I want to start my story in Germany, in 1877, with a mathematician named Georg Cantor. And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line, and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process. So he starts out with one line, and then two, and then four, and then 16, and so on. And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics, he ends up with an infinite number of lines, each of which has an infinite number of points in it. So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity. And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter) And when he came out of the sanitarium, he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory because the largest set of infinity would be God Himself. He was a very religious man. He was a mathematician on a mission.
A történet 1877-ben kezdődik, Németországban, egy Georg Cantor nevű matematikussal. Cantor gondolt egyet, vett egy vonalat, kiradírozta a középső harmadát, és vette az így kapott egy-egy vonalat, és most ezekre alkalmazta az előbbi eljárást, egy rekurzív eljárást. Tehát kezdi egy szakasszal, folytatja kettővel, azután néggyel, majd 16-tal, és így tovább. Ha ezt végtelen sokszor megcsinálja, ami a matematikában megtehető, akkor végül végtelen sok vonalat kap, amelyek mindegyikének végtelen sok pontja van. Így rájött, hogy van itt egy halmaz, amelynek az elemszáma nagyobb, mint végtelen. Ettől becsavarodott. Szó szerint. Bevonult egy szanatóriumba. (Nevetés) Amikor kijött a szanatóriumból, meg volt győződve róla, hogy az az ő küldetése a Földön, hogy megalapozza a transzfinit halmazelméletet, mert a legnagyobb végtelen halmaz talán maga Isten. Nagyon vallásos ember volt. Egy matematikus, akinek küldetése van.
And other mathematicians did the same sort of thing. A Swedish mathematician, von Koch, decided that instead of subtracting lines, he would add them. And so he came up with this beautiful curve. And there's no particular reason why we have to start with this seed shape; we can use any seed shape we like. And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK -- and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure. So these all have the property of self-similarity: the part looks like the whole. It's the same pattern at many different scales.
Más matematikusok is csináltak hasonló dolgot. A svéd von Koch arra gondolt, hogy ahelyett, hogy elhagyna a vonalakból, inkább hozzájuk rak. És így állt elő ezzel a gyönyörű görbével. Nincs semmi különösebb okunk rá, hogy pont ilyen csíra-alakzatból induljunk ki; bármilyen csíra-alakzatot használhatunk. Kicserélem másra, és ezt ragasztom be helyette -- ide le, rendben? -- és most, az iteráció során a csíra-alakzatból egy egészen másképp kinéző struktúra bontakozik ki. Ezek mindegyike rendelkezik az ön-hasonlóság tulajdonságával: hogy a rész pont ugyanúgy néz ki, mint maga az egész. Ugyanaz a minta, különféle méretekben.
Now, mathematicians thought this was very strange because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length. And since they went through the iterations an infinite number of times, as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity. This made no sense at all, so they consigned these curves to the back of the math books. They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them. (Laughter) And that worked for a hundred years.
Hát, a matematikusok úgy gondolták, hogy ez nagyon különös, mert ahogy egyre rövidebb mércét használunk, egyre nagyobb és nagyobb hosszot mérünk. És, mivel végtelen sok iterációt hajtunk végre, ahogy a mérce hossza végtelen kicsire húzódik össze, a hossz nő a végtelen felé. Ennek így semmi értelme nem volt, így elásták az ilyen görbéket a matematikakönyvek mélyébe. Azt mondták, hogy ezek amolyan elfajzott görbék, és nem kell foglalkoznunk velük. (Nevetés) És ez így működött vagy száz éven keresztül.
And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician, realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals, you get the shapes of nature. You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns, you get these beautiful natural forms. If you take your thumb and your index finger and look right where they meet -- go ahead and do that now -- -- and relax your hand, you'll see a crinkle, and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right? Your body is covered with fractals. The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes? They were breathing those words with fractal lungs. It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here. Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape. So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.
És akkor, 1977-ben Benoit Mandelbrot, francia matematikus rájött, hogy ha számítógépes grafikát készítünk és ilyen alakzatokat használunk, amiket ő fraktálnak nevezett el, akkor a természet alakzatait kapjuk. Megkapjuk az emberi tüdőt, az akáciát, a páfrányt, ezeket a gyönyörű természeti formákat. Ha vesszük a hüvelyk- és a mutatóujjunkat és jól megnézzük, hogy hol találkoznak -- próbálják csak meg, csináljanak így -- -- lazítsák el a kezüket, látni fognak egy redőt, azután egy ráncot a redőben, és egy redőt a ráncban. Igaz? A testünk is tele van fraktálokkal. Talán bizony azok a matematikusok, akik ezt mondták, amolyan elfajzott alakok lettek volna? Fraktáltüdejükből rebegték el azokat a szavakat. Nagyon ironikus. Mutatok mindjárt önöknek egy természetes rekurziót. Tehát még egyszer: vesszük ezeket a vonalakat és rekurzív módon helyettesítjük őket a teljes alakzattal. Így itt a második iteráció, a harmadik, a negyedik, stb.
So nature has this self-similar structure. Nature uses self-organizing systems. Now in the 1980s, I happened to notice that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals. And I thought, "This is fabulous! I wonder why?" And of course I had to go to Africa and ask folks why. So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year asking people why they were building fractals, which is a great job if you can get it. (Laughter)
Tehát a természetnek megvan ez az ön-hasonló szerkezete. A természet önszerveződő rendszereket használ. Az 1980-as években teljesen véletlenül észrevettem, hogy ha egy afrikai falu légifotóját nézzük, akkor fraktálokat látunk. És úgy gondoltam, hogy ez valami csodálatos, és vajon miért van így? És persze el kellett, hogy menjek Afrikába, megkérdezni az ottaniakat, hogy miért. Kaptam egy Fulbright-ösztöndíjat csak azért, hogy egy éven keresztül utazgassak Afrikában, és kérdezgessem az embereket, hogy miért építenek fraktálokat, Ez nagyszerű állás, már ha megkapja az ember. (Nevetés)
And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city just to see how it would sort of unfold -- but when I got there, I got to the palace of the chief, and my French is not very good; I said something like, "I am a mathematician and I would like to stand on your roof." But he was really cool about it, and he took me up there, and we talked about fractals. And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle, we know all about that." And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle, and the path through that palace is actually this spiral here. And as you go through the path, you have to get more and more polite. So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling; it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.
Így végül eljutottam ebbe a városba, és elkészítettem egy kis fraktálmodellt a városról, csak azért, hogy lássuk, hogyan bontakozik ki -- de amikor eljutottam oda, és ott voltam a főnök palotájánál, valami ilyesmit találtam mondani -- mert hogy nem vagyok valami jó franciából -- : "Matematikus vagyok, és a háztetőjén szeretnék tartózkodni." De ő jól fogadta és felhozott ide, és elbeszélgettünk a fraktálokról. És azt mondta: "Ó, igen, igen! Tudtunk róla: téglalap a téglalapban, tudunk róla mindent." És kiderült, hogy a királyi címerben van egy téglalap egy másik téglalapban, ami egy harmadik téglalap belsejében van, és a királyi palotán átvezető út meg ez a spirál. És ahogyan megyünk az úton, egyre illedelmesebbnek és illedelmesebbnek kell lennünk. Tehát a társadalmi viszonyokat leképezik geometriai viszonyokká; ez nagyon is tudatos minta. Nem öntudatlan, mint egy termeszhalom fraktálja.
This is a village in southern Zambia. The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter. You have a huge ring. The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back, and then you have the chief's ring here towards the back and then the chief's immediate family in that ring. So here's a little fractal model for it. Here's one house with the sacred altar, here's the house of houses, the family enclosure, with the humans here where the sacred altar would be, and then here's the village as a whole -- a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here, and here there's a tiny village only this big. Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big? That's because they're spirit people. It's the ancestors. And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right? So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.
Ez egy falu Dél-Zambiában. Ezt a falvat a Ba-lla törzs építette, az átmérője 400 méter. Van egy nagy gyűrű. A gyűrűk, amik a család körletét jelzik, egyre nagyobbak lesznek, ahogyan a vége fele haladunk, és itt van a főnöki gyűrű, a vége felé, és a főnök közvetlen családja ebben a gyűrűben. Itt van egy kis fraktálmodell hozzá. Ez egy ház áldozati oltárral, itt van a házak háza, a családi körlet, emberekkel azon a helyen, ahol az előbb az áldozati oltár volt, és itt a falu, a falu a maga egészében -- a gyűrűk gyűrűjének gyűrűje a főnök kiterjesztett családjával, itt meg a főnök közvetlen családja, és van itt egy falucska, épp csak ekkora. Kérdezhetnék, hogyan férnek el emberek egy ekkora falucskában? Úgy, hogy ezek szellemek. Az ősök. És persze a szellemeknek van egy miniatűr falucskájuk a falujukban, igaz? Olyan ez az egész, ahogy Cantor mondta: a rekurzió a végtelenségig folytatódik.
This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek. I saw this diagram drawn by a French architect, and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!" So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing. I came up with this structure here. Let's see, first iteration, second, third, fourth. Now, after I did the simulation, I realized the whole village kind of spirals around, just like this, and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal. Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at. So, when I got to the village, I said, "Can you take me to the square building? I think something's going on there." And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year to keep up those annual cycles of fertility for the fields." And I started to realize that the cycles of fertility were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this. And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.
Ez itt a Mandara-hegység, közel a nigériai határhoz, Mokoulek, Kamerunban. Megláttam ezt az ábrát, amit egy francia építész rajzolt, és azt gondoltam, "Hinnye, de gyünyörű fraktál!" Próbáltam rájönni, hogy milyen csíra-alakzat hozza ezt létre az iteráció során, hogyan bontakozik ez ki. Erre a struktúrára jutottam itt. Nézzük az első iterációt, a másodikat, a harmadikat, a negyediket. Miután végrehajtottam a szimulációt, rájöttem, hogy az egész falu olyan, mint egy spirál, akárcsak ez, és ez itt az ismétlő vonal, egy önmagát ismétlő vonal, ami fraktállá bontakozik ki. Észrevettem, hogy ez a vonal a körül van, ahol a falu egyetlen kocka alakú háza áll. Így, amikor megérkeztem a faluba, azt kértem: "El tudnának vinni a kockaházhoz? Azt hiszem, lesz ott valami." És azt válaszolták: " Elvihetjük, de be nem mehet, mert az az áldozati oltár, ahol minden évben áldozatot mutatunk be, hogy a föld éves termékenységi ciklusa megmaradjon." És kezdtem megérteni, hogy a termékenységi ciklusok pont olyanok, mint azok a rekurzív ciklusok a geometriai algoritmusban, amik ezt felépítik. És a falvak közül néhányban a rekurzió egészen apró részletekig folytatódik.
So here's a Nankani village in Mali. And you can see, you go inside the family enclosure -- you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively. Here's calabashes that Issa was just showing us, and they're stacked recursively. Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul. And when she dies, they have a ceremony where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity. Once again, infinity is important.
Itt van ez a nankani falu, Maliban. Láthatják, bemegyünk a családi körletbe -- bemegyünk, és vannak itt edények a tűzhelyen, rekurzív módon felhalmozva,. Itt vannak ezek a rumbatök-edények, amiket Issa épp akkor mutatott, és ezek rekurzív módon vannak elhelyezve. A legkisebb rumbatök itt tartalmazza az asszony lelkét. Amikor meghal, akkor egy szertartás keretében megtörik a halmot, amit zalangának hívnak, és az asszony lelke kiszáll az örökkévalóságba. Még egyszer, a végtelenség nagyon lényeges.
Now, you might ask yourself three questions at this point. Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture? And that was actually my original hypothesis. When I first saw those African fractals, I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society, that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture." But that turns out not to be true.
Ezen a ponton három kérdés vetődik fel. Vajon ezek az egymásban ismétlődő minták minden bennszülött építményre általánosan jellemzőek? Ez volt az én eredeti feltevésem. Amikor először láttam azokat az afrikai fraktálokat, azt gondoltam: "Óh, azoknak a bennszülött csoportoknak, amelyeknek nincsen államszervezetük, ilyen a hierarchiaféleségük, bizonyára valamilyen alulról felfelé terjedő építkezésük kell, hogy legyen." De kiderült, hogy ez nem igaz.
I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture; only the African ones were fractal. And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use. So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry. You can see on the pottery and the baskets. Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins; you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right? It is not the same pattern at two different scales.
Elkezdtem légifelvételeket gyűjteni amerikai őslakosok és dél-csendes-óceáni népek építményeiről, és csak az afrikaiak voltak fraktálok. És ha utánagondolunk, ezek a különböző társadalmak mind másféle geometriai motívumokat használnak. Például az amerikai őslakosok a körszimetria és negyedrendű szimmetria kombinációját használják. Láthatjuk ezt az edényeiken és a kosaraikon. Itt van egy légifelvétel az anasazi romokról; láthatjuk rajta, hogy az egész egy körbe van foglalva, de a kisebb részletek már téglalapok, igaz? Ez már nem ugyanaz a minta két különböző méretben.
Second, you might ask, "Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?" And three times, the answer is no. First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa," that Africa is an artificial invention of first colonialism, and then oppositional movements. No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture -- and it definitely is not "in the DNA." And finally, the fractals have self-similarity -- so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other -- you see very different uses for fractals. It's a shared technology in Africa.
A másik, amit kérdezhetnének: "Oké, Dr Eglash, de nem feledkezett meg az afrikai kultúrák közti kölönbözőségről?" És a válasz: nem, nem és nem. Először is, egyetértek Mudimbe nagyszerű könyvével, a "The Invention of Africa" -val, hogy Afrika az első gyarmatosítás, és azután az ellenállási mozgalmak mesterséges terméke. Nem, mert a széles körben elterjedt díszítési gyakorlatból nem okvetlen következik a kultúra egységessége, és semmiképp nincs a zsigerekben. És végül, a fraktálok "ön-hasonlóak", tehát hasonlók saját részükhöz, de nem szükségképp hasonlók egymáshoz -- a fraktálokra nagyon különböző példákat látni. Általánosan elterjedt technológia Afrikában.
And finally, well, isn't this just intuition? It's not really mathematical knowledge. Africans can't possibly really be using fractal geometry, right? It wasn't invented until the 1970s. Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition. So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?" and they'd say, "Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter) But sometimes, that's not the case. In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms. So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry. In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.
És végül is, nem pusztán ösztönös dolog ez az egész? Ez nem igazi matematikai tudás. Nem valószínű, hogy az afrikaiak valóban fraktál-geometriát használnának, igaz? Az az 1970-es évekig ismeretlen volt. Igen, az igaz, hogy némely afrikai fraktál, úgy gondolom, puszta intuíció. Néhányról közülük, ha megkérdezném az embereket Dakar utcáin, hogy "mi az algoritmus, milyen szabály szerint képezik?" akkor bizonyára ezt felelnék: "Csak úgy csináljuk, mert hogy jól néz ki, te értetlen". (Nevetés) De néha más a helyzet. Néhány esetben valóban vannak algoritmusok, nagyon is kifinomultak. Így például a manghetu szobrokon láthatják ezt a rekurzív geometriát. Az etióp kereszteken láthatjuk a formának ezt a gyünyörű kibontását.
In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand, and it's what the German mathematician Euler called a graph; we now call it an Eulerian path -- you can never lift your stylus from the surface and you can never go over the same line twice. But they do it recursively, and they do it with an age-grade system, so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one, then the next age-grade initiation, you learn this one. And with each iteration of that algorithm, you learn the iterations of the myth. You learn the next level of knowledge.
Angolában a csokve emberek vonalakat rajzolnak a homokba, az ilyet nevezte a német matematikus, Euler gráfnak; mi úgy hívjuk ezt most, hogy Euler-vonal -- úgy rajzoljuk, hogy sosem emeljük fel a tollunkat és egyetlen vonalon sem megyünk át kétszer. De ők ezt rekurzív módon teszik, és életkorok szerinti rendszerben, így a kisgyerekek ezt tanulják meg, a nagyobbak ezt, és a következő beavatáskor pedig megtanulják ezt. És az algortimus minden iterációjával megtanuljuk a mítosz megközelítését. Megtanuljuk a tudás következő szintjét.
And finally, all over Africa, you see this board game. It's called Owari in Ghana, where I studied it; it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere. Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game. And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns and would use them strategically. So this is very conscious knowledge.
És végül: egész Afrikában láthatjuk ezt a táblajátékot. Ghanaban, ahol megismertem owarinak nevezik, a keleti parton mancalának, Kenyában baonak, másutt sogónak. Önszerveződő mintákat látunk, amik itt a táblás játékban spontán módon fordulnak elő. És Ghánában ismertek ezek az önszerveződő minták, és stratégiailag használják őket. Ez tehát egy nagyon is tudatos tudás.
Here's a wonderful fractal. Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen. And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear. But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences. So I tracked down one of the folks who makes these things, this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him, "How come you're making fractal fences? Because nobody else is." And his answer was very interesting. He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw because they're very quick and they're very cheap. It doesn't take much time, doesn't take much straw." He said, "but wind and dust goes through pretty easily. Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust. But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight." "Now," he said, "we know from experience that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows." Right? It's just like a cost-benefit analysis. And I measured out the lengths of straw, put it on a log-log plot, got the scaling exponent, and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height in the wind engineering handbook. So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.
Itt van egy gyönyörű fraktál. Bármerre is megyünk Sahelben, mindenütt látni ezeket a szélvédő kerítéseket. És persze a kerítések mindenütt a világon a felszínre merőlegesek, szigorúan vonalakból állnak. De itt, Afrikában, vannak ezek a nem vonalakból álló, hanem réteges kerítések. Felkutattam hát valakit, aki ezeket csinálja, egy fickót Maliban, Bamako külterületén, és megkérdeztem: "Hogyan jutott eszébe, hogy fraktál-ketítéseket csináljon? Mert mások nem ilyet csinálnak." Nagyon érdekes volt a válasza. Azt mondta: "Ha az őserdőben élnék, csak hosszú szalmakötegeket használnék, mert az nagyon gyors és olcsó. Nem kell hozzá sok idő, sok szalma. De átfúj rajta a szél, átsöpri rajta a koszt. Ezek a tömör sorok a legtetején, ezek valóban megfogják a szelet és a koszt. De sok időre és sok szalmára van szükség hozzá, mert ez tényleg nagyon tömör. " "Na mármost" -- mondta --, "tapasztalatból tudjuk, hogy minél feljebb megyünk a talajtól, annál erősebb a szél." Értik? Ez tisztára egy költség-érték elemzés. És lemértem a szalma hosszát, ábrázoltam egy log-log görbén, megkaptam az arányossági kitevőt, és az szinte pontosan megfelelt a szél-méretezési kézikönyvek szélsebesség-magasság arány kitevőjének. Tehát ezek a fickók járatosak a méretezési technológiában.
The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found was actually not in geometry, it was in a symbolic code, and this was Bamana sand divination. And the same divination system is found all over Africa. You can find it on the East Coast as well as the West Coast, and often the symbols are very well preserved, so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word -- you draw these lines in the sand randomly, and then you count off, and if it's an odd number, you put down one stroke, and if it's an even number, you put down two strokes. And they did this very rapidly, and I couldn't understand where they were getting -- they only did the randomness four times -- I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols. And they wouldn't tell me. They said, "No, no, I can't tell you about this." And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher, and I'll come each day and pay you." They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."
A legösszetettebb példa, amit a fraktálok algoritmusának szemléltetéséhez találtam, nem is a geometriában volt, hanem a szimbolikus kódolásban, éspedig a bamana homok-jövendölés. Ezt a jövendölés-rendszert megtalálni egész Afrikában. Meg lehet találni a keleti és a nyugati parton egyaránt, és a jelképekben alig van eltérés az egyes helyeken, így minden egyes szimbólumnak négy bitje van -- ezek 4-bites bináris szavak --, ezeket véletlenszerűen rajzolják a homokba, és a végén leszámlálják, ha ez páratlan szám, akkor húzunk egy vonást, ha páros, akkor kettőt. Ők ezt villámgyorsan csinálják, és fel nem foghattam, hogy honnan veszik -- ezt a véletlenszerű dolgot négyszer csinálják -- nem értettem, honnan veszik a másik 12 szimbólumot. És nem akarták elárulni. Azt mondták": Nem, nem, nem beszélhetek róla." Erre azt mondtam: "Nézze, megfizetem érte, a tanítványa leszek, jövök minden nap és fizetek." Ők erre azt mondták: "Ez nem pénzkérdés. Ez vallási ügy."
And finally, out of desperation, I said, "Well, let me explain Georg Cantor in 1877." And I started explaining why I was there in Africa, and they got very excited when they saw the Cantor set. And one of them said, "Come here. I think I can help you out here." And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest. And of course, I was only interested in the math, so the whole time, he kept shaking his head going, "You know, I didn't learn it this way." But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand, and give seven coins to seven lepers and so on. And finally, he revealed the truth of the matter. And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos. When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways. So even plus odd gives you odd. Odd plus even gives you odd. Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even. It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer. And then you take this symbol, and you put it back in so it's a self-generating diversity of symbols. They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this. Now, because it's a binary code, you can actually implement this in hardware -- what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.
És végül, kétségbeesésemben ezt mondtam: "Hagy meséljek Georg Cantorról, 1877-ből." És elkezdtem magyarázni, hogy mit is keresek Afrikában, és nagyon izgatottak lettek, amikor meglátták a Cantor-halmazt. Valaki közülük ezt mondta: "Gyere csak, tudok neked segíteni." Végigvezetett a bamana papi beavatási szertartáson. És persze engem csak a matematika érdekelt belőle, így egész idő alatt csóválta a fejét. "Tudod, én ezt nem így tanultam." De azért úgy kellett, hogy aludjak, hogy az ágyam mellett, a homokban egy kola dió volt elásva, és hét érmét kellett adjak hét bélpoklosnak, stb. És végül felfedte a dolog titkát. És kiderült, hogy ez egy pszeudovéletlen-számgenerátor, ami a determisztikus káoszt használja. Ha van egy 4-bites szimbólumunk, akkor azt hozzáírjuk egy másikhoz az egyik oldalról. Így páros plusz páratlan: páratlan lesz. Páratlan plusz páros: páratlan lesz. Páros plusz páros: az páros. Páratlan plusz páratlan: az páros. Ez egy összeadás modulo 2, akárcsak a paritás-ellenőrzés a számítógépünkön. És vesszük az így kapott szimbólumot, és ezt tesszük vissza, és így önmagát generáló szimbólum-sorozatot kapunk. Valóban egyfajta deteminisztikus káoszt használnak ehhez. Nos, ez egy bináris kód, ezt akár meg is valósíthatjuk egy hardverben -- ami egy fantasztikus oktatási segédeszköz lehetne egy afrikai mérnöki iskolában.
And the most interesting thing I found out about it was historical. In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain. And there it entered into the alchemy community as geomancy: divination through the earth. This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390. Leibniz, the German mathematician, talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria." And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes, let's use a one and a zero, and we can count by powers of two." Right? Ones and zeros, the binary code. George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra, and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer. So all these little PDAs and laptops -- every digital circuit in the world -- started in Africa. And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers, but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno. (Laughter) (Applause)
De a legérdekesebb dolog, amit találtam ezzel kapcsolatban, az történelmi vonatkozású volt. A 13. században Santallai Hugó hozta Spanyolországba az iszlám misztikusoktól. És úgy került be az alkimisták közösségébe, mint geomancia: -- jövendőmondás földből. Ez ll. Richárd király geomancia-táblázata 1390-ből. Leibniz, a német matematikus foglalkozott a geomanciával a "De Combinatorica" című dolgozatában. És azt mondta: "Ahelyett, hogy egy vonást vagy két vonást használnánk, használjunk egyet vagy nullát, és vegyük a kettő ennek megfelelő hatványát." Rendben? Nullák és egyek -- a bináris kód. George Boole fogta Leibniz bináris kódját és megalkotta a Boole-algebrát, és Neumann János fogta a Boole-algebrát és megalkotta a számítógépet. Így hát mindezek a kis PDA-k és laptopok -- a világ összes digitális áramköre -- Afrikából indult. Tudom, hogy Brian Eno azt állítja, hogy nincs elég Afrika a számítógépekben; én meg nem hiszem, hogy elegendő Afrika-történelem lenne Brian Eno fejében. (Taps)
So let me end with just a few words about applications that we've found for this. And you can go to our website, the applets are all free; they just run in the browser. Anybody in the world can use them. The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools, so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web and create their own simulations and their own artifacts. We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino. We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class in comparison with a control group that did not have the software. So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics, that it's not just about singing and dancing. We've started a pilot program in Ghana. We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this; we're very excited about the future possibilities for that.
Befejezésül hagy mondjak néhány szót arról, hogy milyen alkalmazásokat találtunk erre. És ha felmennek a honlapunkra, az appletek ingyenesek, futnak a böngésző alatt. Bárki a világon használhatja őket. A National Science Foundation "Broadening Participation in Computing program"-jától mostanában nyertünk el egy ösztöndíjat, hogy elkészítsük ezeknek a tervezőeszközöknek a programozható változatát, így remélhetőleg három éven belül bárki felmehet a hálózatra és létrehozhatja saját szimulációját és műalkotását. Elsősorban az USA-ban tanuló afroamerikai diákokra, az indiánokra és a latin-amerikaiakra gondoltunk. Statisztikailag is kimutatható fejlődést értünk el a szoftverrel a gyerekek körében a matematika oktatásban, összehasonlítva egy kontrollcsoporttal, akik nem használták ezt a szoftvert. Így hát valóban nagyon sikeresek voltunk abban, hogy megtanítsuk a gyerekeknek, hogy matematikai örökségük is van, nem csupán zenei és táncos. Elkezdtünk egy kísérleti programot Ghánában, kaptunk egy kis kezdő támogatást annak a kiderítésére, hogy az ottaniak hajlandóak-e az együttműködésre, nagyon izgulunk a további lehetőségeket illetően.
We've also been working in design. I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure, because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village, it doesn't quite fit. Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art. David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture in which he's used some of these fractal structures.
Dolgoztunk a designnal kapcsolatban is. Nem írtam fel ide a nevét -- a kollégám, Kerry, Kenyából jött a nagy ötlettel, hogy használjunk fraktál-struktúrát azoknak a falvaknak a postai címzésére, amelyek fraktál-struktúrájúak, mert ha rácsos postai rendszert használunk egy fraktál-faluban, az nem felel meg kellőképp a célnak. Bernard Tschumi a Columbia Egyetemről épp most fejezett be egy tervet az afrikai művészetek múzeuma számára ennek felhasználásával. David Hughes az Ohio Állami Egyetemről írt egy bevezető jellegű művet a fekete hagyományokra támaszkodó építészetről, amelyben felhasznált ezek közül a fraktálok közül néhányat.
And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization, as we heard earlier, it's in the brain. It's in the -- it's in Google's search engine. Actually, the reason that Google was such a success is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web. It's in ecological sustainability. It's in the developmental power of entrepreneurship, the ethical power of democracy. It's also in some bad things. Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast. And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects, you haven't opened your eyes enough. So we need to think about, as was spoken earlier, the traditional African methods for doing self-organization. These are robust algorithms. These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship -- that are gentle, that are egalitarian. So if we want to find a better way of doing that kind of work, we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms. Thank you.
És végül, szeretnék emlékeztetni arra, hogy az önszerveződésnek a gondolata, ahogyan azt már korábban is hallottuk, a tudatunkban van. Benne van a Google keresőmotorjában. Valóban, hogy a Google ilyen sikeres, annak az az oka, hogy elsőként használta ki a háló önszerveződő tulajdonságát. Benne van az ekológiai fenntarthatóságban. Benne van a vállalkozás fejlődésre való képességében a demokrácia etikai erejében. Néhány rossz dologban is persze. Az önszerveződés az oka annak is, hogy az AIDS vírusa olyan gyorsan terjed. És ha nem vesszük észre, hogy a kapitalizmusnak, ami önszerveződő, lehetnek destruktív hatásai is, akkor nem járunk eléggé nyitott szemmel. El kell hát gondolkozzunk, ahogyan korábban is említettük, a hagyományos afrikai módszerek alkalmazásán az önszerveződés terén. Ezek nagyon hatékony algoritmusok. Ezek olyan módszerek az önszerveződésre -- a vállalkozások építésére --, amelyek békések, egyenlőségre törekvők. Ha tehát valami jobb utat akarunk találni az ilyen munkák végrehajtására, akkor nem kell messzebb menni, mint Afrika, hogy megtaláljuk ezeket a hatékony önszervező algoritmusokat. Köszönöm.