integers being added together? The only way is for one of the addends to be a 2, and the rest 1s. How many 1s? Turns out there can only be two – any more would require additional digits like 3 or 4 to count them.
И така имаме първата цифра 3 или по-голяма брояща нулите, 2-а, брояща единиците, и две единици - една брояща двойките и една да преброи първата цифра. И като говорим за това, време е да установим каква е първата цифра. Тъй като знаем, че двойката и двете единици правят 4, можем да извадим това от 10 и получаваме 6. Сега е въпрос само да ги въведете: 6 нули, 2 единици, 1 двойка, 0 тройки, 0 четворки, 0 петици, 1 шестица, 0 седмици, 0 осмици, и нула девятки.
So now we have the leading digit of 3 or greater counting the zeroes, a 2 counting the 1s, and two 1s – one to count the 2s and another to count the leading digit. And speaking of that, it’s time to find out what the leading digit is. Since we know that the 2 and the double 1s have a sum of 4, we can subtract that from 10 to get 6. Now it’s just a matter of putting them all in place: 6 zeroes, 2 ones, 1 two, 0 threes, 0 fours, 0 fives, 1 six, 0 sevens, 0 eights, and 0 nines.
Сейфът се отваря и вътре намирате... Отдавна изгубената автобиография на Да Винчи.
The safe swings open, and inside you find... Da Vinci’s long-lost autobiography.