I want to start my story in Germany, in 1877, with a mathematician named Georg Cantor. And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line, and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process. So he starts out with one line, and then two, and then four, and then 16, and so on. And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics, he ends up with an infinite number of lines, each of which has an infinite number of points in it. So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity. And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter) And when he came out of the sanitarium, he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory because the largest set of infinity would be God Himself. He was a very religious man. He was a mathematician on a mission.
Мой рассказ начинается в 1877 году в Германии с математика по имени Георг Кантор. Однажды Кантор решил начертить линию, а затем стереть среднюю треть этой линии, а полученные в результате этого две линии подвергнуть такому же рекурсивному процессу. Так что, он начал делать это с одной линией, затем с двумя, с четырьмя, шестнадцатью и так далее. И если бы он проделал это бесконечное число раз, что возможно в математике, у него бы получилось бесконечное число линий, каждая из которых содержала бы в себе бесконечное число точек. Тогда он понял, что получил множество с числом элементов, большим бесконечности. И это просто взорвало его разум. Буквально. Он даже отправился в санаторий. (Смеются) И из санатория он вернулся убеждённым, что был послан на Землю для открытия теории трансфинитных множеств, потому что величайшим множеством бесконечности был бы тогда Сам Бог. Он был очень религиозным человеком. Он был математиком, выполнявшим миссию.
And other mathematicians did the same sort of thing. A Swedish mathematician, von Koch, decided that instead of subtracting lines, he would add them. And so he came up with this beautiful curve. And there's no particular reason why we have to start with this seed shape; we can use any seed shape we like. And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK -- and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure. So these all have the property of self-similarity: the part looks like the whole. It's the same pattern at many different scales.
Подобное проделывали и другие математики. Шведский математик фон Кох решил, что вместо вычитания линий, он будет добавлять их. И так он получил эту красивую кривую. И нет никакой особой причины, почему мы должны начинать только с этой начальной формы; мы можем использовать любую начальную форму на свой вкус. Я перестраиваю это вот так закреплю это где-нибудь – например, вот здесь, ОК - и теперь после повторения, тот вид начальной формы разворачивается в совсем по-другому выглядящую структуру. То есть здесь мы видим свойство самоподобия: это когда часть выглядит как всё целое. Это тот же шаблон во множестве разных масштабов.
Now, mathematicians thought this was very strange because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length. And since they went through the iterations an infinite number of times, as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity. This made no sense at all, so they consigned these curves to the back of the math books. They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them. (Laughter) And that worked for a hundred years.
Тогда математикам это показалось очень странным, ведь с уменьшением линейки, вы измеряете всё большую и большую длину. И если бы они делали такие повторения бесконечное число раз, так бы и линейка уменьшалась до бесконечности, а длина возрастала до бесконечности. В этом не было видно никакого смысла, поэтому они забросили эти кривые подальше в конец книг по математике. Они сказали, что эти кривые патологические, и мы не собираемся их обсуждать. (Смеются) И так продолжалось ещё сотню лет.
And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician, realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals, you get the shapes of nature. You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns, you get these beautiful natural forms. If you take your thumb and your index finger and look right where they meet -- go ahead and do that now -- -- and relax your hand, you'll see a crinkle, and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right? Your body is covered with fractals. The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes? They were breathing those words with fractal lungs. It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here. Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape. So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.
Пока в 1977 году французский математик Бенуа Мандельброт не догадался, что если при работе с компьютерной графикой использовать формы, названные им фракталами, можно получить формы из природы. Так можно получить человеческие лёгкие, акации, папоротники, все эти красивые природные формы. Если вы возьмёте свой большой и указательный пальцы, и посмотрите в месте их сопряжения - давайте, проделайте это сейчас - - расслабьте свою руку, вы увидите изгиб, а затем складку внутри изгиба, потом изгиб внутри складки. Так ведь? Ваше тело покрыто фракталами. И об этом математики говорили как о патологически бесполезных формах? Да они выдыхали эти слова через фрактальные лёгкие. В этом есть большая ирония. Сейчас я покажу вам небольшую естественную рекурсию. Снова, мы только возьмём эти линии и рекурсивно заменим их целой формой. Так получим второе повторение, третье, четвёртое и так далее.
So nature has this self-similar structure. Nature uses self-organizing systems. Now in the 1980s, I happened to notice that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals. And I thought, "This is fabulous! I wonder why?" And of course I had to go to Africa and ask folks why. So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year asking people why they were building fractals, which is a great job if you can get it. (Laughter)
В природе мы видим ту же самоподобную структуру. Природа использует самоорганизующиеся системы. В 80-х годах прошлого века я впервые заметил, что если взглянуть на фотографию с воздуха на африканскую деревню, то можно увидеть фракталы. И я подумал: "Это же изумительно! Интересно, почему так?" И конечно, мне пришлось отправиться в Африку, чтобы расспросить местный народ об этом Так я получил стипендию Фулбрайта просто чтобы путешествовать весь год по Африке, спрашивая людей, зачем они строят фракталы, и это крутая работа, если конечно вы сможете её получить. (Смеются)
And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city just to see how it would sort of unfold -- but when I got there, I got to the palace of the chief, and my French is not very good; I said something like, "I am a mathematician and I would like to stand on your roof." But he was really cool about it, and he took me up there, and we talked about fractals. And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle, we know all about that." And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle, and the path through that palace is actually this spiral here. And as you go through the path, you have to get more and more polite. So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling; it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.
В конце концов я добрался до того города, и сделал маленькую фрактальную модель для него, чтобы увидеть, как он будет располагаться и разворачиваться - но когда я добрался туда, то попал во дворец вождя, а мой французский не был очень хорош; я сказал что-то вроде: "Я математик, и мне бы хотелось встать на вашу крышу". Но он оказался классным парнем, и отвёл меня туда, и когда мы говорили о фракталах, он сказал: "О да, да! Мы знали о треугольнике внутри треугольника, мы знаем всё об этом". Оказалось, что королевская эмблема содержит треугольник внутри треугольника внутри треугольника, и что проход через дворец на самом деле спиральный. И пока ты идёшь по проходу, становишься все более вежливым и сговорчивым. Так они отображают социальное деление в геометрическом соотношении; это сознательный узор. Это не бессознательный, как фрактально строятся термитники.
This is a village in southern Zambia. The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter. You have a huge ring. The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back, and then you have the chief's ring here towards the back and then the chief's immediate family in that ring. So here's a little fractal model for it. Here's one house with the sacred altar, here's the house of houses, the family enclosure, with the humans here where the sacred altar would be, and then here's the village as a whole -- a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here, and here there's a tiny village only this big. Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big? That's because they're spirit people. It's the ancestors. And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right? So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.
Это деревня в южной Замбии. Деревня Ба-лла имеет 400 метров в диаметре. Это такое большое кольцо. Кольцо, представляющее границы семьи становится шире и шире, когда вы идёте по направлению к краю, и там вы находите кольцо вождя, которое тоже направлено к краю, а там - семья вождя в этом кольце. Вот небольшая фрактальная модель этого. Вот дом со священным алтарём, а здесь дом домов, семейная граница, с людьми, находящимися там, где должен быть священный алтарь, и вот уже вся деревня как целое - кольцо кольца колец с расширенным семейством вождя здесь, с близким семейством вождя здесь, и здесь есть маленькая деревня, только как эта большая. Теперь вы можете удивиться, как люди могут уместиться в маленькой деревне, подобной большой? Это потому что они люди-духи. Это предки. И конечно же люди-духи имеют маленькую миниатюрную деревню внутри своей деревни, правильно? Так, как и сказал Георг Кантор: рекурсия продолжается вечно.
This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek. I saw this diagram drawn by a French architect, and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!" So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing. I came up with this structure here. Let's see, first iteration, second, third, fourth. Now, after I did the simulation, I realized the whole village kind of spirals around, just like this, and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal. Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at. So, when I got to the village, I said, "Can you take me to the square building? I think something's going on there." And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year to keep up those annual cycles of fertility for the fields." And I started to realize that the cycles of fertility were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this. And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.
Это горы Мандара, рядом с нигерийской границей Камеруна, Мокулек. Я видел эту диаграмму, нарисованную французским архитектором, и я подумал: "Ого! Какой прекрасный фрактал!" И я попытался исходя из начальной формы, через повторение развернуть её вот в такое. И в конце получил такую структуру. Посмотрим, вот первое повторение, второе, третье, четвёртое. Теперь, после того, как я сделал симуляцию, я понял, что вся деревня состоит из спиралей, вот как здесь, и здесь эта повторяющаяся линия - самоповторяющаяся линия, которая развёртывается во фрактал. И я заметил, что линия идёт вокруг единственного квадратного здания в деревне.. Так что, когда я пришёл в деревню, я спросил: "Вы можете привести меня к квадратному зданию? Я думаю, там что-то происходит". И они ответили: "Ну, мы можем привести тебя туда, но ты не сможешь войти внутрь, потому что там священный алтарь, где мы ежедневно совершаем жертвоприношения для поддержания ежегодных циклов плодородия полей". И я начал понимать, что эти циклы плодородия были такими же, как рекурсивные циклы в геометрическом алгоритме, их выстраивающем. И рекурсия в некоторых таких деревнях продолжается так до очень маленьких размеров.
So here's a Nankani village in Mali. And you can see, you go inside the family enclosure -- you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively. Here's calabashes that Issa was just showing us, and they're stacked recursively. Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul. And when she dies, they have a ceremony where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity. Once again, infinity is important.
Вот деревня Нанкани в Мали. И вы видите, входя в семейные границы - вы заходите внутрь, и здесь тоже горшки в очаге расставлены рекурсивно. Эти калебасы, которые нам показывает Исса, они расставлены рекурсивно. Здесь самый маленький калебас хранит душу женщины. И когда она умирает, у них есть церемония, когда они разбивают эту стопку под названием заланга, и тогда её душа отправляется в вечность. Ещё раз, бесконечность - это важно.
Now, you might ask yourself three questions at this point. Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture? And that was actually my original hypothesis. When I first saw those African fractals, I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society, that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture." But that turns out not to be true.
Теперь вы можете задать себе три вопроса. Являются ли такие масштабные шаблоны просто универсальными для всей туземной архитектуры? И вот в чём на самом деле состоит моя оригинальная гипотеза. Когда я впервые увидел эти африканские фракталы, то подумал: "Ух ты, таким образом, каждый коренной народ, не имеющий государственного общества, такого рода иерархии, должен иметь восходящего типа архитектуру". Но выяснилось, что это не так.
I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture; only the African ones were fractal. And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use. So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry. You can see on the pottery and the baskets. Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins; you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right? It is not the same pattern at two different scales.
Я начал собирать аэрофотографии архитектуры коренной Америки и Южнотихоокеанского региона, но только в Африке были фракталы. И если вы задумаетесь над этим, все эти различные общества использовали различный геометрический дизайн. Так, коренные американцы использовали комбинацию круговой симметрии и четырёхкратной симметрии. Это можно видеть на горшках и корзинах. Это аэрофотография одних из руин Анасази; они круговые при самом большом масштабе, но прямоугольные при малом масштабе, вы видите? Это не один и тот же узор в двух разных масштабах.
Second, you might ask, "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?" And three times, the answer is no. First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa," that Africa is an artificial invention of first colonialism, and then oppositional movements. No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture -- and it definitely is not "in the DNA." And finally, the fractals have self-similarity -- so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other -- you see very different uses for fractals. It's a shared technology in Africa.
Во-вторых, вы можете спросить, "Хорошо, д-р Эглэш, а вы не игнорируете многообразия африканских культур?" И трижды скажу, мой ответ - нет. Для начала, я согласен с чудесной книгой Мудимбе "Изобретение Африки", о том, что Африка - это искусственное изобретение раннего колониализма, а затем и оппозиционных движений. Нет, потому что совместно используемая методика дизайна не обязательно говорит о единстве культуры - и это определённо не заключено в ДНК. И наконец, фракталы самоподобны - так что они подобны себе самим, но не обязательно подобны друг другу - вы можете увидеть совершенно различные виды фракталов. Это общая технология в Африке.
And finally, well, isn't this just intuition? It's not really mathematical knowledge. Africans can't possibly really be using fractal geometry, right? It wasn't invented until the 1970s. Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition. So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?" and they'd say, "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter) But sometimes, that's not the case. In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms. So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry. In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.
Ну и наконец, не является ли это просто интуицией? Это не совсем математическое знание. Африканцы же не могли на самом деле использовать знания фрактальной геометрии, ведь так? Она не была открыта до 70-х годов ХХ века. Да, действительно я пришёл к тому, что некоторые африканские фракталы основаны на чистой интуиции. Точно также, прохаживаясь по улицам Дакара я бы спрашивал людей: "В чём алгоритм? По каким правилам это делалось?" и они бы сказали: "Ну, мы просто сделали так, потому что это смотрелось мило, дурачок". (Смеётся) Но иногда это не так. В некоторых случаях, на самом деле могут быть алгоритмы, и очень сложные алгоритмы. Так в скульптуре Мангету вы можете видеть рекурсивную геометрию. В эфиопских крестах вы можете видеть эту чудесную разворачивающуюся форму.
In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand, and it's what the German mathematician Euler called a graph; we now call it an Eulerian path -- you can never lift your stylus from the surface and you can never go over the same line twice. But they do it recursively, and they do it with an age-grade system, so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one, then the next age-grade initiation, you learn this one. And with each iteration of that algorithm, you learn the iterations of the myth. You learn the next level of knowledge.
В Анголе народ Чокве рисует линии на песке, и это то, что немецкий математик Эйлер назвал "граф"; сейчас это называется Эйлеров путь, когда при начертании вам нельзя отрывать своё перо от поверхности и вы никогда не можете провести по одной и той же линии дважды. Но они это делали рекурсивно, и они это делали по системе возрастной градации, так что сначала маленькие дети изучали это, потом старшие дети - это, и затем при следующей возрастной инициации вы изучали вот это. И с каждым повторением данного алгоритма, вы изучали повторение мифа. Вы изучали новый уровень знания.
And finally, all over Africa, you see this board game. It's called Owari in Ghana, where I studied it; it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere. Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game. And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns and would use them strategically. So this is very conscious knowledge.
И наконец, по всей Африке вы найдёте такую настольную игру. В Гане она называлась Овари, когда я ей учился; она называлась Манкала здесь, на восточном побережье, Бао - в Кении, и Сого где-то ещё. Итак, вы видите самоорганизующиеся шаблоны, которые самопроизвольно возникают в этой игре. И народ в Гане знал об этих самоорганизующихся шаблонах, и могли использовать их стратегически. Это осознанное знание.
Here's a wonderful fractal. Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen. And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear. But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences. So I tracked down one of the folks who makes these things, this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him, "How come you're making fractal fences? Because nobody else is." And his answer was very interesting. He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw because they're very quick and they're very cheap. It doesn't take much time, doesn't take much straw." He said, "but wind and dust goes through pretty easily. Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust. But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight." "Now," he said, "we know from experience that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows." Right? It's just like a cost-benefit analysis. And I measured out the lengths of straw, put it on a log-log plot, got the scaling exponent, and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height in the wind engineering handbook. So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.
Вот это чудесный фрактал. Куда бы вы не пошли в Сахеле, вы увидите такое заграждение от ветра. Такие заграждения по всему миру картезианские, строго линейные. Но здесь в Африке мы видим нелинейные масштабирующиеся ограды. Я отыскал одного из ребят, кто сооружал такое, этот парень из Мали недалеко от Бамако, и я спросил его: "Как ты делаешь такие фрактальные изгороди? Потому что никто больше так не делает". И его ответ был очень интересным. Он сказал: "Ну, если бы я жил в джунглях, я бы использовал только длинные ряды соломы, потому что это очень быстро и очень дёшево. Это не требует много времени и много соломы". Он сказал: "Но ветер и пыль свободно пройдёт через него. А вот такое заграждение стягивает ряды доверху, так что это реально сдерживает ветер и пыль. Но конечно это занимает много времени, много соломы, чтобы сделать на самом деле плотную ограду". "Теперь" - говорит он, - "мы знаем из опыта, что чем дальше от земли ты поднимаешься, тем сильнее дует ветер". Правильно? Это прямо как анализ стоимости и эффективности. И я замерил длину соломы, построил логарифмический график в двойном масштабе, получил масштабную экспоненту, и она почти полностью совпадала с масштабной экспонентой для соотношения между скоростью ветра и высотой в учебнике для ветряных инженеров. Так что эти ребята правы в своём практическом использовании технологии масштабирования.
The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found was actually not in geometry, it was in a symbolic code, and this was Bamana sand divination. And the same divination system is found all over Africa. You can find it on the East Coast as well as the West Coast, and often the symbols are very well preserved, so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word -- you draw these lines in the sand randomly, and then you count off, and if it's an odd number, you put down one stroke, and if it's an even number, you put down two strokes. And they did this very rapidly, and I couldn't understand where they were getting -- they only did the randomness four times -- I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols. And they wouldn't tell me. They said, "No, no, I can't tell you about this." And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher, and I'll come each day and pay you." They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."
Самый комплексный пример алгоритмического подхода к фракталам, из тех что я нашёл, был на самом деле не в геометрии, а в символическом коде, и это было гадание на песке в Бамане. И такая система гадания обнаруживается по всей Африке. Вы можете встретить её и на Восточном Берегу, и на Западном, и часто символы очень хорошо сохранены, так что каждый из этих символов имеет четыре бита - это четырёхбитное бинарное слово - вы рисуете эти линии на песке наугад, а затем считаете их, и если это нечётное число, вы записываете один штрих, а если это чётное число, то записываете два штриха. Они делали это очень быстро, и я не мог понять, откуда же они всё получали - ведь они рисовали наугад только четыре раза - я не мог понять, откуда они берут другие 12 символов. А они не говорили мне как. Они говорили: "Нет, нет, я не могу тебе говорить об этом". И я сказал: "Ну хорошо, я заплачу тебе, ты мог бы быть моим учителем, и я бы приходя каждый день платил тебе". Но они отвечали: "Это не имеет денежной ценности. Это религиозная ценность".
And finally, out of desperation, I said, "Well, let me explain Georg Cantor in 1877." And I started explaining why I was there in Africa, and they got very excited when they saw the Cantor set. And one of them said, "Come here. I think I can help you out here." And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest. And of course, I was only interested in the math, so the whole time, he kept shaking his head going, "You know, I didn't learn it this way." But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand, and give seven coins to seven lepers and so on. And finally, he revealed the truth of the matter. And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos. When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways. So even plus odd gives you odd. Odd plus even gives you odd. Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even. It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer. And then you take this symbol, and you put it back in so it's a self-generating diversity of symbols. They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this. Now, because it's a binary code, you can actually implement this in hardware -- what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.
И наконец, в отчаянии, я сказал: "Хорошо, дайте мне объяснить идеи Георга Кантора в 1877 году". И я начал объяснять, зачем я был там в Африке, и они очень взволновались, когда увидели множество Кантора. И один из них сказал: "Подойди. Я думаю, что могу помочь тебе". И так он провёл меня через ритуал инициации жреца Баманы. Ну конечно, меня интересовала только математика, так что он всё время продолжал трясти своей головой: "Ты знаешь, я учился этому иначе". Но мне пришлось спать, зарывая орех колы рядом с моей кроватью в песок, и дать семь монет семи прокажённым, и так далее. И наконец, он открыл правду значения. Оказывается, это псевдослучайный числовой генератор с использованием детерминированного хаоса. Когда у вас есть четырёхбитный символ, вы составляете его с другим по сторонам. Так чётное плюс нечётное даёт нечётное. Нечётное плюс чётное даёт нечётное. Чётное плюс чётное даёт чётное. Нечётное плюс нечётное даёт чётное. Это сложение по модулю 2, прямо как проверка четности бита в вашем компьютере. Затем вы берёте этот символ, и вводите его снова, так что получается самосоздающееся разнообразие символов. Они на самом деле используют некий детерминированный хаос для этого. Теперь, так как это двоичный код, мы действительно можете применить это в технике - какой же фантастический инструмент для обучения должен быть в африканских технических школах!
And the most interesting thing I found out about it was historical. In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain. And there it entered into the alchemy community as geomancy: divination through the earth. This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390. Leibniz, the German mathematician, talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria." And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes, let's use a one and a zero, and we can count by powers of two." Right? Ones and zeros, the binary code. George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra, and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer. So all these little PDAs and laptops -- every digital circuit in the world -- started in Africa. And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers, but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno. (Laughter) (Applause)
И самое интересное, что я нашёл - это часть истории. В 12 веке Уго Санталия привёз нечто от исламских мистиков в Испанию. И там оно вошло в алхимическое сообщество как геомантия: гадание по земле. Эта карта геомантии нарисована для короля Ричарда Второго в 1390 году. Немецкий математик Лейбниц говорил о геомантии в своей диссертации под названием "Де Комбинаториа". И он сказал: "Хорошо, вместо использования одного и двух штрихов, давайте использовать единицу и ноль, и мы сможем считать лишь этими двумя". Ведь так? Единицы и нули, двоичный код. Джордж Буль взял двоичный код Лейбница и создал Булеву алгебру, а Джон фон Нейманн взял Булеву алгебру и создал цифровой компьютер. Так что все эти КПК и ноутбуки - да каждая цифровая микросхема в мире - родом из Африки. Знаю, Брайан Ино говорит, что в Африке нет компьютеров; но я не думаю, что Брайан Ино силён в африканской истории. (Апплодисменты)
So let me end with just a few words about applications that we've found for this. And you can go to our website, the applets are all free; they just run in the browser. Anybody in the world can use them. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools, so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web and create their own simulations and their own artifacts. We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino. We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class in comparison with a control group that did not have the software. So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics, that it's not just about singing and dancing. We've started a pilot program in Ghana. We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this; we're very excited about the future possibilities for that.
Так, давайте в заключение я скажу несколько слов о применении всего этого. Вы можете зайти на наш веб-сайт, Все доступные приложения бесплатны, и просто запускаются в браузере. Кто угодно в мире может использовать их. Расширяющееся Участие Национального Научного Фонда по Компьютерным программам недавно наградила нас грантом для создания программируемой версии таких инструментов дизайна, так что надеемся, что через три года каждый сможет зайти в интернет и сотворить свои собственные симуляции со своими собственными фракталами. В США мы сфокусировались на афро-американских студентах, также как и на коренных индейцах и латиноамериканцах. Мы открыли статистически значимые улучшения у детей при использовании этой программы в математических классах по сравнению с контрольной группой, такую программу не имевшей. Так что, это действительно очень успешное обучение детей, у них есть будущее в математике, а не только в пении и танцах. Мы начали пробную программу в Гане, получив небольшой начальный грант, просто посмотреть, как народ будет проявлять желание работать с нами над этим; и мы были очень взволнованы будущими возможностями для этого.
We've also been working in design. I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure, because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village, it doesn't quite fit. Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art. David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture in which he's used some of these fractal structures.
Мы также работали в дизайне. Я ещё не упомянул её имя, моя коллега Керри в Кении высказала одну чудесную идею использования фрактальной структуры для почтовых адресов в деревнях, построенных по фрактальной структуре, потому что, если вы попробуете применить решётчатую почтовую систему на фрактальной деревне, то она не подойдёт. Бернард Тщуми из Колумбийского Университета применял такой дизайн для музея африканского искусства. Дэвид Хьюз из Государственного Университета Огайо написал учебник по архитектуре центральной Африки, где он задействовал некоторые из тех фрактальных строений.
And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization, as we heard earlier, it's in the brain. It's in the -- it's in Google's search engine. Actually, the reason that Google was such a success is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web. It's in ecological sustainability. It's in the developmental power of entrepreneurship, the ethical power of democracy. It's also in some bad things. Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast. And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects, you haven't opened your eyes enough. So we need to think about, as was spoken earlier, the traditional African methods for doing self-organization. These are robust algorithms. These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship -- that are gentle, that are egalitarian. So if we want to find a better way of doing that kind of work, we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms. Thank you.
И наконец, я просто хотел бы отметить саму идею самоорганизации, как мы слышали ранее, это есть в самом мозгу. Это есть и в поисковом движке Гугл. На самом деле, причина, по которой Гугл имела такой успех заключается в том, что они были первыми, кто использовал преимущества свойств самоорганизации в интернете. Это применимо и в экологической устойчивости. Это применимо ко власти, связанной с развитием предпринимательства, этической власти демократии. Но это обнаруживается и в чём-то плохом. Самоорганизация - причина столько скорого распространения ВИЧ. И если вы думаете, что капитализм, который является самоорганизующимся, не несёт разрушительные последствия, то вы ещё не достаточно открыли свои глаза. Так что стоит подумать, как было ранее сказано, о традиционных африканских методах использования самоорганизации. Это здравые алгоритмы. Это способы создания самоорганизации – создания предпринимательства - которые благородны и основаны на равноправии. Так что если мы хотим найти лучший способ делать подобную работу, нам не нужно искать дальше Африки, чтобы найти эти здравые алгоритмы самоорганизации. Спасибо.