I want to start my story in Germany, in 1877, with a mathematician named Georg Cantor. And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line, and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process. So he starts out with one line, and then two, and then four, and then 16, and so on. And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics, he ends up with an infinite number of lines, each of which has an infinite number of points in it. So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity. And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter) And when he came out of the sanitarium, he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory because the largest set of infinity would be God Himself. He was a very religious man. He was a mathematician on a mission.
Opowieść chciałbym zacząć od Niemiec w roku 1877, od matematyka nazwiskiem Georg Cantor. Cantor postanowił dzielić odcinek na trzy części i wymazywać środkową, a potem powtarzać ten sam, rekurencyjny proces dla pozostałych dwóch odcinków. Ma więc najpierw jeden odcinek, potem dwa, potem cztery, szesnaście itd. Jeśli powtórzy to nieskończoną ilość razy, na co matematyka pozwala, dostaje nieskończoną ilość odcinków, z których każdy zawiera nieskończoną liczbę punktów. Zrozumiał, że liczba elementów otrzymanego zbioru jest większa od nieskończoności. Szaleńcza myśl. Dosłownie. *Zgłosił się do zakładu psychiatrycznego. (Śmiech) A kiedy stamtąd wrócił, był przekonany, że urodził się, by odkryć teorię zbiorów pozaskończonych, ponieważ największym zbiorem nieskończonym miałby być sam Bóg. Był bardzo religijny. Miał misję jako matematyk.
And other mathematicians did the same sort of thing. A Swedish mathematician, von Koch, decided that instead of subtracting lines, he would add them. And so he came up with this beautiful curve. And there's no particular reason why we have to start with this seed shape; we can use any seed shape we like. And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK -- and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure. So these all have the property of self-similarity: the part looks like the whole. It's the same pattern at many different scales.
Inni matematycy zrobili rzecz podobną. Szwedzki matematyk, von Koch, zamiast odejmować odcinki postanowił je dodawać. Otrzymał tę piękną krzywą. Nie ma powodu, żeby zaczynać akurat od tego kształtu. Można użyć kształtu, jakiego chcemy. Przestawię to i przesunę, gdzieś -- o tu, OK -- i po kolejnych iteracjach ten początkowy kształt rozrasta się w zupełnie odmienną strukturę. Te krzywe mają własność samopodobieństwa: fragmenty wyglądają, jak całość. Ten sam wzór pojawia się w różnych skalach.
Now, mathematicians thought this was very strange because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length. And since they went through the iterations an infinite number of times, as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity. This made no sense at all, so they consigned these curves to the back of the math books. They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them. (Laughter) And that worked for a hundred years.
Matematycy myśleli, że to bardzo dziwne, bo, gdy pojedynczy odcinek maleje, cała krzywa ma coraz większą długość. A skoro nastąpiło nieskończenie wiele powtórzeń, odcinek nieskończenie maleje, a długość krzywej nieskończenie rośnie. To zupełnie nie miało sensu, więc zesłano te krzywe na koniec podręczników matematycznych. Mówiono, że są to patologiczne krzywe i że nie trzeba ich rozważać. (Śmiech) Było tak przez sto lat.
And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician, realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals, you get the shapes of nature. You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns, you get these beautiful natural forms. If you take your thumb and your index finger and look right where they meet -- go ahead and do that now -- -- and relax your hand, you'll see a crinkle, and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right? Your body is covered with fractals. The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes? They were breathing those words with fractal lungs. It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here. Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape. So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.
Aż w 1977 roku Benoit Mandelbrot, francuski matematyk, uświadomił sobie, że jeśli użyć tych kształtów, nazwanych fraktalnymi, w grafice komputerowej, dostaje się kształty natury. Dostaje się ludzkie płuca, drzewa akacjowe, paprocie, otrzymuje się te piękne, naturalne formy. Gdy popatrzycie na miejsce, gdzie schodzą się kciuk i palec wskazujący -- możecie zrobić to teraz -- -- i rozluźnicie dłoń, zobaczycie bruzdkę, a w niej zmarszczkę, a w tej znów bruzdkę. Widzicie? Nasze ciała są pokryte fraktalami. Matematycy, którzy mówili, że były to bezużyteczne, patologiczne kształty -- wymawiali te słowa dzięki fraktalnym płucom. Ironia losu. Pokażę teraz trochę naturalnej rekurencji. Znów bierzemy te odcinki i rekurencyjnie zastępujemy je całym kształtem. To druga iteracja, trzecia, czwarta itd.
So nature has this self-similar structure. Nature uses self-organizing systems. Now in the 1980s, I happened to notice that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals. And I thought, "This is fabulous! I wonder why?" And of course I had to go to Africa and ask folks why. So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year asking people why they were building fractals, which is a great job if you can get it. (Laughter)
Tę samopodobną strukturę ma przyroda. Używa ona układów samoorganizujących się. W latach 80. spostrzegłem, że jeśli spojrzeć na zdjęcie lotnicze afrykańskiej wioski, widzi się fraktale. Pomyślałem: "To rewelacyjne! Ciekawe, czemu tak jest?" Oczywiście musiałem pojechać do Afryki, zapytać, czemu. Dostałem Stypendium Fulbrighta, by przez rok móc jeździć po Afryce i pytać ludzi, czemu budują fraktale. To świetna praca, polecam. (Śmiech)
And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city just to see how it would sort of unfold -- but when I got there, I got to the palace of the chief, and my French is not very good; I said something like, "I am a mathematician and I would like to stand on your roof." But he was really cool about it, and he took me up there, and we talked about fractals. And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle, we know all about that." And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle, and the path through that palace is actually this spiral here. And as you go through the path, you have to get more and more polite. So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling; it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.
W końcu trafiłem do tego miasta i zrobiłem dla władz model fraktalny, żeby po prostu zobaczyć, jak sytuacja się rozwinie. Ale kiedy przyszedłem do pałacu wodza, powiedziałem mniej więcej, a nie znam zbyt dobrze francuskiego: "Jestem matematykiem i chciałbym wejść na pański dach". Ale jemu się to spodobało i wziął mnie na górę, i rozmawialiśmy o fraktalach. Wtedy powiedział "O, tak, tak! Wiedzieliśmy o prostokącie w prostokącie, wiemy wszystko na ten temat". Okazało się, że królewskie insygnia mają prostokąt w prostokącie w prostokącie, a przejścia pałacowe tworzą spiralę. Kiedy idzie się ku jej centrum, należy być coraz bardziej uprzejmym. Odwzorowują więc skalę społeczną na skali geometrycznej; to świadomy wzór -- nie, jak fraktal termitiery.
This is a village in southern Zambia. The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter. You have a huge ring. The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back, and then you have the chief's ring here towards the back and then the chief's immediate family in that ring. So here's a little fractal model for it. Here's one house with the sacred altar, here's the house of houses, the family enclosure, with the humans here where the sacred altar would be, and then here's the village as a whole -- a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here, and here there's a tiny village only this big. Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big? That's because they're spirit people. It's the ancestors. And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right? So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.
To wioska w południowej Zambii. Plemię Ba-Ila zbudowało tę wioskę o 400-metrowej średnicy. To wielki krąg. Kręgi tworzące rodzinne zagrody stają się większe i większe, gdy idzie się na tył wioski, i tam, na samym tyle, jest krąg wodza, a w nim jego najbliższa rodzina. To skromny model fraktalny tej wioski. Tu jest domostwo ze świętym ołtarzem, tutaj dom domów, rodzinna zagroda, z ludźmi tam, gdzie byłby ołtarz, a to wioska w całości -- krąg z kręgów, z dalszą rodziną wodza tutaj, bliższą rodziną wodza tu, a to taka malutka wioska. Możecie się dziwić, jak ludzie się mieszczą w takiej małej wiosce. To dlatego, że mieszkańcami są duchy. Ich przodkowie. Oczywiście duchy też mają miniaturową wioskę w swojej własnej, prawda? To tak samo, jak u Georga Cantora - rekurencja trwa w nieskończoność.
This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek. I saw this diagram drawn by a French architect, and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!" So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing. I came up with this structure here. Let's see, first iteration, second, third, fourth. Now, after I did the simulation, I realized the whole village kind of spirals around, just like this, and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal. Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at. So, when I got to the village, I said, "Can you take me to the square building? I think something's going on there." And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year to keep up those annual cycles of fertility for the fields." And I started to realize that the cycles of fertility were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this. And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.
To Góry Mandara, przy granicy Kamerunu z Nigerią, w Mokoulek. Widziałem ten plan narysowany przez francuskiego architekta, i pomyślałem "Rany! Cóż za piękny fraktal!" Próbowałem wymyślić kształt początkowy, który rozrastał by się w to coś. Wymyśliłem tę tu strukturę. Zobaczmy -- pierwsza iteracja, druga, trzecia, czwarta. Po zrobieniu symulacji zrozumiałem, że cała wioska zawija się, właśnie tak, a to linia -- samopowielająca się linia, rozrastająca się w fraktal. Zauważyłem, że w miejscu tej linii znajduje się jedyny w wiosce kwadratowy budynek. Więc, gdy dostałem się do wioski, zapytałem: "Czy weźmiecie mnie do kwadratowego budynku?" Pomyślałem, że jest jakiś szczególny. Oni na to: "Możemy cię tam zaprowadzić, ale nie wolno Ci wejść do środka, bo tam jest święty ołtarz, na którym co roku składamy ofiary, żeby podtrzymać coroczne cykle płodności upraw". Zdałem sobie sprawę, że cykle płodności odpowiadały rekurencyjnym cyklom geometrycznego algorytmu, który to stworzył. Rekurencja w niektórych z tych wiosek dochodzi do niezwykle małych skal.
So here's a Nankani village in Mali. And you can see, you go inside the family enclosure -- you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively. Here's calabashes that Issa was just showing us, and they're stacked recursively. Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul. And when she dies, they have a ceremony where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity. Once again, infinity is important.
To wioska Nankani w Mali. Przy wejściu do rodzinnego domostwa można zobaczyć, jak w środku, przy ognisku ułożone są rekurencyjnie naczynia. Tu widać tykwy, która pokazywał nam Issa Diabate, które też ułożone są rekurencyjnie. Najmniejsza tykwa zawiera duszę kobiety. Kiedy ona umrze, odbywa się ceremonia, podczas której rozbija się ten stos, zwany "zalanga", a jej dusza odchodzi do wieczności. Ponownie ważna jest nieskończoność.
Now, you might ask yourself three questions at this point. Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture? And that was actually my original hypothesis. When I first saw those African fractals, I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society, that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture." But that turns out not to be true.
W tym miejscu można sobie zadać trzy pytania. Czy takie skalujące się wzory nie są uniwersalne dla wszystkich lokalnych architektonik? To była moja pierwotna hipoteza. Gdy pierwszy raz zobaczyłem te fraktale z Afryki, pomyślałem "Niezwykłe! Czyli każda grupa tubylcza bez społeczeństwa państwowego, bez tej hierarchii, posiada taką wstępującą architekturę". Ale to okazuje się nie być prawdą.
I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture; only the African ones were fractal. And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use. So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry. You can see on the pottery and the baskets. Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins; you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right? It is not the same pattern at two different scales.
Zbierałem zdjęcia lotnicze budownictwa indiańskiego i ludów Południowego Pacyfiku -- i tylko afrykańskie jest fraktalne. Gdy na to spojrzeć, wszystkie te społeczności używają różnych motywów geometrycznych Tak więc, Indianie używają połączenia symetrii obrotowej i symetrii krzyżowej. Widać to na wyrobach garncarskich i koszach. To jest zdjęcie lotnicze ruin osiedla Anasazi. Widać, że jest okrągła w dużej skali, ale prostokątna w małej, prawda? To nie jednakowy wzór w różnych skalach.
Second, you might ask, "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?" And three times, the answer is no. First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa," that Africa is an artificial invention of first colonialism, and then oppositional movements. No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture -- and it definitely is not "in the DNA." And finally, the fractals have self-similarity -- so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other -- you see very different uses for fractals. It's a shared technology in Africa.
Po drugie, można spytać: "Dr. Eglash, czy nie zapomina Pan o różnorodności kultur afrykańskich?" Po trzykroć -- nie. Po pierwsze, zgadzam się ze wspaniałą książką Mudimbego "The invention of Africa", mówiącej, że Afryka jest sztucznym wytworem pierwszej fali kolonializmu i późniejszych przeciwstawiających się jej ruchów. Nie, ponieważ wspólne wzory projektowe nie oznaczają jednolitej kultury -- i na pewno nie jest to zapisane w DNA. I wreszcie, fraktale są samopodobne -- są więc podobne do siebie samych, ale nie do siebie nawzajem -- różnych zastosowań fraktali jest mnóstwo. To wspólna dla Afryki technologia.
And finally, well, isn't this just intuition? It's not really mathematical knowledge. Africans can't possibly really be using fractal geometry, right? It wasn't invented until the 1970s. Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition. So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?" and they'd say, "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter) But sometimes, that's not the case. In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms. So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry. In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.
I w końcu, czy nie jest to zwykła intuicja? To nie jest ścisła wiedza matematyczna. Niemożliwe, żeby Afrykanie używali geometrii fraktalnej, prawda? Nie została wynaleziona do lat 1970. To prawda, niektóre fraktale w Afryce polegają na czystej intuicji. Gdy na przykład błąkałem się po ulicach Dakaru, pytając ludzi "Jaki jest algorytm? Jakimi zasadami się to rządzi?", oni odpowiadali "No, robimy to w ten sposób, bo to ładnie wygląda, ot tak". (Śmiech) Ale czasami tak nie jest. Czasem istnieją algorytmy, i to bardzo złożone. W rzeźbiarstwie Mangetu widzi się tę rekurencyjną geometrię. W krzyżach etiopskich widać ten niezwykły rozwijający się kształt.
In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand, and it's what the German mathematician Euler called a graph; we now call it an Eulerian path -- you can never lift your stylus from the surface and you can never go over the same line twice. But they do it recursively, and they do it with an age-grade system, so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one, then the next age-grade initiation, you learn this one. And with each iteration of that algorithm, you learn the iterations of the myth. You learn the next level of knowledge.
W Angoli w plemieniu Czokwe rysuje się na piasku linie, układające się w to, co niemiecki matematyk, Euler, nazwał grafem. Teraz nazywa się to cyklem Eulera -- nie wolno odrywać ołówka od kartki i nie wolno dwa razy rysować tej samej linii. Oni robią to rekurencyjnie i łączy się to z hierarchią wieku. Małe dzieci uczą się tego, a starsze tego drugiego. Jeszcze starsi do inicjacji uczą się tego. Z każdą iteracją algorytmu uczy się iteracji mitu. Wchodzi się na kolejny poziom wiedzy.
And finally, all over Africa, you see this board game. It's called Owari in Ghana, where I studied it; it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere. Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game. And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns and would use them strategically. So this is very conscious knowledge.
Wreszcie w całej Afryce znana jest ta gra planszowa. W Ghanie, gdzie ją badałem, nazywa się "owari". Na wschodnim wybrzeżu, Bao w Kenii, zwie się "mankala", gdzie indziej "sogo". W tej grze samoistnie pojawiają się samoorganizujące się wzory. Ludzie w Ghanie wiedzieli o tych wzorach i używali ich w strategii. Jest to uświadomiona wiedza.
Here's a wonderful fractal. Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen. And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear. But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences. So I tracked down one of the folks who makes these things, this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him, "How come you're making fractal fences? Because nobody else is." And his answer was very interesting. He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw because they're very quick and they're very cheap. It doesn't take much time, doesn't take much straw." He said, "but wind and dust goes through pretty easily. Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust. But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight." "Now," he said, "we know from experience that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows." Right? It's just like a cost-benefit analysis. And I measured out the lengths of straw, put it on a log-log plot, got the scaling exponent, and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height in the wind engineering handbook. So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.
Ten fraktal jest przepiękny. Wszędzie na Sahelu można zobaczyć taki wiatrochron. Oczywiście wszędzie na świecie ogrodzenia są kartezjańskie, całkowicie liniowe. Ale w Afryce występują te nieliniowo skalujące się ogrodzenia. Odnalazłem człowieka, który je buduje, mężczyznę z Mali, mieszkającego tuż za Bamako, i zapytałem "Dlaczego budujesz fraktalne ogrodzenia? Nikt inny tego nie robi". Jego odpowiedź była bardzo ciekawa. Powiedział "Gdybym żył w dżungli, używałbym tylko długich źdźbeł, bo jest to szybkie i tanie. Nie zabiera wiele czasu ani materiału". Powiedział, "Ale wiatr i pył przechodzą bez trudu. Właśnie ta ciasno upakowana górna część zatrzymuje wiatr i pył. Ale potrzeba do tego wiele czasu i wiele bardzo cienkiej słomy". "Wiemy z doświadczenia -- powiedział, -- że im wyżej ponad ziemię, tym silniejszy wiatr." Rozumiecie? To jak bilans zysków i strat. Zmierzyłem długości słomy, narysowałem w skali podwójnie logarytmicznej i dostałem wykładnik skalowania, który niemal dokładnie pokrywa się z wykładnikiem zależności szybkości wiatru od wysokości z podręcznika inżynierii wiatrowej. Ci ludzie trafili w dziesiątkę wykorzystując technikę skalowania.
The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found was actually not in geometry, it was in a symbolic code, and this was Bamana sand divination. And the same divination system is found all over Africa. You can find it on the East Coast as well as the West Coast, and often the symbols are very well preserved, so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word -- you draw these lines in the sand randomly, and then you count off, and if it's an odd number, you put down one stroke, and if it's an even number, you put down two strokes. And they did this very rapidly, and I couldn't understand where they were getting -- they only did the randomness four times -- I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols. And they wouldn't tell me. They said, "No, no, I can't tell you about this." And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher, and I'll come each day and pay you." They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."
Najbardziej złożony przykład algorytmicznego podejścia do fraktali, który odkryłem nie dotyczył geometrii, ale kodowania, a było to wróżenie z piasku w ludzie Bamana. Taki sam system wróżenia widzi się w całej Afryce. Znajdziecie go zarówno na wschodnim i zachodnim wybrzeżu Afryki, a symbole są często świetnie zachowane. Każdy z tych symboli ma cztery bity -- to czterobitowy wyraz binarny -- rysuje się te linie losowo na piasku, a następnie zlicza, i jeśli wynik jest parzysty, stawia się kreskę, a jeśli jest nieparzysty, stawia się dwie kreski. Robili to bardzo szybko i nie rozumiałem, skąd otrzymywali -- losowanie było jedynie czterokrotne -- i nie rozumiałem, skąd otrzymywali pozostałe 12 znaków. Nie chcieli mi powiedzieć. Mówili "Nie, nie, nie mogę ci o tym mówić". Odpowiedziałem "Ale zapłacę ci, zostań moim nauczycielem, codziennie będę przychodził i płacił". Oni na to: "To nie kwestia pieniędzy. To się tyczy religii".
And finally, out of desperation, I said, "Well, let me explain Georg Cantor in 1877." And I started explaining why I was there in Africa, and they got very excited when they saw the Cantor set. And one of them said, "Come here. I think I can help you out here." And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest. And of course, I was only interested in the math, so the whole time, he kept shaking his head going, "You know, I didn't learn it this way." But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand, and give seven coins to seven lepers and so on. And finally, he revealed the truth of the matter. And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos. When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways. So even plus odd gives you odd. Odd plus even gives you odd. Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even. It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer. And then you take this symbol, and you put it back in so it's a self-generating diversity of symbols. They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this. Now, because it's a binary code, you can actually implement this in hardware -- what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.
W końcu, zdesperowany, powiedziałem "Opowiem wam o Georgu Cantorze z 1877 roku". Wytłumaczyłem im, czemu byłem w Afryce, a oni bardzo się podekscytowali widząc zbiór Cantora. Jeden z nich powiedział "Podejdź. Sądzę, że mogę ci pomóc". Przeprowadził mnie przez rytuał inicjacyjny na kapłana Bamana. Mnie oczywiście ciekawiła jedynie matematyka, przez co on ciągle kręcił głową i mówił "Wiesz, nigdy tego tak nie uczyłem". Musiałem zakopany w piasku spać z orzechem koli obok mojego łóżka, dać siedem monet siedmiu trędowatym itd. Ostatecznie odkrył przede mną prawdę. Okazuje się, że jest to generator liczb pseudolosowych używający deterministycznego chaosu. Mając czterobitowy wyraz, sumuje się go kolumnami z kolejnym. Parzysty i nieparzysty daje nieparzysty. Nieparzysty i parzysty daje nieparzysty. Parzysty plus parzysty daje parzysty. Nieparzysty plus nieparzysty daje parzysty. Jest to dodawanie modulo 2, dokładnie jak przy kontroli parzystości na waszych komputerach. Taki wyraz wstawia się z powrotem do procedury. To daje samopowstałą różnorodność wyrazów. Naprawdę oni używają w tym chaosu deterministycznego. Ponieważ jest to kod binarny, można go zaimplementować sprzętowo -- to niesamowite narzędzie dydaktyczne, którego powinno się używać na afrykańskich politechnikach.
And the most interesting thing I found out about it was historical. In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain. And there it entered into the alchemy community as geomancy: divination through the earth. This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390. Leibniz, the German mathematician, talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria." And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes, let's use a one and a zero, and we can count by powers of two." Right? Ones and zeros, the binary code. George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra, and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer. So all these little PDAs and laptops -- every digital circuit in the world -- started in Africa. And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers, but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno. (Laughter) (Applause)
Najciekawsze dotyczące tego odkrycie ma charakter historyczny. W XII w. Hugo Santalia przywiózł ten kod od mistyków muzułmańskich do Hiszpanii. Przyjął się on w społeczności alchemików pod nazwą geomancji: wróżenia za pomocą ziemi. To tablica geomantyczna narysowana dla króla Ryszarda II w 1390. Leibniz, matematyk niemiecki, pisał o geomancji w swojej rozprawie "De Combinatoria". Napisał "Zamiast używać jednej i dwóch kresek, użyjmy zera i jedynki, co pozwoli liczyć potęgami dwójki". Rozumiecie? Jedynki i zera, kod binarny. George Boole stworzył z kodu binarnego Leibniza algebrę Boole'a, a John von Neumann z algebry Boole'a stworzył komputer cyfrowy. Wszystkie te komputery kieszonkowe i laptopy -- wszystkie cyfrowe obwody na świecie - zaczęły się w Afryce. Wiem, Brian Eno mówi, że Afryka nie istnieje w komputeryzacji; wydaje mi się, że historia Afryki nie istnieje w Brianie Eno. (Brawa)
So let me end with just a few words about applications that we've found for this. And you can go to our website, the applets are all free; they just run in the browser. Anybody in the world can use them. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools, so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web and create their own simulations and their own artifacts. We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino. We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class in comparison with a control group that did not have the software. So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics, that it's not just about singing and dancing. We've started a pilot program in Ghana. We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this; we're very excited about the future possibilities for that.
Zakończę w paru słowach o zastosowaniach tych odkryć. Możecie wejść na naszą stronę internetową, wszystkie aplety są darmowe, działają w przeglądarkach. Każdy na świecie może ich używać. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program przyznał nam ostatnio grant na wykonanie programowalnej wersji tych narzędzi, więc ufamy, że w trzy lata każdy będzie mógł wejść do sieci i zrobić własne symulacje i własne wytwory. W USA skupiliśmy się na uczniach afroamerykańskich, indiańskich i latynoskich. Odkryliśmy statystycznie istotną poprawę wyników z matematyki u dzieci używających tego oprogramowania w porównaniu z grupą kontrolną, która nie miała do niego dostępu. To bardzo skuteczna metoda -- uczenie dzieci, że ich dziedzictwo to też matematyka, a nie tylko śpiew i taniec. Rozpoczęliśmy program pilotażowy w Ghanie, dostaliśmy mały kapitał początkowy, by zobaczyć, czy ludność zechce z nami współpracować. Jesteśmy podekscytowani możliwościami, jakie to niesie.
We've also been working in design. I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure, because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village, it doesn't quite fit. Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art. David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture in which he's used some of these fractal structures.
Pracowaliśmy także nad projektowaniem. Nie umieściłem tu jego nazwiska, mój kolega Kerry z Kenii wpadł na świetny pomysł, jak przydzielać adresy pocztowe, wykorzystując fraktalną strukturę wiosek, gdyż nakładanie sieci kwadratowej adresów pocztowych na fraktalną wioskę zbytnio nie pasuje. Bernard Tchumi na Uniwerystecie Columbia zastosował ten projekt w muzeum sztuki afrykańskiej. David Hughes z Uniwersytetu Stanowego Ohio napisał podręcznik architektury afrocentrycznej, w którym użył niektórych z tych struktur fraktalnych.
And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization, as we heard earlier, it's in the brain. It's in the -- it's in Google's search engine. Actually, the reason that Google was such a success is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web. It's in ecological sustainability. It's in the developmental power of entrepreneurship, the ethical power of democracy. It's also in some bad things. Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast. And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects, you haven't opened your eyes enough. So we need to think about, as was spoken earlier, the traditional African methods for doing self-organization. These are robust algorithms. These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship -- that are gentle, that are egalitarian. So if we want to find a better way of doing that kind of work, we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms. Thank you.
Na koniec chciałem podkreślić, że to samoorganizowanie się, jak usłyszeliśmy wcześniej, zachodzi w mózgu. Jest w wyszukiwarce Google. Właściwie powodem sukcesu Google'a było wykorzystanie po raz pierwszy własności samoorganizacji sieci internetowej. Istnieje w rozwoju ekologicznym. W tworzącej postęp sile przedsiębiorczości, w etycznej mocy demokracji. Istnieje także w rzeczach złych. To samoorganizacja jest powodem szybkości rozprzestrzeniania się AIDS. A jeśli uważacie, że kapitalizm, będący zjawiskiem samoorganizującym się, nie może mieć niszczycielskich skutków, to żyjecie w nieświadomości. Jak powiedziano wcześniej, należy myśleć o tradycyjnych afrykańskich metodach tworzenia samoorganizacji. Są to silne algorytmy. Te sposoby tworzenia samoorganizacji -- przedsiębiorczości -- są delikatne, są egalitarne. Jeśli chcemy ulepszać tego typu pracę, nie trzeba szukać dalej niż w Afryce, by znaleźć te silne samoorganizacyjne algorytmy. Dziękuję.